Equações Diferenciais Ordinárias: Introdução e Conceitos Fundamentais

120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 142 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ORDINÁRIAS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 120522 1939 Eadbr Introduce Nesta unidade iremos trabalhar com equagées diferenciais ordinarias ou seja com equagdes que envolvem derivadas simples de uma Unica variavel independente Comegaremos nos familiarizando com os conceitos de uma equacao diferencial Depois vamos definir quais equagdes representam a classe das equagdes separaveis equagdes lineares de 1 ordem e equagdes homogéneas com coeficientes constantes de 2 ordem Como veremos equagdes homogéneas de 2 ordem sao um caso particular de equaées lineares de 2 ordem logo sua resolugdo pode ser realizado por um metodo similar a resolugdo de equagdes lineares de 1 ordem Esperamos que vocé aproveite ao maximo este conteudo Resolva os exemplos e exercicios e ndo esqueca de perguntar suas duvidas Bons estudos httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 242 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 342 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 442 Até o momento dada uma função sabemos determinar sua derivada em relação a que é também uma função e denotamos por Por exemplo se a regra da cadeia nos diz que Nesta unidade vamos ter uma equação da forma e vamos desejar encontrar qual função a satisfaça Introdução às Equações Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias Diferenciais Ordinárias y f x x x dy dx f y ex2 2x 2xy dy dx ex2 dy 2xy dx f x 120522 1939 Eadbr Toda equacdo que possui derivadas de uma ou mais variaveis dependentes em relagao a uma Ou mais variaveis independentes denominada equagao diferencial Quando a equacdo diferencial envolve somente derivadas com relagdo a uma Unica variavel independente ela é classificada como uma equagcao diferencial ordinaria Muitas vezes para simplificar notagdo denotamos as equacdes diferenciais ordinarias por EDO As equacoes dy 2yaxz dx 4ady 0 du dv 3 de de 7 dy dy sao exemplos de equacées diferenciais ordinarias os d A ordem de uma EDO é definida como a ordem da derivada de maior ordem Logo sy16é d d de primeira ordem e ra 24 6y 0 é de segunda ordem Uma EDO é chamada de linear se pode escrevéla da forma dy dVy An 2 Qn1 a9 rt y gla n Foe Fn Th 9 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 542 120522 1939 Eadbr onde os coeficientes g 1 Qn g sao funcgdes que dependem somente da variavel independente x Quando a EDO nao é linear chamamoa de ndolinear 2 dy dy 4 a Por exemplo x 7m OL dc t 4y 0 éuma equacdo diferencial ordinaria linear de segunda ordem linear onde a2 x x a x 32 ap x 4 e gx 0 JA a equacdo diferencial oo d a d ow 4 ordinaria de terceira ordem 2e y 0 é ndolinear pois o coeficiente ay y é uma fungdo da variavel dependente y Qualquer fungéo f definida em um intervalo J que quando substituida na EDO reduz a equacao a uma identidade uma solucdo para EDO no intervalo J Entdo pelo que vimos acima 2 2 d fa e 2 e gx e 10 sdo solugdes para a equacdo 2zy no intervalo oo 00 2 Observe que yz e C onde C é uma constante qualquer também é uma solugdo para d wg i 2zy no intervalo oo 00 As solugdes f e g mencionadas no paragrafo acima sdo ditas solugdes particulares Ja y conhecida como solucdo geral pois abrange todas as solugdes da equacao diferencial Com isso vemos que uma equacao diferencial pode possuir mais que uma solugdao e que estas solucdes se diferem apenas por uma constante Chamamos de problema de valor inicial todo problema composto por uma equacao diferencial e o valor da fungao procurada em um determinado ponto Este ponto denominado valor inicial Por exemplo httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 642 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 742 é um problema de valor inicial com valor inicial igual a 1 Como acabamos de ver é uma solução da equação onde é uma constante qualquer Porém como neste caso temos a condição de isso implica que Então a solução deste problema é dada pela função Como temos um valor determinado no enunciado do problema temos que a solução de um problema de valor inicial é única caso exista dy 2xy y 1 e dx y x C ex2 dy 2xy dx C y 1 e C 0 y x ex2 120522 1939 Eadbr Frequentemente desejamos descrever situagdes através de termos matematicos que chamamos de modelos matematicos Muitos desses modelos sao equacgoes diferenciais Por exemplo na engenharia podemos determinar a deflexdo estatica de uma viga elastica causada por seu peso ou por uma carga externa através de uma equagdo diferencial Em elasticidade é visto que 0 momento defletor D M x em um ponto ao longo da viga esta relacionado com a carga por unidade de comprimento wa através da equacao wx Utilizando esta equacéo e a proporcionalidade existente entre o defletor e a curvatura da viga a deflexdo y a de uma viga fixa em sua extremidade esquerda e solta em sua extremidade direita como uma haste de bandeira httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 842 120522 1939 Eadbr x pay por exemplo é dada pela equagao Ct w x onde C é uma constante conhecida por rigidez defletora da viga Outras situagdes presentes na engenharia sdo descritos através de equagdes diferenciais pesquise e reflita sobre Fonte Elaborado pelo autor Nos demais topicos desta unidade vamos aprender técnicas para resolver alguns tipos de EDO O estudo de equacgées diferenciais ordinarias é similar ao calculo integral As integrais sdo resolvidas a partir das antiderivadas de uma funcao A diferenga é que agora temos que determinar que fungdo satisfaz uma httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 942 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1042 equação com mais termos que uma integral Com base na teoria vista neste primeiro tópico assinale a alternativa correta a A equação é uma EDO b bA equação é uma EDO nãolinear c c A EDO é linear d A EDO linear possui como solução no intervalo a função Feedback alternativa correta note que e Então satisfaz a identidade pois e A função é uma solução para EDO não linear no intervalo du dy dv dx 2 y 0 y y y 2 x y y 2 y 0 y y y xex x y ex ex 2 x y ex ex f x y 2 y 2 x 2 x x 0 y y ex ex ex ex ex f x x4 dy x dx y12 120522 1939 Eadbr pw r i r r e e c e e e c S rd Cr er en er ee Sr Neste tdpico vamos definir 0 que uma equaGao diferencial separavel e mostrar uma metodologia para resolver esta classe de equacées Primeiro observe que se g x for uma fungdo continua a equacgao oy gx dz httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1142 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1242 pode ser solucionada através da integração então uma solução desta equação é dada por onde é uma constante Por exemplo é solução de Chamamos de separável toda equação diferencial que pode ser escrita da forma Esta classe de equações pode ser resolvida integrando as funções e Para esclarecer este método de resolução vamos resolver um exemplo Considere a equação Temos que Então esta equação é separável com e Integrando ambos os lados da igualdade vamos obter y g x dx C C y sen x dx C cos x C dy sen x dx h y dy g x dx h g 1 x dy y dx 0 1 x dy y dx 0 1 x dy y dx dy y dx 1 x h y 1 y g x 1 1x 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1342 ou equivalentemente Mas e com isso Aplicando o exponencial na igualdade acima temos donde dy y dx 1x dy dx 1 y 1 1x dy ln y C 1 y dx ln 1 x C 1 1 x ln y ln 1 x C elny eln 1xC eln 1xeC y 1 x 1 x eC eC 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1442 Como é uma constante e constante são soluções da equação Logo a solução geral é dada por eC y 1 x k y 1 x k k 1 x dy y dx 0 y 1 x k CONSTANTE 1 Observe que para cada constante k considerada na solução y1xk que acabamos de determinar obtemos uma solução diferente para equação 1x dy ydx0 CONSTANTE K 1 3 120522 1939 Eadbr 2 Podemos visualizar graficamente como essas solugdes se comportam para conhecer melhor sobre elas Para k1 temos 0 esboco do grafico da 4 3 2 l 1 2 3 4 5 solugdo dado por Dd 3 K1 3 4 E assim por dianteentao para k 5 a solucao tem grafico igual a 5 1 4 3 2 l 1 2 3 4 5 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1542 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1642 3 2 CONSTANTE 3 Para k 2 K 5 2 1 1 3 4 5 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1742 Neste exemplo que acabamos de resolver deixamos como função de porém não há necessidade de sempre tentar fazer isso Por exemplo seja a equação Reescrevendo esta equação temos donde Isto é é uma equação exata onde e Integrando obtemos y x x senx dx y dy 0 ey x eysenx dx y dy xsenx dx y dy ey x eysenx dx y dy 0 g x xsenx h y y ey Ou seja as soluções são retas com inclinação k 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1842 Logo é a solução geral de Observe que em ambos os exemplos quando realizamos a integração deixamos sinalizado o uso de apenas uma constante Isso vem do fato que a soma e subtração de constantes resulta numa constante então não precisamos carregar duas constantes na equação praticar Vamos Praticar xsenx dx dy y ey x cox x sen x y C ey ey x cox x sen x y C ey ey x senx dx y dy 0 ey C 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 1942 Muitos modelos matemáticos são descritos através das equações diferenciais por exemplo podemos descrever a propagação de praga com as equações separáveis Considerando a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por assinale a alternativa correta em relação a solução geral desta equação a Feedback alternativa correta a equação é uma equação exata com e Integrando em ambos os lados temos b Feedback alternativa incorreta pois c dy dx x2 1y2 x 3y y c 3 3 h y 1 y2 g x x2 1 y dy x dx y 2 2 y3 3 x3 3 c x 3y y c 3 3 x 3y y c 3 3 1 y dy x dx y 2 2 y3 3 x3 3 c x 3y y c 3 3 y x y C 3 3 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2042 Feedback alternativa incorreta pois d e 1 y dy x dx y 2 2 y3 3 x3 3 c x 3y y c 3 3 x y 1 0 3 3 y x y c 2 2 120522 1939 Eadbr re EDOs Lineares de a ran oe Ordem e Homogeéneas de a a 2 Ordem No primeiro topico desta unidade definimos que uma equaGao diferencial linear uma equagdo que pode ser escrita da forma n1 An x cv Qn1 Se he ty x y gz httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2142 120522 1939 Eadbr onde os coeficientes g 1 Qn g sao funcgdes que dependem somente da variavel independente x Considerando n 1 temos uma equacdo linear de 1 ordem Ou seja dy ai x ao x y g 2 dz é denominada de equacdo linear de 1 ordem Sendo a x 0 dividindo esta igualdade por 4 d a1 x podemos reescrever a equacao linear como a Payf a Para determinar solugdes de uma equagao linear utilizamos o método do fator integrante Este método consiste em multiplicarmos a equagdo por uma fungdo pz x apropriada denominada fator de integracao para conseguirmos realizar uma integragao Como veremos no exemplo abaixo ua el Pl 4 onde Px identificado escrevendo a equacdo linear na forma dy a Px y fz wo d rr Por exemplo considere a equagdo linear re 4y xe Dividindo todos os termos por a x x obtemos dy 4 y x dx Este é o primeiro passo para resolver uma equacdo linear Identificando Px com o passo anterior o segundo passo consiste em determinar o fator de integracao e Pz de Neste exemplo httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2242 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2342 e No próximo passo multiplicamos o fator de integração na equação logo Observe que Isso sempre ocorre quando determinamos e multiplicamos corretamente o fator de integração na equação Com isso reescrevemos como O último passo consiste em integrar ambos os lado da igualdade obtida isto é P x dx dx 4ln x 4 x e Px dx e4lnx eln x4 x4 y x4 dy dx 4 x5 xex y y d dx x4 x4 dy dx 4 x5 y x4 dy dx 4 x5 xex y x d dx x4 ex y dx x dx d dx x4 ex 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2442 Como o cálculo integral e o cálculo diferencial são processos inversos Donde concluímos ou equivalentemente é a solução geral de y dx y d dx x4 x4 y x C x4 ex ex y C x5ex x4ex x4 x dy 4y dx x6ex 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2542 saiba mais Saiba mais Como mencionamos no primeiro tópico desta unidade uma equação diferencial ordinária que não é linear é denominada nãolinear Resolver esta classe se equações se torna uma tarefa difícil Porém existem equações não lineares que podem ser reescritas como uma equação linear logo seu método de resolução consiste no método apresentado acima para equações lineares Por exemplo equações da forma são equações diferenciais ordinárias nãolineares conhecidas com a nomenclatura Equação de Bernoulli Realizando a substituição transformamos uma Equação de Bernoulli em uma equação linear Para ver outros exemplos de equações não lineares que podem ser transformadas em equações lineares acesse o artigo completo Fonte Elaborado pelo autor M x y N x dy dx yn z y1n 120522 1939 Eadbr ACESSAR Agora considere a equagado diferencial de segunda ordem da forma dy dy aa Zt bcy 0 dx dx onde a b ec sao constantes Esta equagdo é chamada de equagdo homogénea de 2 ordem com coeficientes constantes Note que uma equagao homogénea de 2 ordem uma equaGao linear de 2 ordem com coeficientes ag x a ai x be ag x cegx 0 para todo z Prosseguindo com o metodo de resolucao que acabamos de estudar para as equacées lineares de 1 ordem se ag x a é constante concluimos que a equacdo z ay 0 possui a solugdo exponencial y ce em o0 oo Logo é intuitivo imaginar que a equagdo homogénea de 2 ordem possui uma solucao similar ma dy dy Considerando uma solugdo da forma y e para a equagao a Ta b cy 0 temos que y men ey mem d d a b cy e am bm c 0e 0ouam bmc0 httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2642 120522 1939 Eadbr Mas e 0 para todo x Entado para y e ser solugdo da equacgdo homogénea de 2 ordem com coeficientes constantes 6 necessario que Seja raiz de am bmc0 Esta equacao quadratica é conhecida como equagao auxiliar Sabemos que em uma equaGao do 2 grau temos trés situagdes possiveis para suas raizes Entdo Ou a equacao auxiliar possui raizes reais e distintas Ou possui raizes iguais Ou possui raizes complexas conjugadas Se am bmc0 possuir raizes reais e distintas digamos mj e m2 temos duas solugdes a d para a 2 b cy 0 em ov oo dadas por y e e yo e Entdo neste caso a solucdo geral é dada por y Cye Coe Se am bmc0 possuir raizes reais iguais OU Seja M2 teremos somente uma a d solucdo y e para a b cy 0 em ov ov e a solucdo geral sera dada por y Cye Coe Por fim se am bmc0 possuir raizes complexas conjugadas temos quem aife m2 a if sendo a ef numeros reais As solucdes gerais neste caso sdo andlogas as solucées gerais de quando a equagdo quadratica possui duas raizes reais ou sa y Cyelt9 4 Cyel9 Utilizando a igualdade e cos isenreescrevemos a d d solugao geral da equaGao a eI b cy 0 em oo 00 como y e Cicos Ba Cosen Ba httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2742 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2842 Considere a equação homogênea de 2ª ordem dada por Neste caso e Então para obter a solução geral desta equação precisamos determinar as raízes da equação quadrática isto é Resolvendo esta equação quadrática obtemos que suas raízes são números complexos conjugados dados por e Então pelo que acabamos de ver a solução geral de no intervalo é dada por praticar V P ti y 0 d y 2 dx2 dy dx a 1 b 1 c 1 am bm c 0 2 m m 1 0 2 i m1 1 2 3 2 i m2 1 2 3 2 y 0 d y 2 dx2 dy dx y cos x sen x ex2 C1 3 2 C2 3 2 120522 1939 Eadbr Para resolvermos situag6es problema envolvendo as equacoées diferenciais devemos saber classificala identificando sua ordem e classe Desta forma saberemos 0 melhor caminho que devemos seguir para determinar a solugao do problema Considere as equagdes 2y 5y 3y Oey 3y0 Com base no que aprendemos neste topico assinale a alternativa correta O a A equacdo y 3y 0 éuma equacdo homogénea de 2 ordem O b A equacao auxiliar de 2y 5y 3y 00 possui raizes iguais a 3 O cAsolucdo geralde y 3y 0 édadapory 32 C d Temos que y C e Cye a solucdo geral 2y 5y 3y 0 Feedback alternativa correta como m 12 em 3sdoas raizes de 2m 5m 3 0 temos que a solucdo geral 6 dada por y C et2 4 Cre D O e As equacées 2y 5y 3y Oey 3y 0 nado possuem nenhuma solucdo em comum os b Feedback alternativa incorreta 2y 5y 3y 0 possuisolucdo geral da forma y Cie Cye ey 3y 0 possui solucdo geral da forma y Ce Tomando C 0 Cp C 1 temos que y e 6 solugdo das duas equacoes diferenciais httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 2942 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3042 120522 1939 Eadbr r yw yw e e cf e e e CJ D ha C C O C y 4 C r e e e e C ry Como em diversas situagdes os modelos matematicos sao descritos por equacgées diferenciais podemos utilizar os métodos de resolugdo aprendidos nesta unidade para resolvélos Poderiamos citar aplicagdes das mais diversas areas como 0 decrescimento radioativo crescimento populacional a deflexdo de uma viga corrente em um circuito em série etc No que segue iremos resolver dois exemplos de aplicacao httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3142 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3242 Aplicação das Equações Separáveis Imagine a seguinte situação Um objeto de massa m é projetado sobre a terra em uma direção perpendicular Considerando sua velocidade inicial igual a e que não há resistência do ar qual a menor velocidade inicial para a qual o corpo não retornará à superfície A velocidade procurada é conhecida como velocidade de escape Vamos considerar o semi eixo positivo dos apontando para fora do centro da Terra no decorrer da linha de movimento Então corresponde a superfície da Terra Denotando por o raio da Terra temos que a força gravitacional agindo no objeto é dada por onde é uma constante Mas sabemos que devido a gravidade no nível do mar para temos que onde é a aceleração Logo isto é Desconsiderando outras forças agindo sobre o objeto a equação de movimento é dada por v0 x x 0 R w x k xR2 k x 0 w 0 mg g k mgR2 w x mgR2 x R 2 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3342 com condição inicial Considerando como variável independente podemos reescrever a equação do movimento como ou ainda que é uma equação separável Como vimos no segundo tópico desta unidade a solução geral de uma equação separável é determinada integrando ambos os lados da igualdade Fazendo isso obtemos De temos m dv dt mgR2 x R 2 v 0 v0 x v dv dx gR2 x R 2 v dv dx gR2 x R 2 C v 2 C v2 2 gR2 Rx 2 gR2 Rx v0 v 0 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3442 Substituindo este valor de na equação acima temos que a solução da equação do movimento com condição inicial é dada por Fazendo e obtemos e que são respectivamente a altitude máxima que o objeto alcança e a velocidade inicial necessária para levantar o objeto até a altitude A velocidade de escape é determinada calculando ou seja O valor numérico de é aproximadamente kms Aplicação das Equações Lineares 2 C 2gR C C 2gR v02 gR2 R v02 v02 C v 0 v0 v v02 2gR 2gR2 Rx v 0 x ε ε R v02 2gRv02 v0 2gR ε Rε ε ve lim ε 2gR ε Rε ve lim ε 2gR ε Rε 2gR ve 11 1 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3542 Em engenharia a equação com condição inicial em que é uma constante de proporcionalidade pode descrever a temperatura de um corpo em resfriamento Já em física o mesmo problema de valor inicial ou seja a equação com a condição inicial pode proporcionar o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada através de radioatividade Por exemplo considere que um corpo está inicialmente com a temperatura Uma hora depois para a temperatura passa a ser Se a taxa de decrescimento é proporcional a temperatura desprezando a temperatura do meio ambiente qual o tempo necessário para que essa temperatura decresça a terça parte Queremos resolver a equação diferencial com condição inicial Como é uma equação linear de 1ª ordem seu fator de integração é dado por Então dx kx dt x t0 x0 k T0 t 1 3 4 T0 dT kT dt T 0 T0 dT kT 0 dt e kdt kT 0 kT 0 T 0 T t C dT dt ekt dT dt ekt d dt ekt ekt 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3642 Mas para donde Com isso Por outro lado para isto é Portanto a solução é dada pela expressão e como desejamos a terça parte da temperatura o que implica que isto ocorre em horas praticar Vamos Praticar Considerando a temperatura do meio ambiente a lei de resfriamento que foi enunciada por Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do meio ambiente ou seja onde é a constante de proporcionalidade Sabendo disso se uma barra da estrutura de um prédio é retirada do molde a uma temperatura de 300ºF e três minutos depois sua temperatura t 0 T 0 T0 T0 C T t T0ekt t 1 3 4 N0 N0ek k ln 0 2877 3 4 ek 3 4 T t T0e02877t 1 3 T0 T0e02877 t t 3 82 T t Tm k T dT dt Tm k 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3742 passa para 200ºF quanto tempo irá demorar para a temperatura da barra atingir 75ºF uma vez que a temperatura do meio ambiente é 70ºF a 10 minutos b 201 minutos Feedback alternativa correta neste caso e Observe que a equação é linear e separável então você pode escolher a estratégia que preferir para resolvêla Separando as variáveis e integrando ambos os lados obtemos Como T0 300 C230 Então Agora de T3200 temos que Com isso Assim c 375 minutos d 596 minutos e 1 hora Tm 70 T 0 300 dT k T 70 dt T C 70 ekt T 230 70 ekt k 1 ln 1323 0 19018 3 T 230 70 e019018 t 75 230 70 5230 t 20 1 e019018 t e019018 t 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3842 indicações Material Complementar 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 3942 LIVRO Equações Diferenciais Volume 1 Dennis G Zill e Michael R Cullen Editora Pearson Education do Brasil ISBN 9788534612913 Comentário Neste livro o aluno terá acesso a diversos exemplos resolvidos da teoria das equações diferenciais ordinárias e poderá praticar o conhecimento adquirido nos exercícios propostos Além disso o livro apresenta aplicações reais da teoria 120522 1939 Eadbr FILME O homem que viu 0 infinito Ano 2015 mmf ce Comentario Este filme 6 baseado na historia real do matematico indiano Srinivasa Ramanujan Srinivasa apesar de humilde e morar em um pais que nado havia muita pesquisa na poca desenvolveu grandes ome habilidades matematicas que o fizeram realizar grandes contribuig6es no mundo da matematica como a teoria dos numeros e séries por wae MNase httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4042 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4142 120522 1939 Eadbr httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid9203 4242 referências Referências Bibliográcas ZILL D G CULLEN M R Equações Diferenciais volume 1 3ª ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2001 BOYCE W E DIPRIMA R C Equações Diferenciais Elementares 9ª ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2010