Introdução ao Cálculo Aplicado a Várias Variáveis: Revisão de Derivadas e Integrais

introdução Introdução CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS REVISÃO DE DERIVADAS E REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS INTEGRAIS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR Os primeiros conceitos do calculo diferencial e do calculo integral surgiram ha séculos a principio sem ligagdo com os conceitos que temos atualmente Depois de um periodo matematicos puderam provar por meio de resultados validos até hoje que os conceitos do calculo diferencial e do calculo integral sdo 0 inverso um do outro O calculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes Ja o calculo integral originouse em problemas de quadratura que uma operacgdo que determina a area de um quadrado equivalente a uma dada figura geométrica Porém hoje sabemos que as aplicabilidades dessas teorias estendemse a areas variadas do conhecimento como fisica quimica engenharias biologia economia dentre outras Apesar de vocé estudante ja ter estudado esses conceitos vamos revisar nesta unidade as principais definigdes e propriedades presentes no calculo diferencial e integral Alem disso estudaremos o conceito de integragdo por fracées parciais Salientamos que como se trata da revisdo de uma matéria extensa nado conseguiremos abordar todos os conceitos presentes Com isso enriqueceria 0 seu estudo buscar exemplos e exercicios em outras bibliografias para completar a sua revisdo e aprofundar o seu conhecimento Esperamos que 0 seu aprendizado seja produtivo rw Ld we Pr lL Be 5 r GO Unna Breve Revisao Sobre as 5 a p r lA eS 5 Derivadas de Funcoes Reals de 9 FF rw a r LAs uma Variavel Real eee eee ee eee eee ee ee ee ee ee eee ere aS ey ie hes Pe 57 vy jyiee arn r N oe ae daa 9 a wy r r S oY le 7 fi ve Ce y om 2h Fonte luckybusiness 123RF Neste tdpico relembraremos as principais definig6es e propriedades das derivadas de fungdes reais de uma variavel real No que segue representaremos por fz uma fungdo real de uma variavel real definida sobre um subconjunto X dos numeros reais Considere uma fungdo fa como uma fungdo qualquer e sua derivada fa é a nova fungdo que em um determinado ponto 2 0 valor da derivada é definido por fx h fz li f 2 lim se 0 limite existir Assim se 0 limite existe para z a a funcao f dizse diferenciavel em a Consideramos a funcao f derivavel em um intervalo aberto se esta for diferenciavel para todos os numeros do intervalo Exemplo 11 determine fx se fx 2 Solucdo pela definigdo que acabamos de enunciar 2 2 hflx h2 xt im li nm F2 h0 h h0 h Como ah 2 segue que fa h f2 a h 2 x lim 7 lim 2 F2 h0 h h0 h Portanto fx 2a Usando a notado tradicional y fz para indicar que a variavel independente é v7 ey é a variavel dependente entdo y e a sao consideradas notagées alternativas quando consideramos a derivada de f em relagdo a x Em muitos problemas de calculo que envolvem curvas precisamos calcular a reta tangente em um certo ponto da curva Contudo a reta tangente a uma curva y fx em um ponto Pa fa é a reta que passa por Pe tem a inclinacdo Jt fla m lim ra va desde que esse limite exista Isto a inclinagdo da reta tangente a curva y fx no ponto Pa fa 0 mesmo que a derivada de f em a Com isso se usarmos a forma pontoinclinagao da equagdo de uma reta podemos escrever uma equagdo da reta tangente a curva y fz no ponto Pa fa como y fa fa a Logo reflita sobre esse processo O processo de determinar a derivada de uma funcgdo por meio do calculo de um limite na maioria das vezes um processo demorado Porém ha regras de derivagao que auxiliam em uma solugao mais simples para o calculo Quando utilizamos tais solugdes conseguimos determinar a derivada de uma fungdo sem necessitar recorrer a sua definigdo A seguir enunciamos algumas dessas regras REGRA DA POTENCIA considerando que n é um numero real qualquer entdo 2 na 1 REGRA DA MULTIPLICAGAO POR CONSTANTE considerando que c é uma constante e f é uma fungao derivavel podemos dizer que icfa cf2 REGRA DA SOMA considerando que f e g sdo fungées derivaveis entdo fz ga fx gz REGRA DO PRODUTO considerando que f e g sdo fungées diferencidveis com gx 0 entdo fzga fa g fg2 REGRA DO QUOCIENTE considerando que f e g forem derivaveis entdo f Filzge Flagz g2 gfe REGRA DA CADEIA se g for derivavel em x e f for derivavel em gx entdo a funcado composta h f og definida por hx fgax sera derivavel em z e h sera dada pelo produto hx f9xg2 Em muitas situagées deparamonos com problemas de fung6des exponenciais logaritmicas e trigonométricas por isso resumimos as formulas de derivacdo para estas funcdes sen xL COs a cosec x cosec cotg x cos sen a cotg x cosec 2 tg x secz e e seca secx tg x Ina Exemplos 1 2 derive a hx 5 b fx e a c Fx d hx senx 1 Solucdo a Pelas regras da constante e da poténcia ha 55 b Pela regra do produto temos fx e aer e xe c Pela regra do quociente 22 3a 12231 2e6r42 F oe eee eee a 1 a 1 d Pela regra da cadeia considerando fx sen xe gx x 1 temos que hx fgxg a 22 cos x 1 Como f também é uma fungdo chamada derivada primeira de f podemos derivala Se a derivada de f existir esta sera chamada derivada segunda de f e sera denotada por f Seguindo esse raciocinio a derivada enésima da fungdo f onde n um numero inteiro positivo maior do que 1 a derivada primeira da derivada n1 ésima de f Denotamos a derivada enésima de f por f Por exemplo temos que fx 96x 30x 2 se fx 8a 5x x 7 pois fx 32a3 152 2a Sabemos que 0 calculo diferencial possui aplicabilidade em diversas areas do conhecimento Logo dominar seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formacdo académica Com base na teoria que acabamos de revisar neste topico assinale a alternativa correta O a Com a definigdo de derivada de uma fundo concluimos que f 2x 3x I1se fz a 2 O b Se gx 3a7 1 temos que gz 3 3a7 41 O cAderivadadetx 05 édadapela funcdot x 05 O d Temos que g 4 1 umavezquegz ha 1zonde h4 32 e n4 4 O 53 9 fx 4 2x432a6a e a2a5 e Se f x 22 eegzx ww 4r1 aa Qasten2 uv uv ra y 7 y cc 7 ry ee roopliemas ae UtIMIZacad 2 eee e reer eee ee eee eee eee Os problemas de otimizagao consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo ou seja requerem minimizar ou maximizar uma situagdo Como é de nosso conhecimento as derivadas nos ajudam localizar os valores de maximo e minimo de fungées Logo os problemas de otimizagao sao uma das aplicagées mais importantes do calculo diferencial he 4 a os as ery en EN ERO Dc OL me y oe a apes ip meee i canes ee ae ee se WR cyte coe eee pets Ps ce a yk Wea Soe Pome S ae LS OG avo rome Yok aie ea jae PX ul ere 4 Bc aera a4 A5678054x0 f hs Sa ro P oul es E Figura 11 Quadro Fonte Jozef Polc 123RF Antes de resolver um problema de otimizagdo vamos enunciar os principais resultados e definigoes ja estudados por nos que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem nos técnicas para determinar os valores extremos de uma fungao Teorema 11 se f tiver um maximo ou minimo local em c e se fc existir entdo fic 0 O Teorema 11 apresenta que devemos procurar por valores maximos e minimos de f nos numeros c em que fc 0 ou onde fc nado existe Chamamos os valores c tais que fc 0ou fc nao existe de numero critico de f Quando uma fungdo f é continua considerando um intervalo fechado a b temos um método para determinar seus valores extremos valor de maximo e valor de minimo em a b Primeiramente encontramos os valores de f nos numeros criticos de f em a b Depois encontramos os valores de f nas extremidades a e b Entao o maior valor é 0 valor de maximo e o menor valor é 0 valor de minimo Exemplo 13 0 valor maximo de f x 2 2 x1em2 éf1 2 Solucdo observe que f é continua no intervalo 2 4 e f x 3x 2 1 Como f a existe para todos os numeros reais os Unicos numeros criticos de f serdo os valores x para os quais f a2 0 Mas fz 0 4 32 221 0 em que concluimos que os numeros criticos de fsdo 7 ex 1Ainda 22 7 Portanto o valor maximo f em 2 4 é f1 2 O proximo resultado diz se f tem ou ndo um maximo ou minimo local em um numero critico Chamamoso de Teste da Primeira Derivada Teorema 12 considere que c seja um numero critico de uma funcado continua f Dessa forma podemos afirmar que a caso o sinal de f mude de positivo para negativo em c dizemos que f tem um maximo local em c b caso o sinal de f mude de negativo para positivo em c dizemos que f tem um minimo local em c c se f nado mudar de sinal em c entao f nado tem maximo ou minimo locais em c Exemplo 14 encontre os valores maximos e minimos da funcao fx 2 6x27 92 1 Solugdo note que f x 3a7 122 9e fz 0 S x 3 x 1Ademais se z1 fz0sela 3 f 4 0ese x 3 fx 0 Entdo pelo Teste da Primeira Derivada é um valor de máximo local de e é um valor de mínimo local de O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada Teorema 13 suponha que seja contínua nas proximidades dos valores de a se e então tem um mínimo local em b se e então tem um máximo local em Exemplo 15 sendo utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os máximos e mínimos locais de Solução temos que Então os pontos críticos de valores onde são Contudo Logo possui um valor de mínimo local em um valor de máximo local em e um mínimo local em Agora veremos dos exemplos de problemas de otimização Exemplo 16 uma empresa possui seu lucro descrito pela função em que x representa o número de unidades produzidas Quantas unidades a empresa precisa produzir para que seu lucro seja máximo Solução observe que como a teremos a ou seja é o número crítico de Contudo e Portanto pelo Teste da Primeira Derivada a empresa precisa produzir unidades para que seu lucro seja máximo Exemplo 17 construa uma caixa fechada de base quadrada e com 200 cm³ de volume O material utilizado para a tampa e para a base deve custar R 300 para cada centímetro quadrado e o material utilizado para os lados custa R 150 para cada centímetro quadrado Com quais dimensões esta caixa possui custo total mínimo Solução adotando como o comprimento em centímetros de um lado da base quadrada e o custo total do material a área da base será Adotando como a profundidade em centímetros o volume da caixa será onde Dessa forma podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é e para os lados é Com isso Cleft x right3left 2x ext2 right15left 4xy right ou equivalentemente f 5 f f 3 1 f f c f c 0 f c 0 f c f c 0 f c 0 f c f x x 4x x4 4 3 3 2 f f x 4x 4x 8x e f x 12x 8x 8 3 2 2 f f x 0 2 0e1 f 2 0 f 0 0 f 1 0 f f 2 32 2 f 0 0 f 1 5 3 L x 0 02x 300x 200000 2 L x 0 04x 300 x 7500 L L x 0 x 7500 L x 0 x 7500 7500 x Cx x cm 2 2 y x y 200 cm 2 3 y 200 x2 2x2 4xy em que Assim Cx não existe mas como 0 não pertence ao domínio de C os únicos números críticos serão os valores de tais que ou seja Por outro lado então pelo Teste da Derivada Segunda é um mínimo local de C Com isso o custo total do material será mínimo quando o lado da base quadrada for 10 cm a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm² praticar Vamos Praticar Na economia se unidades forem vendidas e o preço por unidade for então a receita total será sendo chamada função receita Representado por a função custo é o valor gasto para a produção de unidades Se unidades forem vendidas então o lucro total será então será chamada função lucro Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por e respectivamente Analise as alternativas abaixo e assinale a correta a O lucro desta empresa será máximo para b O lucro desta empresa será máximo para c O lucro desta empresa será máximo para d O lucro desta empresa será máximo para e O lucro desta empresa será máximo para C x 6x 2 12000 x C x 12x C x 12x 12000 x2 12000 x3 x 0 x C x 0 x 10 C 10 0 x 10 x px Rx xpx R Cx x x Lx Rx Cx L Rx 0 5 x2 2000x Cx 800x 500000 x 1200 x 800 x 36 5 x 60 x 20 3 LJ MAY r lL Ye a a Uma Breve Revisao Sopre as cyee ry Ie rR AAC DAARIEe ie Integrals de Funcoes Reals de urna Variavel Rea eee eee ee eee eee ee ee ee ee ee eee Uma funcdo Fx é chamada antiderivada da funcgdo fx se Fx fz seja qualquer x pertencente ao dominio de f Como a derivada de uma constante é zero a antiderivada de uma funcdo nao é Unica Por exemplo Fx x e Hx x7 10 sdo antiderivadas da funcao f x 2x uma vez que F x H x 22 fz Representamos 0 conjunto de todas as antiderivadas de f 2 utilizando o simbolo t dz Fx C que chamado integral indefinida de f x em que F é uma antiderivada de f Para qualquer funcdo derivavel F fF x dx FxC Da ligacgdo entre o calculo diferencial e o calculo integral por meio das antiderivadas podemos listar propriedades para integracao indefinida resultante de propriedades existentes para as derivadas REGRA DA CONSTANTE considerando qualquer constantek fk dx ka C REGRA DA POTENCIA considerando qualquern 1f 2 dx C REGRA DO LOGARITMO considerando qualquer 0f dx In zxC REGRA DA EXPONENCIAL considerando qualquer constante kA0 fe dz eke C REGRA DA MULTIPLICACAO POR UMA CONSTANTE considerando qualquer constante f kfe dekf fx dz REGRA DA SOMADIFERENGA f fz gx dx f fx dx f gx dz Exemplo 18 calcule a f 2 de b f bee dx Solucdo a Pelas regras do logaritmo e da multiplicagdo por uma constante 3 1 i 423 S ae3in lz C x x b Usando a regra da soma da diferencga da multiplicagado por uma constante da constante e da poténcia temos 3 2 3 x 8x 2x x pe ae dx 8 fede 2dr 3 4a 4224 x Muitas integrais exigem além das regras enunciadas acima métodos especiais para resolvélas Um destes 0 método da substituicdo Tal método consiste em escolhermos uma substituigdo w ux para simplificar o integrando fa e expressar toda a integral em termos de u e duudz Com isso a integral deve estar J fx dz Ig uw du na forma Se possivel calcule essa integral determinando uma antiderivada Gu de gu Para finalizar substituimos wu por ux obtendo uma antiderivada G u x para f x de modo que f fx de Guz C Por exemplo podemos calcular a integral indefinida f Sa 3 dx pelo método da substituigdo Denotando u 5x 3 temos du 5dx ou dx 15 Assim 53 drwdu uw du 523 C 5 5 30 Agora considere f x uma fungdo continua no intervalo a x b Julgue que este intervalo tenha sido dividido em n partes iguais de largura Ax ba e seja x7 um numero qualquer pertencente ao intervalo de ordem i para qualquer i1 2 n ASoma fa1 Aa f ag AatfxzAz é conhecida como soma de Riemann Dessa forma a integral definida de f x no intervalo a a 6 representada pelo simbolo b rt dx a é dada pelo limite da soma de Riemann sempre que n 00 caso 0 limite exista A integral definida I fx dx é um ntmero Se a 6b temos que L fe dx f f dz se a b temos que I fa dx 0 Como para as integrais indefinidas existem regras de integragdo que nos auxiliam a determinar as integrais definidas suponha que f e g sdo fungoes continuas sendo valida a REGRA DA CONSTANTE para qualquer constante k f kdxkba REGRA DA SOMADIFERENCA rh fx ga dx f fx dx f9 dx REGRA DA MULTIPLICAGAO POR UMA CONSTANTE para qualquer constante k b b rte dz k t dx a a REGRA DO INTERVALO para qualquer b b cé ab f fz dv f fx dx f fx dz Exemplo 19 sendo fo fz dz17 e fof dx 12 temos que f fa dx 5 Solucdo primeiramente devemos escrever 10 8 10 t ax f F ae f2 de 0 0 8 Entdo 10 t dx 17 12 5 8 Sabemos por meio de historiadores que o Calculo Integral teve origem a varios séculos com problemas de quadratura Com o passar dos anos muitos matematicos contribuiram para o crescimento e aperfeicoamento desta teoria Com esses avangos hoje existem aplicabilidades do Calculo Integral em diversas areas como fisica engenharias biologia dentre outras Uma das aplicagdes do calculo integral mais conhecida é 0 calculo de areas Clique para conhecer um pouco da historia do calculo diferencial Para finalizar este tdpico vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema Fundamental do Calculo Este um dos mais importantes resultados do calculo pois relaciona o conceito de integral definida ao conceito de antiderivagdo ou seja o Teorema Fundamental do Calculo relaciona o calculo diferencial e o calculo integral Teorema 14 Teorema Fundamental do Calculo Parte 1 se f for continua em ab entdo a fungdo g definida por gx f f t dt a x b continua em ab e derivavel em abe gx f x Teorema 15 Teorema Fundamental do Calculo Parte 2 se f for continua em ab entdo b t ae PF FO a em que Fé qualquer primitiva de f isto 6 uma fungdo tal que F f Exemplo 110 calcule a f e dx 1 b fe 271dz 5 Solugdo a Note que F x e uma antiderivada de f x e entdo pela Parte 2 do Teorema Fundamental do Calculo 3 23 Ji e dx F3F1 e e b Com 0 raciocinio do item anterior e com o auxilio das regras de integracao temos 8 2 2 fe 2a 1dx 8 5 85 42 Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situagdes problemas do nosso cotidiano e do nosso meio profissional Com base na teoria sobre integrais indefinidas e definidas revisadas neste topico assinale a alternativa correta Oa fx 2x dz g 227 C Ob fcosadz senzx C og ft cos t 2 dt cos t 2 C 13 5 Od fy x 1 dx 5 1 Oe fa dr 1 Figura 12 Fórmulas Fonte Pakpong Pongatichat 123RF Uma função é denominada função racional se em que e são polinômios Se o grau de é menor que o grau de é chamada de função racional própria é denominada função racional imprópria se o grau de é maior ou igual que o grau de Se uma função é racional imprópria podemos dividir os polinômios por até o resto ser obtido em que o grau de é menor que o grau de Com isso podemos reescrever como a soma de um polinômio e uma função racional própria ou seja Integração de Funções Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Racionais por Frações Parciais fx f x Rx Qx R x Q x R R f fx R Q f x Px Qx P Q Rx R Q f x S x Rx Qx f x S x Rx Qx Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria podemos decompôla em frações parciais usando a seguinte estratégia primeiramente fatoramos o denominador como produto de fatores lineares e quadráticos em que os fatores quadráticos não possuem raízes reais isto é são irredutíveis Na resolução dos exemplos a seguir veremos três casos desta técnica Exemplo 112 determine a b c Solução a Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador logo a função é racional própria e não precisamos dividir o numerador pelo denominador Observe que ou seja o polinômio pode ser decomposto em fatores lineares e nenhum fator é repetido Neste caso escrevemos Então Com isso temos que em que a igualdade de polinômios é Portanto Q dx x 2x1 2 2x 3x 2x 3 2 dx x 1 3 x x2 2 3 dx x 1 2 x 3x 3 f x x 2x1 2 2x 3x 2x 3 2 2x 3x 2x x 2x 1 x 2 3 2 Q x x a1 b1 a2 b2 an bn R x Q x A1 a1 x b1 A2 a2 b2 An an bn x 2x 1 2 2x 3x 2x 3 2 x 2x 1 2 x 2x 1 x 2 A1 x A2 2x 1 A3 x 2 x 2x 1 2 2 x 3 2 x 2 2 A1 A2 A3 2 A1 A2 A3 A1 12 15 e 110 A1 A2 A3 dx dx dx dx x 2x 1 2 2x 3x 2x 3 2 1 2 1 x 1 5 1 2x 1 1 10 1 x 2 bTemos que ou seja o polinômio decompõese em fatores lineares com termos repetidos Se o fator repete vezes teremos correspondente a esse fator uma soma de frações parciais da forma Então em que Se se Para determinar e substituímos os valores já encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo e Com isso c Neste caso em que o fator é irredutível pois não possui raízes reais isto é o polinômio é decomposto por fatores lineares e quadráticos porém nenhum fator quadrático é repetido Todo fator quadrático irredutível terá uma fração parcial da forma Então ln x ln 2x 1 ln x 2 C 1 2 1 10 1 10 x x x x 2 x 2 x 2 2 Qx aix bi p p A1 ai x bi A2 x ai bi 2 Ap x ai bi p x 1 3 x x 2 2 3 A1 x A2 x2 B1 x 2 B2 x 2 2 B3 x 2 3 x 1 x x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 3 A1 3 A2 3 B1 2 2 B2 2 B3 2 x 0 A2 18 x 2 B3 74 A1 B1 B2 316 316 A1 B1 54 B2 dx dx dx dx dx x 1 3 x x2 2 3 3 16 1 x 1 8 1 x2 3 16 1 x2 5 4 1 x22 7 4 1 x23 ln x ln x 2 C 3 16 1 8x 3 16 5 4x2 7 8x22 x 3x x x 3 3 2 x 3 2 Q x ax bx c 2 Ax B ax bx c 2 Procedendo como nos itens anteriores obtemos que e Então Também podemos decompor por fatores lineares e quadráticos irredutíveis mas com alguns fatores quadráticos repetidos Nesse caso se for um fator quadrático irredutível que se repete p vezes o fator possui p frações parciais da forma Por exemplo para temos Note que na letra a do exemplo 112 foi possível fatorar o denominador como multiplicação de fatores lineares distintos No item b decompomos o denominador como multiplicação de fatores lineares repetidos Já no item c do exemplo 112 a fatoração do denominador continha fatores quadráticos irredutíveis sem repetição Acabamos de observar acima outra forma de fatorar um polinômio como multiplicação de fatores lineares e quadráticos irredutíveis com alguns termos quadráticos repetidos Um resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas quatro maneiras A forma de decompor a fatoração de cada caso em frações parciais exposta nos exemplos acima vem do teorema de frações parciais praticar Vamos Praticar Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em frações parciais para serem resolvidas Observe a integral a seguir x 1 2 x 3x 3 A x Bx C x 3 2 A 1 B 3 2 3 C 0 dx dx dx ln x ln x 3 C x 1 2 x 3x 3 1 3 1 x 2 3 x x 3 2 1 3 1 3 2 Q x ax bx c 2 ax bx c 2 p A1x B1 ax bx c 2 A2x B2 ax bx c 2 2 Apx Bp ax bx c 2 p x 3x 5 2 3 A1x B1 x 3x 5 2 A2x B2 x 3x 5 2 2 A3x B3 x 3x 5 2 3 Agora assinale a alternativa correta a A função é uma função racional própria b A função é uma função racional imprópria e c Temos que d Temos que e Temos que dx x4 2x 4x 1 2 x x x 1 3 2 f x x42x 4x1 2 x x x1 3 2 f x x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x42x 4x1 2 x x x1 3 2 1 x1 2 x12 1 x1 dx x ln x 1 ln x 1 C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 dx ln x 1 C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 dx x C x42x 4x1 2 x x x1 3 2 x2 2 2 x1 Material C t FILME Uma mente brilhante omme Ano 2001 Comentario o filme conta a historia de um matematico que mesmo doente com esquizofrenia venceu o Nobel de Economia Se por sua Teoria dos Jogos LIVRO Cálculo James Stewart Editora Cengage Learning ISBN 8522112584 Comentário este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial e integral que relembramos nesta unidade Você poderá conferir muitos exemplos resolvidos o que contribuirá com seus estudos Nesta unidade pudemos revisar as definigdes e propriedades do calculo diferencial e do calculo integral que ja haviamos aprendido em outro momento do curso Também aprendemos um novo método de integracdo a integracdo por fragdes parciais Por meio do Teorema Fundamental do Calculo relembramos que o calculo diferencial e integral estado interligados pois um desfaz o que o outro faz Como perceberam nao foi possivel explorar toda a teoria presente na disciplina do calculo diferencial e integral pois esta é vasta Esperamos que tenham recordado o conteUdo e praticado os todpicos por meio dos exemplos e exercicios tornando essa revisdo produtiva ao seu conhecimento e formacao Sugerimos que pesquise sobre outras aplicagdes do calculo diferencial e integral que ndo comentamos na unidade pois isso motivara os seus estudos Agradecemos toda a dedicacgdo e até uma proxima oportunidade meee ee eee eee eee ee ee ee ee GUIDORIZZI H L Um curso de Calculo 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2001 LEITHOULD L O Calculo com Geometria Analitica 3 ed Sdo Paulo Harbra Ltda 1994 STEWART J Calculo 5 ed Sado Paulo Cengage Learning 2006