Introdução ao Cálculo Aplicado a Várias Variáveis

20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 119 introdução Introdução CÁLCULO APLICADO VARIAS VARIÁVEIS CÁLCULO APLICADO VARIAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Autora Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 20062022 1244 Eadbr Caro aluno nesta unidade entraremos em um mundo novo o mundo das varias variaveis Se refletirmos veremos que muitos elementos em nossa volta se descrevem através de funcgées de duas ou mais variaveis Desde exemplos simples como a area de nossa residéncia até exemplos mais complexos como a temperatura da atmosfera Logo o estudo sobre funcées de varias variaveis 6 fundamental Iniciaremos esta unidade abordando o comportamento do dominio e imagem de uma fungdo de varias varidveis além disso aprenderemos como esbocgar seus graficos Em seguida apresentaremos os conceitos do calculo diferencial de varias variaveis como a derivada direcional vetor gradiente e a regra da cadeia Esses conceitos serdo utilizados para funcées de duas variaveis reais mas eles podem ser aplicados para varias variaveis Vocé percebera que a maioria dos conceitos expostos nesta unidade recordam os conceitos vistos no calculo ordinario podemos considerdlos como uma extensdo deles Por fim resolva os exemplos e exercicios propostos e pesquise exemplos em outras literaturas que enriquecerdo sua aprendizagem httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 219 20062022 1244 Eadbr Funcoes de Varias Variaveis rFUNGOSS Ge AviIdS VallaVvels rr rc 5 and ESDocO de Craricos ee ee eee ee ee ee eee Até 0 momento estudamos apenas fungdes de uma unica variavel Porém em nosso cotidiano dependemos de calculos com varias variaveis Consequentemente muitas situagdes na area da engenharia sdo descritas por fungdes de varias varidveis como a resisténcia dos materiais a mecanica dos fluidos a mecanica quantica e etc Diante disso destacamos o estudo das funcdes reais de duas variaveis reais Porém todos os conceitos podem ser aplicados para fungdes de trés ou mais variaveis Uma funcdo f de duas variaveis reais uma relacdo que associa cada par ordenado xy de um conjunto A a um unico valor real fxy ou seja f AC R R O conjunto A é denominado dominio de f j4 0 conjunto Imgf fxy xy CA 6 denominado imagem de f Por exemplo considere a funcgdo de duas variaveis reais definida por f x y Para o par ordenado 21 temos 241 21 5 3 Note que f so ndo esta definida nos pares ordenados xy tais que xy 0 ou seja NOs pares xy com x y Portanto o dominio de f é o conjunto A xy R xy e a imagem de f é Imgf ry aty poy xy EA que pode ser reescrita como Imgf aay xy com x y ER Uma forma de visualizar como uma funcao de duas variaveis se comporta é esbogando seu grafico O grafico de uma fungao f AC R R é dado pelo conjunto a seguir G fx y Z ER Z fxy Yy A Como podemos observar pela definicéo de G 7 0 grafico de f um subconjunto de R Exemplificando o grafico de fxy 6 3x 2y tem a equacdo 3x2yz6 que representa um plano conforme esbogo na Figura 21 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 319 20062022 1244 Eadbr 8 z 6 12 8 a aa 24 ig 2 4 6 a 12 2 09 3 10 3 12 aL 2 4 6 Figura 21 Grafico da funcdo fxy 6 3x 2y Fonte Elaborada pela autora Para desenharmos o plano 3x 2y z 6 determinamos as intersecdes com Os eixos Considere que y z0 entdo x 2 a partir disso obtemos 0 ponto 2 0 0 que é a intersecgdo do plano com 0 eixo x Em seguida considere x z 0 encontramos a interseccdo do plano com o eixo y no ponto 0 3 0 Do mesmo modo considerando x y 0 determinamos o ponto 0 0 6 que intersecciona 0 eixo z e o plano Na Figura 22 destacamos os pontos de interseccdo com Os eixos e sombreamos 0 grafico de f no primeiro octante Zz 6 4 10 8 6 10 8 6 4 2 4 2 0 0 2 L 4 6 b 8 6 10 a0 y 2 4 Figura 22 Grdfico da funcdo fxy 6 3x 2y no primeiro octante Fonte Elaborada pela autora A representacgdo geométrica em um grafico de uma fungdo de duas variaveis na maioria das vezes é trabalhosa Para isso temos o conceito de curvas de nivel que nos auxilia visualizar geometricamente o comportamento de uma fungdo A representagdo de uma curva de nivel costuma ser mais facil de ser obtida se comparada ao grafico pois uma curva de nivel de uma fungdo fxy um subconjunto de R Dessa forma considerando z fxy e c elementos da imagem de f chamamos de curva de nivel de f o conjunto de todos os pares xy pertencentes ao dominio de f tais que fxy c Por exemplo considere a fungao hxy x y como xy0 para qualquer par ordenado xy temos que a imagem de h é 0 conjunto dos numeros reais positivos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 419 20062022 1244 Eadbr Agora considere c R a curva de nivel correspondente az c é hxy ou seja xy c Mas essa igualdade representa circunferéncias de centro na origem e raio 4c Se c 0 a curva de nivel se reduz ao ponto 00 Podemos conferir a representagdo grafica dessa igualdade a seguir y 3 2 c4 c2 1 c1 c0 3 2 1 0 A 2 3 x 2 3 Figura 23 Curvas de nivel da funcdo hxy xy Fonte Elaborada pela autora Por outro lado considerando y z 0 obtemos x 0x z0y0exy0z0 Portanto o ponto 000 o ponto de intersegdo com os trés eixos Na Figura 24 veremos que as curvas de nivel projetadas no eixo z se tornam os cortes horizontais do grafico de h ou seja podemos montar o grafico de h a partir de suas curvas de nivel MH fs y 3 37 4 2 3 2 Figura 24 Esboco do grdfico da fundo hxyxy Fonte Elaborada pela autora httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 519 20062022 1244 Eadbr Antes de iniciar os estudos desta unidade vocé ja sabia que fungdes de varias varidveis descrevem eventos simples de nosso cotidiano No inicio desta sedo citamos exemplos presentes na area de engenharia porém existem exemplos simples de situagdes que sdo descritas por funcgdes de varias variaveis Por exemplo a area de um retangulo depende de duas quantidades comprimento e largura Oo volume de um prisma retangular depende de trés variaveis comprimento e largura da base e a altura do prisma Além dos exemplos citados existem diversos outros Quais fungdes de varias varidveis estado presentes em seu cotidiano Para nos ajudar a visualizar as funcées de duas variaveis graficamente podemos utilizar softwares Por exemplo todas as imagens desta secdo foram elaboradas com 0 auxilio do software GeoGebra Este software possui uma versdo online e gratuita Sabemos que as fungées descrevem através de modelos matematicos quase tudo que esta a nossa volta E muitos desses modelos sdo descritos por fungdes de varias variaveis Por exemplo a temperatura da atmosfera e 0 volume de um cilindro circular Com base no que estudamos assinale a alternativa correta Jxetytl 0 a O dominio da fungao x y é dado pelo conjunto R A xyER x1 O b A imagem da fungdao gxy19 2 y é dada pelo intervalo 09 O c O grafico de gx y19 x y representa uma esfera de centro na origem e raio 3 O d As curvas de nivel da funcgdo gxy 9 2 y sao dadas por circunferéncias de centro 00 e raio 3 O e A equagdo 3x2y 0 uma curva de nivel para funcdo fxy63x2y para o ponto c6 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 619 20062022 1244 Eadbr Jy Jy Jy Jd 1 F am Ce Pe PYyAIe 4 Fy Ace Derivadas Direcionalis e Vetores Gradientes a ee ee eee eee ee ee ee ee A definigdo de derivada direcional de uma funcdo f de duas variaveis no ponto 29 Yg na direcdo de um vetor unitario u a b é dada por f xo ha yo hb f 0 Yo Du f 0 Yo lim 2 h0 h caso esse limite exista Considerando fxy x y vamos calcular a derivada direcional de f no ponto 11 na direcgdo do vetor u em que u é Oo versor do vetor v 11 Com efeito inicialmente note que foi necessario trabalhar com a diregdo u sendo o versor do vetor v pois pela definido a diregdo precisa ser um vetor unitario Sendo u ab um vetor unitario qualquer temos que 1ha 1hb f 11 1ha 1hb 2 h0 h h0 h Como a direcdo desejada é dada por u oh 3 logo 1l 1 Di f 1 2 2 0 V2 V2 Quando trabalharmos com os vetores candnicos i 1 0 ej 0 1 as derivadas direcionais recebem uma nomenclatura especial derivadas parciais de f Se u i 10 denotamos D f f a denominamos derivada parcial de f em relagdo a x e Se u j 01 denotamos D f fy e a denominamos derivada parcial de f em relacdo a y A derivada parcial de uma fungdo f em relagdo a x é a derivada de gx fxy ou seja Mantemos a variavel y como uma constante Ja a derivada de uma funcgdo f em relagdo a y a derivada de gy fxy em que mantemos x constante httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 719 20062022 1244 Eadbr Por exemplo considerando fxy 2xy 4y Logo 1 fy 2yx 0 2y pois olhamos y como constante e derivamos em relacdo a x 2 fy 2xy4y 2x 4 pois olhamos x como constante e derivamos em relaGdo a y 3 f 21 21 2 substituindo 0 ponto 21 no que determinamos no item 1 4 ty 012044 substituindo 0 ponto 01 no que determinamos no item 2 Considere uma funcdo de duas variaveis fxy diferenciavel em x ey isto 6 f fyexistem Entdao f tem derivada direcional na direcdo de qualquer vetor u abe Dy f y fxy at fyy b Se retornarmos no calculo da derivada direcional de fxyxy no ponto 11 e diregdo u ab realizado no inicio deste tdpico observamos que essa relacgdo foi satisfeita pois obtemos que Du f 1 1 2a 2b f y 2x e fyxy2y logo f11 2e f112 Note que a relacdo D f xy fy a fxy b diz que a derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar entre dois vetores pois Du f xy fry fyyab far y fyly u Dessa forma o vetor fxy Fyy possui uma nomenclatura e notacdo especial se f uma funcdo de duas variaveis x e y 0 gradiente de f é a fungdo vetorial V f definida por V f xy fa y fy y Sendo fxy sen x e4 obtemos ef xy cos x ye pois consideramos y como constante fzy x e pois consideramos x como constante Portanto Vfxycosx yer ee Vf01cos0 1 e0 et 920 Com a nomenclatura do vetor gradiente podemos escrever a derivada direcional de uma fungdo de duas variaveis f na diredo u por exemplo Du f xy Vfyu Para determinar a derivada direcional da funcao fxy xy4y no ponto 21 e diregdo v 2i5j Primeiro obServamos que V 2105012005 25 ndo é um vetor unitdario logo um vetor unitario na diregdo v é dado por seu versor ou seja U wv 25 fe 5 lb ore ym 35 Dessa forma temos que httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 819 20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 919 xy 2xy³ e xy3x²y² 4 Logo 21 4 e 21 8 E pela apresentada f 21 u 4 8 praticar Vamos Praticar Quando determinamos a derivada de uma função de uma variável em um ponto qualquer não precisamos nos preocupar com a direção desse ponto pois ela é única No cálculo diferencial de funções de várias variáveis isso muda Com base no que aprendemos nessa seção assinale a alternativa correta a sendo fxyx²xy e u 11 b sendo fxyx²xy e u 34 c Se fx com temos que xy d Se fxy sen x 2 cos y temos que xy 2 sen x e Temos que f xy 4 2x 4 4y se fxy 4 x² 2y² fx fy fx fy Du f 2 1 2 29 5 29 8 29 40 29 32 29 f 1 2 5 Du f 1 2 4 Du 1 x y 2 2 x y 1 2 2 fx xy 1x y 2 2 fy 20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1019 Sabemos que uma aplicação do cálculo diferencial de uma variável é interpretar a derivada de uma função fx como uma taxa de variação o mesmo ocorre para as derivadas direcionais de funções de várias variáveis Portanto como a derivada direcional de fxy para qualquer direção u é uma taxa de variação uma pergunta natural é em qual dessas direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação A resposta por sua vez tem ligação direta com o gradiente de f e está enunciada no próximo teorema Teorema 21 se f é uma função de duas variáveis e e existam e sejam contínuas O valor máximo da derivada direcional é o módulo do vetor gradiente f e ocorre quando u tem a mesma direção que f Podemos utilizar esse resultado para aplicações por exemplo suponha que a função fxyx²3y² represente a distribuição de temperatura em graus Celsius no plano xy de um material em que x e y estão em centímetros No caso do ponto 11 qual a direção de maior crescimento da temperatura A taxa de variação da temperatura em determinada direção u é dada por Dessa forma temos que f xy 2x 6y então f 11 26 Pelo Teorema 21 a temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente f 11 26 ou equivalentemente f 11 2 10 6 01 2 i 6 j Se desejarmos calcular a maior taxa de aumento pelo Teorema 21 basta determinarmos o módulo do vetor gradiente Logo Aplicações das Derivadas Aplicações das Derivadas Direcionais Direcionais fx fy f Du f Du 2 6 2 2 6 2 2 40 10 20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1119 ou seja a taxa máxima de aumento da temperatura no material é de aproximadamente 63 ºC por cm praticar Vamos Praticar Como já mencionamos todos os conceitos aplicados para funções de duas variáveis podem ser estendidos para funções de três ou mais variáveis Considere a função fxyz1 x² 2y² 3z² que descreve a temperatura de um material em um ponto xyz do espaço em que f é dada em Celsius e x y e z em centímetros Analise as alternativas seguir e assinale a correta a A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 45 ºC por centímetro b A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 48 ºC por centímetro c A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 62 ºC por centímetro d A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 7 ºC por centímetro e A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto 1 1 0 é de aproximadamente 77 ºC por centímetro 20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1219 Nesta seção consideramos que a função f é diferenciável ou seja suas derivadas parciais existem e são contínuas Devemos recordar também que no cálculo diferencial para funções de uma variável existe uma regra que nos auxilia a calcular a derivada de uma função composta denominada Regra da Cadeia Para funções de mais variáveis compostas também utilizamos a regra da cadeia porém ela tem muitas versões Isso ocorre pois a função f pode depender de n variáveis que chamaremos de intermediárias e as n variáveis intermediárias podem ser vistas como funções que dependem de n variáveis por sua vez denominadas variáveis independentes Para compreendermos o caso geral da regra da cadeia precisamos analisar duas situações Primeiro suponha que fxy seja uma função diferenciável de x e y em que x gt e y ht são funções diferenciáveis de t Então fxy fgt ht é uma função diferenciável de t e a Regra da Cadeia que veremos generalizada posteriormente nos garante que em que representa a derivada de f em relação a t como usávamos no cálculo diferencial para funções de uma variável Nesta primeira versão temos que f depende indiretamente de t uma vez que x e y são funções de t Por exemplo considere fxyx²y4xy³ em que x sen 2t e y cos t Utilizando a regra acima vamos determinar quando t 0 Note que Mas para t 0 x sen 0 0 e y cos 0 1 Logo 4 2 0 0 8 Regra da Cadeia para Funções de Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis Várias Variáveis df dt fx dx dt fy dy dt df dt dz dt 2xy 4y 2 cos 2t x 12xy sen t dx dt fx dx dt fy dy dt 3 2 2 dz dt 20062022 1244 Eadbr Agora vamos supor que fxy seja uma fungdo diferenciavel de x e y em que x gst e y hst sdo fungdes diferenciaveis de s e de t Portanto fs f Ls fy Ys e fi te Le ty Ut Nessa segunda versdo s e t sdo variaveis independentes x e y sdo variaveis intermediarias e f xy fgst hst 6 a varidvel dependente Considere fxy e sen y onde x st e y st pela Regra da Cadeia 2 2 f e sen yt e cos y2st te sen st 2 ste cos st e 2 2 f e sen y2st e cos ys 2ste sen st se cos st Por fim temos uma versdo geral em que n variaveis intermedidarias e m variaveis independentes Como veremos a derivada parcial da funcdo f tera n termos um para cada variavel intermediaria Regra da Cadeia suponha que f seja uma funcdo diferenciavel de n variaveis gi x yee eve cada x é uma funcdo diferencidvel de m variaveis t1 to tm Entdo f uma funcdo diferenciavel det to tme fi fr a yi fx x oe fxn v4 para cadai1 2m Por exemplo se fxyz xy yz onde x ts y ts e z ts pela Regra da cadeia temos que 37 3 3 22 B22 2 fife ti fyy h Ly s x z s 3yz ts 3t5 235 15 6t 5 4ts 7t6 3 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1319 20062022 1244 Eadbr Nesta unidade vimos alguns conceitos do calculo diferencial para fungdes de duas variaveis e verificamos uma relacdo entre esses conceitos com os conceitos vistos com 0 calculo diferencial para fungdes de uma variavel Nao abordamos os conceitos de limite e continuidade de fung6es de duas variaveis porém tais conceitos sdo extens6es da teoria que ja sabemos para fungdes de uma variavel Para conhecer com mais precisdo essa teoria acesse 0 video aula Com as regras e conceitos aprendidos nesta unidade estamos aptos para esbocar e derivar os mais variados tipos de funcdes de duas variaveis Esses conceitos nos auxiliardo em matérias futuras Ao compormos duas funcées obtemos uma nova fungdo denominada fungdo composta As fungdes compostas na maioria das vezes sdo mais dificeis de serem diferenciadas mas como vimos nessa sedo temos a Regra da Cadeia para nos auxiliar neste processo Observando os conceitos aprendidos nessa secdo assinale a alternativa correta O y2 ptar df t 2 a Sendo f xy xy com xe ey 2t1 temos que 4ryte 22 d O b Sendo f xy xy comxe ey 2t 1 temos que of 4e se t1 O Se fuv uv com U x e v 3x1 temos que 8x 22 O dSeu ary y2 em que X rse y rse ezrs sent u 4ay 24 2yz 3y2 OeSeu ary y2 em que x rse yrse ez rs sent u 100 se r2 s 1 e t0 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1419 20062022 1244 Eadbr Material C t LIVRO Um curso de calculo volume II Hamilton Luiz Guidorizzi Editora LTC GEN ISBN 9788521612803 Comentario esse livro traz a teoria do calculo diferencial de varias variaveis de forma completa além de conter varios exercicios resolvidos Essa é uma Otima bibliografia para pesquisar suas duvidas e aprofundar o conhecimento httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1519 20062022 1244 Eadbr FILME O jogo da imitagao Ano 2014 amma o2 Comentario esse filme narra a histéria de como os conhecimentos em Matematica ldgica e ciéncia da computagao do cientista Alan Turing contribufram para as estratégias usadas pelos Estados Unidos durante an a Segunda Guerra Mundial httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1619 20062022 1244 Eadbr Nesta unidade familiarizamos com as fungédes de varias variaveis Essas fungdes que ainda ndo haviam sido estudadas por nds sdo muito importantes pois elas descrevem diversas situagées cotidianas Iniciamos a unidade aprendendo como essas funcées se comportam graficamente Em seguida vimos os conceitos do calculo diferencial de varias variaveis Como percebemos esses conceitos sao extensées do calculo ordindario ja estudado Esperamos que vocé tenha aproveitado essa disciplina ao maximo resolvendo exemplos e exercicios e pesquisando suas duvidas Lembrese de que a dedicagdo influencia a aprendizagem Muito sucesso até a prdxima meee eee eee eee ee ee ee ee eee GUIDORIZZI H L Um curso de calculo volume 2 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2010 STEWART J Calculo volume 2 6 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2008 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1719 20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1819 20062022 1244 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade2ebookindexhtmlsection1 1919