Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 130 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ORDINÁRIAS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 20062022 1246 Eadbr Introduce Nesta unidade iremos trabalhar com equagoes diferenciais ordinarias ou seja Com equagdes que envolvem derivadas simples de uma Unica variavel independente Comegaremos nos familiarizando com os conceitos de uma equagdo diferencial Depois vamos definir quais equagdes representam a classe das equacdes separaveis equacdes lineares de 1 ordem e equacdes homogéneas com coeficientes constantes de 2 ordem Como veremos equacgdes homogéneas de 2 ordem sdo um caso particular de equacoes lineares de 2 ordem logo sua resolugdo pode ser realizado por um método similar a resolugdo de equacgées lineares de 17 ordem Esperamos que vocé aproveite ao maximo este conteUdo Resolva os exemplos e exercicios e nao esqueca de perguntar suas duvidas Bons estudos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 230 20062022 1246 Eadbr 1 ra rao c om 7 mS introducao as Equacoes a a om e e Cr v a e 7 7 c c Diferencials Ordinarias Geen errr errr reer ener Até o momento dada uma fungdo y fx sabemos determinar sua derivada dy em relagdo a x que também uma fungdo e denotamos por a fx Por x2 dy 2 exemplo se ye a regra da cadeia nos diz que mo ove xy Nesta dy unidade vamos ter uma equacdo da forma m7 oxy vamos desejar encontrar qual fungdo fx a satisfaca Toda equacgdo que possui derivadas de uma ou mais variaveis dependentes em relagdo a uma ou mais variaveis independentes denominada equagdao diferencial Quando a equagdo diferencial envolve somente derivadas com relagdo a uma Unica variavel independente ela é classificada como uma equagdo diferencial ordindria Muitas vezes para simplificar notacdo denotamos as equacoes diferenciais ordinarias por EDO As equacoes dy lo Sya hh 2yxdx 4xdy 0 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 330 20062022 1246 Eadbr 3 du dv dx dx dy dy a A 72 27 6y 0 Sao exemplos de equacoes diferenciais ordinarias A ordem de uma EDO é definida como a ordem da derivada de maior ordem dy i dy dy Logo anova le de primeira ordem e m2 27 t oy06e de segunda ordem 1X Uma EDO é chamada de linear se pode escrevéla da forma dy dy AX an 7 es Fag Bx n 1 0 dx n dx 1 onde os coeficientes ay a a g Sado fungdes que dependem somente da variavel independente x Quando a EDO nao é linear chamamoa de ndo linear dy dy ee Por exemplo x ri 3x 7 4y 0 uma equacgdo diferencial ordinaria linear IX de segunda ordem linear onde ax x ax 3x ax 4 e gx 0Jaa 4 oo dy day dy on equacao diferencial ordinaria de terceira ordem qa f 265 y7 0 ndo IX XxX linear pois o coeficiente a y uma fungdo da variavel dependente y Qualquer fungdo f definida em um intervalo J que quando substituida na EDO reduz a equagdo a uma identidade 6 uma solucdo para EDO no intervalo 2 2 I Entdo pelo que vimos acima fx e 2 e gx e 10sdo solucdes para a equacdo 7 2xy no intervalo oo 2 z z z Observe que yx e C onde Cé uma constante qualquer também é uma dy solugao para m7 xy NO intervalo As solugdes fe g mencionadas no paragrafo acima sdo ditas solugdes particulares Ja y conhecida como solugao geral pois abrange todas as solucgdes da equacao diferencial Com isso vemos que uma equaGcao diferencial pode possuir mais que uma solucgao e que estas solucdes se diferem apenas por uma constante httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 430 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 530 Chamamos de problema de valor inicial todo problema composto por uma equação diferencial e o valor da função procurada em um determinado ponto Este ponto é denominado valor inicial Por exemplo dy dx 2xy y1 e é um problema de valor inicial com valor inicial igual a 1 Como acabamos de ver yx ex2 C é uma solução da equação dy dx 2xy onde C é uma constante qualquer Porém como neste caso temos a condição de y1 e isso implica que C 0 Então a solução deste problema é dada pela função yx ex2 Como temos um valor determinado no enunciado do problema temos que a solução de um problema de valor inicial é única caso exista 20062022 1246 Eadbr Frequentemente desejamos descrever situagdes atraves de termos matemadticos que chamamos de modelos matematicos Muitos desses modelos sdo equacdes diferenciais Por exemplo na engenharia podemos determinar a deflexdo estatica de uma viga elastica causada por seu peso ou por uma carga externa através de uma equacdo diferencial Em elasticidade é visto que 0 momento defletor Mx em um ponto x ao longo da viga esta relacionado com a carga por unidade de comprimento wx através da M a equagao a wx Utilizando esta equagdo e a IX proporcionalidade existente entre o defletor e a curvatura da viga a deflexdo yx de uma viga fixa em sua extremidade esquerda e solta em sua extremidade direita como uma haste aty de bandeira por exemplo e dada pela equacao Cat wx X onde C uma constante conhecida por rigidez defletora da viga Outras situagoes presentes na engenharia sao descritos através de equacées diferenciais pesquise e reflita sobre Fonte Elaborado pelo autor Nos demais topicos desta unidade vamos aprender técnicas para resolver alguns tipos de EDO httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 630 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 730 praticar Vamos Praticar O estudo de equações diferenciais ordinárias é similar ao cálculo integral As integrais são resolvidas a partir das antiderivadas de uma função A diferença é que agora temos que determinar que função satisfaz uma equação com mais termos que uma integral Com base na teoria vista neste primeiro tópico assinale a alternativa correta a A equação du dy dv dx é uma EDO b bA equação y 2y y 0 é uma EDO nãolinear c c A EDO y y 2 y x é linear d A EDO linear y 2y y 0 possui como solução no intervalo a função y xex e A função fx x4 é uma solução para EDO não linear dy dx xy1 2 no intervalo 20062022 1246 Eadbr va B 4 GF U U rye FFX FLY e c equacoes virerenclials a a a eC Pala VelS Geen eee Neste tdpico vamos definir o que uma equagdo diferencial separavel e mostrar uma metodologia para resolver esta classe de equacodes Primeiro observe que se gx for uma fungao continua a equacdo dy ofy 8 pode ser solucionada através da integragdo entdo uma solucdo desta equacdo é dada por y gtx dx C onde C é uma constante Por exemplo yJsenxdx C cosx C 6 lucdo de 2 solucdo de sen x httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 830 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 930 Chamamos de separável toda equação diferencial que pode ser escrita da forma hy dy gx dx Esta classe de equações pode ser resolvida integrando as funções h e g Para esclarecer este método de resolução vamos resolver um exemplo Considere a equação 1 x dy y dx 0 Temos que 1 x dy y dx 0 1 x dy y dx dy y dx 1 x Então esta equação é separável com hy 1 y e gx 1 1 x Integrando ambos os lados da igualdade vamos obter dy y dx 1 x ou equivalentemente 1 ydy 1 1 x dx Mas 1 y dy lny C e 1 1 x dx ln 1 x C com isso lny ln 1 x C Aplicando o exponencial na igualdade acima temos eln y eln 1 x C eln 1 x eC 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1030 donde y 1 xeC 1 xeC Como eC é uma constante y 1 x k e y 1 x k k constante são soluções da equação 1 x dy y dx 0 Logo a solução geral é dada por y 1 x k CONSTANTE 1 Observe que para cada constante k considerada na solução y1xk que acabamos de determinar obtemos uma solução diferente para equação 1x dy ydx0 20062022 1246 Eadbr 2 Podemos visualizar graficamente como essas solugdes se comportam para conhecer melhor sobre elas Para k1 temos 0 esboco do grafico da solugao dado por K1 3 2 1 4 3 2 1 2 3 4 5 2 3 4 E assim por dianteentdo para k 5 a solugdo tem grafico igual a K1 3 2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1130 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1230 1 1 3 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 CONSTANTE 3 Para k 2 K 5 2 1 1 3 4 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1330 Neste exemplo que acabamos de resolver deixamos y como função de x porém não há necessidade de sempre tentar fazer isso Por exemplo seja a equação xe ysenx dx y dy 0 Reescrevendo esta equação temos xe ysenx dx y dy donde xsenx dx y e y dy Isto é xe ysenx dx y dy 0 é uma equação exata onde gx xsenx e hy y e y Integrando obtemos xsenx dx y e y dy x cox x sen x y ey ey C 5 Ou seja as soluções são retas com inclinação k 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1430 Logo x cox x sen x y ey ey C é a solução geral de xe ysenx dx y dy 0 Observe que em ambos os exemplos quando realizamos a integração deixamos sinalizado o uso de apenas uma constante C Isso vem do fato que a soma e subtração de constantes resulta numa constante então não precisamos carregar duas constantes na equação praticar Vamos Praticar Muitos modelos matemáticos são descritos através das equações diferenciais por exemplo podemos descrever a propagação de praga com as equações separáveis Considerando a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por dy dx x2 1 y2 assinale a alternativa correta em relação a solução geral desta equação a x3 3y y3 c b x3 3y y3 c c y x3 y3 C d x3 y3 1 0 e y2 x2 y c 20062022 1246 Eadbr rr B oo re re oo je cUOs Lineares qe Ordem e Homogeéneas de ya 2 Ordem Geen errr errr reer ener No primeiro t6pico desta unidade definimos que uma equacao diferencial linear uma equacgdo que pode ser escrita da forma dy dy An an An1 ed Fagxy gx onde os coeficientes ay a a g Sao funcdes que dependem somente da variavel independente x Considerando n 1 temos uma equagao linear de 1 ordem Ou seja dy aix5 agxy 8 denominada de equagao linear de 1 ordem Sendo ax 0 dividindo esta igualdade por ax podemos reescrever a equagao linear como a P t Plxy fe Para determinar solugées de uma equagao linear utilizamos o método do fator integrante Este método consiste em multiplicarmos a equagdo por uma httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1530 20062022 1246 Eadbr fungao ux apropriada denominada fator de integragdo para conseguirmos realizar uma integragao Como veremos no exemplo abaixo ux e Px dx a wc dy onde Px é identificado escrevendo a equaGao linear na forma ant PO fix dy 6x soe ye Por exemplo considere a equaGcao linear x7 Ay xe Dividindo todos os termos por ax x obtemos dy 4 xe dx x Este o primeiro passo para resolver uma equagao linear Identificando Px com o passo anterior 0 segundo passo consiste em determinar o fator de x Px dx 4 integracdo e Neste exemplo J Pxjdx J dx 4inx e 4 o Px dx e Alnx elnx x 4 No préximo passo multiplicamos o fator de integragdo na equacdo logo 32 4 xe dx x Observe que d dy 4 4 4 Xx X 7 7 Ty ad y dx Isso sempre ocorre quando determinamos e multiplicamos corretamente o 4 dy 4 x fator de integracao na equacao Com isso reescrevemos x 7 y xe xX como te 4 xe 7 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1630 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1730 O último passo consiste em integrar ambos os lado da igualdade obtida isto é d dxx 4ydx xexdx Como o cálculo integral e o cálculo diferencial são processos inversos d dxx 4ydx x 4y Donde concluímos x 4y xex ex C ou equivalentemente y x5ex x4ex Cx4 é a solução geral de x dy dx 4y x6ex 20062022 1246 Eadbr Como mencionamos no primeiro topico desta unidade uma equagao diferencial ordinaria que ndo é linear denominada ndolinear Resolver esta classe se equacgoes se torna uma tarefa dificil Porém existem equacdes ndolineares que podem ser reescritas como uma equagao linear logo seu método de resolucdo consiste no método apresentado acima para equagées lineares Por exemplo equacdes da forma dy at Mx y NO y sdo equacoes diferenciais ordinarias ndolineares conhecidas com a nomenclatura Equacdao de Bernoulli Realizando a substituicdo z y transformamos uma Equado de Bernoulli em uma equacao linear Para ver outros exemplos de equacgées nao lineares que podem ser transformadas em equacgdes lineares acesse 0 artigo completo Fonte Elaborado pelo autor Agora considere a equacao diferencial de segunda ordem da forma dy dy abcy 0 dx2 dx onde a b e c sdo constantes Esta equacgdo é chamada de equagdo homogénea de 2 ordem com coeficientes constantes Note que uma httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1830 20062022 1246 Eadbr equagdo homogénea de 2 ordem uma equagado linear de 2 ordem com coeficientes ax a ax b apx c gx 0 para todo x Prosseguindo com o método de resolugdo que acabamos de estudar para as equacoes lineares de 1 ordem se ax a constante concluimos que a equacao ay 0 possui a solugdo exponencial y ce em 0 Logo é intuitivo imaginar que a equacgdo homogénea de 2 ordem possui uma solucao similar Considerando uma solugdo da forma ye para a equacdo dy dy 4 fo mx y2Ix a5 b cy 0temos quey me ey me dy dy mx 2 Mx 2 avatbatey e am bm e 05 ee 00Uam bmc0 X Mas e0 para todo x Entdo para ye ser solugdo da equacgdo homogénea de 2 ordem com coeficientes constantes 6 necessario que m seja raiz de am2bmc0 Esta equacdo quadratica é conhecida como equacgdo auxiliar Sabemos que em uma equacdo do 2 grau temos trés situagdes possiveis para suas raizes Entdao ou a equaGcdo auxiliar possui raizes reais e distintas ou possui raizes iguais ou possui raizes complexas conjugadas Se am bm c 0 possuir raizes reais e distintas digamos m e m temos Py dy mx duas solucoes para aaat bytey 0 em dadas por y e e 1X yy e2 Entdo neste caso a solucdo geral é dada por y Ce Ce Se ambmc0 possuir raizes reais iguais ou seja m m teremos mix dy dy somente uma solucgdo ye para a7zat bt cy 0 em e a solucdo geral sera dada por y Cye Ce Por fim se am bm c 0 possuir raizes complexas conjugadas temos que maipemaif sendo a ef numeros reais As solugdes gerais neste caso Sdo analogas as solucdes gerais de quando a equacdo quadratica possui httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 1930 20062022 1246 Eadbr duas raizes reais ou seja y Ce7 Ce Utilizando a igualdade e9 cos 6 isenO reescrevemos a solugao geral da equacao dy dy ox a5 bo cy 0em como ye Cycos Bx Cysen Bx P 3 ay dy Considere a equagao homogénea de 2 ordem dada por 3 A tV 0 Neste IX caso a 1 b1 c1 Entdo para obter a solucao geral desta equacdo precisamos determinar as raizes da equacdo quadratica am bmc0 isto 6ém2m10 Resolvendo esta equacdo quadratica obtemos que suas raizes sd4o numeros complexos conjugados dados por 1 vB 1 vB mM 3 zie My 3 1 dy dy Entao pelo que acabamos de ver a solucao geral de wtinty 0 no 1X intervalo co 0 6 dada por NE NE ye C cos x Cysen x 2 2 Para resolvermos situagdes problema envolvendo as equacoes diferenciais devemos saber classificala identificando sua ordem e classe Desta forma httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2030 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2130 saberemos o melhor caminho que devemos seguir para determinar a solução do problema Considere as equações 2y 5y 3y 0 e y 3y 0 Com base no que aprendemos neste tópico assinale a alternativa correta a A equação y 3y 0 é uma equação homogênea de 2ª ordem b A equação auxiliar de 2y 5y 3y 0O possui raízes iguais a 3 c A solução geral de y 3y 0 é dada por y 3x C d Temos que y C1 e x 2 C2e3x é a solução geral 2y 5y 3y 0 e As equações 2y 5y 3y 0 e y 3y 0 não possuem nenhuma solução em comum 20062022 1246 Eadbr j Yo rao ro eo rye Fy co ee rye Aplicagoes das Equacoes om e e Cr v a e FY Fr a and a Cc Uirerencials Ordinarias Geen errr errr reer ener Como em diversas situagdes os modelos matematicos sdo descritos por equacées diferenciais pbodemos utilizar os métodos de resolugdo aprendidos nesta unidade para resolvélos Poderiamos citar aplicagdes das mais diversas areas como o decrescimento radioativo crescimento populacional a deflexdo de uma viga corrente em um circuito em série etc No que segue iremos resolver dois exemplos de aplicagao Aplicacao das Equacoes Separaveis Imagine a seguinte situacdo Um objeto de massa m projetado sobre a terra em uma direcdo perpendicular Considerando sua velocidade inicial igual a vy e que ndo ha resist6éncia do ar qual a menor velocidade inicial para a qual o corpo nao retornara a superficie httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2230 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2330 A velocidade procurada é conhecida como velocidade de escape Vamos considerar o semi eixo positivo dos x apontando para fora do centro da Terra no decorrer da linha de movimento Então x 0 corresponde a superfície da Terra Denotando por R o raio da Terra temos que a força gravitacional agindo no objeto é dada por wx k x R 2 onde k é uma constante Mas sabemos que devido a gravidade no nível do mar para x 0 temos que w0 mg onde g é a aceleração Logo k mgR2 isto é wx mgR2 x R2 Desconsiderando outras forças agindo sobre o objeto a equação de movimento é dada por m dv dt mgR2 x R2 com condição inicial v0 v0 Considerando x como variável independente podemos reescrever a equação do movimento como v dv dx gR2 x R2 ou ainda v dv gR2 x R2 dx que é uma equação separável 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2430 Como vimos no segundo tópico desta unidade a solução geral de uma equação separável é determinada integrando ambos os lados da igualdade Fazendo isso obtemos v2 2 gR2 R x C v2 2 gR2 R x C De v0 v0 temos v02 2 gR2 R C v02 2gR C C v02 2gR Substituindo este valor de C na equação acima temos que a solução da equação do movimento com condição inicial v0 v0 é dada por v v0 2 2gR 2gR2 R x Fazendo v 0 e x ε obtemos ε v0 2R 2gR v02 e v0 2gR ε R ε que são respectivamente a altitude máxima que o objeto alcança e a velocidade inicial necessária para levantar o objeto até a altitude ε A velocidade de escape ve é determinada calculando limε 2gR ε R ε ou seja ve limε 2gR ε R ε 2gR O valor numérico de ve é aproximadamente 11 1 kms Aplicação das Equações Lineares Em engenharia a equação 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2530 dx dt kx com condição inicial xt0 x0 em que k é uma constante de proporcionalidade pode descrever a temperatura de um corpo em resfriamento Já em física o mesmo problema de valor inicial ou seja a equação com a condição inicial pode proporcionar o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada através de radioatividade Por exemplo considere que um corpo está inicialmente com a temperatura T0 Uma hora depois para t 1 a temperatura passa a ser 3 4T0 Se a taxa de decrescimento é proporcional a temperatura desprezando a temperatura do meio ambiente qual o tempo necessário para que essa temperatura decresça a terça parte Queremos resolver a equação diferencial dT dt kT com condição inicial T0 T0 Como dT dt kT 0 é uma equação linear de 1ª ordem seu fator de integração é dado por e k dt Então dT dt kT 0 e ktdT dt e ktkT 0 d dte ktT 0 Tt Cekt Mas para t 0 T0 T0 donde T0 C Com isso Tt T0ekt Por outro lado para t 1 3 4N0 N0ek isto é 3 4 ek k ln 3 4 0 2877 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2630 Portanto a solução é dada pela expressão Tt T0e 0 2877t e como desejamos a terça parte da temperatura 1 3T0 T0e 0 2877 t o que implica que isto ocorre em t 3 82 horas praticar Vamos Praticar Considerando a temperatura do meio ambiente a lei de resfriamento que foi enunciada por Newton diz que a taxa de variação de temperatura Tt de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm do meio ambiente ou seja dT dt kT Tm onde k é a constante de proporcionalidade Sabendo disso se uma barra da estrutura de um prédio é retirada do molde a uma temperatura de 300ºF e três minutos depois sua temperatura passa para 200ºF quanto tempo irá demorar para a temperatura da barra atingir 75ºF uma vez que a temperatura do meio ambiente é 70ºF a 10 minutos b 201 minutos c 375 minutos d 596 minutos e 1 hora 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2730 indicações Material Complementar LIVRO Equações Diferenciais Volume 1 Dennis G Zill e Michael R Cullen Editora Pearson Education do Brasil ISBN 9788534612913 Comentário Neste livro o aluno terá acesso a diversos exemplos resolvidos da teoria das equações diferenciais ordinárias e poderá praticar o conhecimento adquirido nos exercícios propostos Além disso o livro apresenta aplicações reais da teoria 20062022 1246 Eadbr FILME O homem que viu 0 infinito ae Ano 2015 a re Comentario Este filme 6 baseado na historia real do matematico indiano Srinivasa Ramanujan Srinivasa apesar de humilde e morar em um pais que nao havia muita pesquisa na época desenvolveu grandes habilidades matematicas que o fizeram realizar grandes contribuigdes no mundo da matematica como a teoria dos numeros e séries por exemplo TRAILER httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2830 20062022 1246 Eadbr Chegamos ao fim desta unidade No decorrer dela pudemos nos familiarizar com as equacgoes diferenciais ordinarias Aprendemos métodos de resolugdo de trés classes especiais destas equagdes as equacgdes separaveis equagdes lineares de 12 ordem e equagdes homogéneas de 2 ordem com coeficientes constantes Como devem ter percebido ndo existe uma Unica forma de solucionar uma equagdo diferencial Por exemplo muitas equacgdes sdo separaveis e lineares de 1 ordem Cabe a nos identificar o melhor método de resolucgdo para prosseguir E sO alcangamos esta habilidade nos dedicando e praticando o conteudo para sanar nossas duvidas Esperamos que vocé tenha feito isso no decorrer da unidade Sempre acredite em seu potencial vocé é capaz Até a proxima meee reer eee ZILL D G CULLEN M R Equagées Diferenciais volume 1 3 ed Sdo Paulo Pearson Education do Brasil 2001 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 2930 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade4ebookindexhtmlsection1 3030 BOYCE W E DIPRIMA R C Equações Diferenciais Elementares 9ª ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2010