Cálculo Aplicado: Integrais Duplas de Funções de Duas Variáveis

20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 126 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS VARIÁVEIS AS INTEGRAIS DUPLAS AS INTEGRAIS DUPLAS Autor Me Talita Druziani Marchiori Revisor Raimundo Almeida INICIAR 20062022 1246 Eadbr Introduce Ola estudante Nesta unidade vamos entender como calcular a integral dupla de fungdes de duas variaveis Existem muitas aplicabilidades das integrais duplas como o calculo de volumes e areas de superficies determinar massas e centroides etc Iniciamos a unidade com integrais duplas calculadas sobre regides retangulares e em seguida calcularemos essas integrais através das integrais iteradas Apdés vamos aprender a determinar integrais duplas em regides mais gerais Por fim trabalharemos com um novo sistema de coordenadas bidimensional as coordenadas polares Sugerimos que resolva todos os exemplos e exercicios propostos esclarecendo suas duvidas Além disso realize exercicios extras Sua dedicacdo sera fundamental para 0 aprendizado httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 226 20062022 1246 Eadbr 1 rr YU FI ry re a Tr a Cc Integral Dupla em Regioes LY p FAY ea retanaQguiares a eee eee eee Caroa estudantea ja sabemos que podemos calcular as derivadas parciais de fung6es de duas variaveis reais considerando uma das variaveis como sendo constante e derivando em relagdo a outra Por exemplo sendo 432 4942 Sxy 4xy temos que fx y 12xy2 Do mesmo modo podemos calcular uma integral indefinida de uma fungao de duas variaveis Se desejarmos determinar a integral indefinida da fungdao fx y 4x7 y em relacdo a varidvel x podemos calcular a integral indefinida considerando a variavel y como constante ou seja x4 4x3y7dx 4y7x3dx 4y7z Cyx4C Sabemos que a integral definida JP flxydx com f sendo uma fungdo continua e ndo negativa para a x b é definida como a area delimitada pela intersecgdo do eixo x retas x aexbe pelo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 326 20062022 1246 Eadbr grafico def Agora vamos considerar uma fungdo f positiva definida em um retangulo R a b x c d Denotamos por S a regido que esta acima de R e abaixo do grafico de fz fxy Dividindo o intervalo ab em m intervalos da forma x1x de mesmo comprimento Ax bam e o intervalo cd em n intervalos da forma yy de mesmo comprimento A y dcn temos que o volume de S é dado por m n V lim fx y AA mn oj1j1 onde xy um ponto arbitrario de cada Ry jpxlb Ly e AAAxAy Esse tipo de limite acontece também em outras situagdes mesmo se fndo for uma funcdo positiva entdo definimos a integral dupla de f onde f uma fungdo de duas variaveis x e y sobre o retangulo R como m n pfosy AA lim DoD fix y AA mMnN0jj se o limite existir Entdao se este limite existir fé dita integravel Entao pelo que vimos se fxy 0 o volume V do solido que esta acima do retangulo e abaixo da superficie z fx y dado por V pfu yAA ou seja o calculo de volumes uma aplicacdo das integrais duplas Por exemplo o volume do sdlido S que esta abaixo de x7z1 e acima de R11x22 6 dado por VJJ1x7Ad4 Note que o grafico de fx y z 1x émaior ou igual a zero e é representado pela Figura 31 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 426 20062022 1246 Eadbr Figura 31 Grdfico de fx y V1 x Fonte Elaborada pela autora Como estamos restringindo o eixo y nos pontos do intervalo 22 temos que a integral dupla de 1 x sobre R 11 x 22 a metade do volume do cilindro de altura 4 e raio da base 1 Logo V SJplx7Ad 2n Como a integral dupla esta definida através do calculo de um limite e nem todas as integrais conseguimos relacionar com formulas ja conhecidas como no caso anterior sua resolugdo ndo é eficiente Porém temos propriedades que auxiliam no calculo das integrais Admitindo que JJpfixyAA e IIpexy A A existam é valido que Jet e AA fpf y dA fags AA Ipc fy AA cJl pfxy AA onde c é uma constante Sendo fix y gxy para todo xy R IJ pfx y AA Mpg yAA Por exemplo se JJ pfxy A A 3elpaxy AA 2 entdo Jefe ey AA 5 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 526 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 626 praticar Vamos Praticar Pelo que aprendemos podemos calcular o volume de um sólido através das integrais duplas Rfx y Δ A limn m i 1n j 1fx y Δ A Como os pontos x e y são pontos arbitrários de cada Rij xi 1 xi yi 1 yi podemos considerar os pontos médios de cada Rij xi 1 xi yi 1 yi Essa técnica é conhecida como regra do ponto médio para integrais duplas e com ela temos que a integral dupla Rfx y Δ A é aproximadamente igual a m i 1n j 1fx i yj Δ A onde x i e yj são os pontos médios de cada Rij xi 1 xi yi 1 yi Utilizando essa técnica para m n 2 a estimativa da integral Rx 3y2ΔA onde R 0 2 1 2 é a 11 875 b 850 c 5125 d 0368 e 207 20062022 1246 Eadbr 1 Y 1 h c 7o re c c in cLeqcrals iteraagas Geen errr errr reer ener Queridoa alunoa 0 Teorema Fundamental do Calculo nos fornece um método para calcular as integrais de fungdes de uma variavel real sem precisarmos recorrer a definigdo Neste topico veremos como determinar uma integral dupla sem necessitar utilizar a sua definigdo Esse método consiste em calcular uma integral dupla calculando duas integrais ordindrias Sendo uma fungao f de duas variaveis definida sobre o retangulo R a b x cd estaremos considerando x como constante quando d os trabalharmos com OAx dy O resultado dessa integragdo é uma fungdao que d A depende de x que podemos denotar por Ax Jf y dy dal podemos integrar 4 em relacdo a x ou seja J Ace Pty dydx Do mesmo modo consideramos y como constante quando integramos Pflxy dx O resultado dessa integracdo uma fungdo que depende de j donde podemos integralo em relagdo a y isto é 10 Ax y dxdy Note ainda que podemos omitir o uso dos colchetes httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 726 20062022 1246 Eadbr Ch bid dib amamos as integrais duplas JAxy dydx e JAxydxdy de integrais iteradas Entdo a integral iterada xydydx significa que primeiro integramos em relagao ay no intervalo c d e depois integramos em relagdo ax no intervalo a b Ja na integral iterada 21 xy dxdy primeiro integramos em relagdo ax no intervalo a b depois em relagdo a y no intervalo c d Por exemplo para calcular Jal jxvdydx primeiro olhamos x como constante e integramos em relacdo ay no intervalo 12 isto é 2 2 2 220 22 2 3 Jax ydy x livdy x Si F XS TNT NS Agora integramos esse resultado em relagao a x no intervalo 03 assim 3 3 3 x3 333 303 27 322 72382 2 et Loge dx slow de 515103 35 tay 9 Vocé pode se perguntar se calcular a integral iterada i lex2vddy teremos oO resultado Em geral a resposta é sim Entdo vamos verificar primeiro integrando em relagdo a x consideramos y como constante donde 3 3 3 Joxtydx yloxydx yIGo Vy ty Dy e integrando o resultado em relacdo ay 2 2 2 39 2 22 2 fogvdy 5Ughi 22 22 2 Podemos determinar a integral dupla por esse método de forma direta como 13 1 3 1 a3 1 1 x Iolo4xyidvdx Jp4xovidyldx J 4xladx Jo8lxdx 81Joxdx 81Fq 40 5 De maneira geral se f for continua no retangulo R xy a x bc yd entao J pfx wd JO4 Ax ydyae J4 Ax ydxdy Este resultado é conhecido como Teorema de Fubini httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 826 20062022 1246 Eadbr Considere a funcdo flx y x 3y Podemos ver um esboco do grafico de f na Figura 32 abaixo Figura 32 Grdfico de fx y x 3y Fonte Elaborada pela autora Se desejarmos calcular a integral dupla de fsobre R x y0 x 21y2 pelo Teorema de Fubini temos 22 2 2 342 2 x 2 Nil yd Joli 3ydydx olxy y Sole dx yz Tx9 12 Como a resposta dessa integral dupla foi um numero negativo podemos concluir que ela ndo se trata de um volume Isso acontece porque a funcdo f nao é positiva como pudemos observar na Figura 32 Como vimos no primeiro tdpico desta unidade se fxy 0 0 volume do Solido formado pelos pontos que estdo abaixo do grafico de fx y e acima do plano xy pode ser calculado pela integral dupla Mas se fx y 1 temos que Sua integral dupla sobre a regido R é igual a area do conjunto R ou seja area de R J pldxdy pdxdy Por exemplo para determinar a area da regido retangular da Figura 33 basta calcularmos Sfaaxdy Sx Say 14 2dy 2y 124 8 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 926 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1026 Ou seja a área da região da Figura 33 é igual a 8 Figura 33 Cálculo de área Fonte Elaborada pela autora praticar Vamos Praticar Com as integrais iteradas podemos realizar a integração de integrais duplas calculando duas integrais unidimensionais utilizando o conhecimento do cálculo integral que possuímos Assinale a alternativa correta a Sendo R x y R2 1 x 3 1 y 2 R2x 4ydydx 20 b O volume do sólido determinado pelos pontos 0 z x2 y2 com 0 x 3 e 0 y 2 é 32 c Temos que π 0 2 1ysenxydxdy 1 d Utilizando o Teorema de Fubini podemos concluir que 2 01 0x 2dxdy 5 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1126 e Sendo R x y R2 0 x 5 0 y 1 Rxeydydx 0 20062022 1246 Eadbr 5 oa 7 c c 7 Integrals Duplas Sobre Y FI y LY a PY PY Y cy megioes Gerals Geen errr errr reer ener Ja aprendemos alunoa nos tdpicos anteriores a calcular uma integral dupla sobre regides retangulares Agora considere uma fungdo f de duas variaveis definida sobre uma regido limitada D que ndo é retdngulo Para realizar a integragdo dupla sobre esta regido D recorremos a regido retangular em que F esta definida onde a funcdo F é igual a funcdo fem D e F 0 fora de D Isto é se f estiver definida sobre uma regido limitada D qualquer definimos uma nova funcdo F para determinar a integral dupla de f Essa funcdo F possui como dominio um retangulo R onde D c R e é definida por Fx y fix y se xy De Fx y 0 se x y R D Observe a ilustragao a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1226 20062022 1246 Eadbr y 0 Xx Figura 34 Relacdo entre o dominio de f e o dominio de F Fonte Elaborada pela autora Definimos a integral dupla de fem D por I pfx dA J pF x yd desde que F seja integravel em R Vamos classificar as regides D em dois tipos Se uma regido D for a regido entre o grafico de duas fungdes continua em x diremos que D é do tipo I Agora se D for a regido entre o grafico de duas fungdes continua em yj diremos que D é do tipo Il Para calcularmos as integrais duplas de funcgdes de duas variaveis definidas sobre regides do tipo ou seja regides da forma D x yaxbgxy gx com g eg continuas em ab utilizamos a seguinte igualdade b x Npflx yd NP fos vidya E de modo analogo calculamos as integrais duplas de funcgdes de duas variaveis definidas sobre regides do tipo Il isto é regides da forma D 9 cS ysdhxx haxt com he h continuas em c d como httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1326 20062022 1246 Eadbr dth NT nf ydA Teles ydxdy Por exemplo se a regido D for limitada pelas pardbolas y 2x7ey 1 x temos que esta regido é do tipo uma vez que 2x7 1x7 x 1 Logo podemos escrever D xy 1 x 12x y 1x7 Na Figura 35 temos a visualizagdo grafica desta regido y y 1x 6 y 2x 5 4 3 2 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 1 Figura 35 Regido do tipo Fonte Elaborada pela autora Entdo a integral dupla de fix y x 2y sobre D é dada por int intD fxy dA int141 int2x4241x42x2y dy dx ayaltx jbo yRoj 2 de 1 eC x 1 x xx 2x7 1 3x4 x 2x Dd Wee 1 Loss gg tg tl 32 15 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1426 20062022 1246 Eadbr A regido D limitada pela reta y 2x e pela parabola y x pode ser vista como uma regiao do tipo II Entdo podemos escrever D xy0y 4 12y x Vx Graficamente y 5 x 2 4 3 2 xV 2 1 9 1 2 3 4 x 1 Figura 36 Regido do tipo II Fonte Elaborada pela autora Calculando a integral dupla de flx y x7 y sobre D considerando D como uma regido do tipo Il obtemos 4pay Jf ydA J of Y x ydxdy 2 4x3 xap x Joly ty x dy x 5 1 sy GP Jol yay Slay 372 3 3 4 522 Fy y ee ad J 1G yg 52 72 4 pe By a 15 7 96 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1526 20062022 1246 Eadbr 216 35 A regidoD limitada pela reta y2x e pela parabola y x citada anteriormente também pode ser vista como uma regido do tipo Observe a figura abaixo y 5 y 2x 4 3 2 1 yxX 2 1 0 1 2 3 4x 1 Entdo como regiao do tipo temos que D x y0 x 2x y 2x Se calcularmos a integral dupla de fix y x y sobre D considerando D como uma regido do tipo iremos obter o mesmo resultado Ou seja 216 Ninf yydd I BQ ydxdy Fonte Elaborado pela autora httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1626 20062022 1246 Eadbr Como pudemos observar no Reflita se uma regido pode ser escrita dos tipos e Il podemos calcular sua integral da forma que acharmos mais apropriado O calculo tera a mesma resposta Assim como ja comentamos para regides retangulares quando estamos trabalhando com regides gerais a integral dupla de fxy0 sobre B xyz R xy Be0 zflxy 0 volume do sdlido formado pelos pontos que estdo abaixo do grafico de fx y e acima do plano xy e se fix y 1 a integral dupla de fsobre B é igual a area do conjunto B O sdlido limitado entre os planos x 2y z x 2yx 0z 0 um tetraedro Sabemos que podemos determinar seu volume através do calculo de integrais duplas Entdo é correto afirmar que este tetraedro possui volume igual a O a 13 O b 78 O 27 Od15 O ee7 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1726 20062022 1246 Eadbr 1 Yo wom pom re b Integrais Duplas em 7 c 7 c Coordenadas Polares Geen errr errr reer ener Algumas integrais duplas sao complicadas de serem determinadas quando Suas regides sdo descritas como coordenadas retangulares Para esses casos definiremos um novo sistema de coordenadas no plano cartesiano as coordenadas polares Imagine caroa estudante que queremos calcular a integral dupla JJ fx ydA onde P é a regido esbogada na Figura 38 Seria dificil calcular esta integral se escrevéssemos a regido D em coordenadas retangulares entao escrevemos ela em coordenadas polares httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1826 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 1926 Figura 38 Região P Fonte Elaborada pela autora Um retângulo polar é da forma P r θ a r b α θ βe relacionamos as coordenadas polares rθ de um ponto com as coordenadas retangulares através das igualdades r2 x2 y2 x rcosθ y rsenθ Assim se f é contínua no retângulo polar P onde 0 β α 2π temos que Pfx ydA β αb afrcosθ rsenθrdrdθ Por exemplo se desejarmos calcular a integral dupla P3x 4y2dA onde P é a região do semiplano superior limitada por x2 y2 1 e x2 y2 4 podemos descrever a região P em coordenadas retangulares como P x y y 0 1 x2 y2 4 e em coordenadas polares como P r θ 1 r 4 0 θ π Temos que fx y 3x 4y2 assim frcosθ rsenθ 3rcosθ 4r2senθ2 e P3x 4y2dA π 02 13rcosθ 4r2senθ2rdrdθ π 02 13r2cosθ 4r3senθ2drdθ π 0r3cosθ r4senθ2r 2 r 1dθ π 07cosθ 15senθ2dθ 20062022 1246 Eadbr 1 15 15015 isa pl 7cos0 ZC cos20dé 7sen 77 7sen26 9 15z Duas aplicagdes classicas do calculo integral de duas variaveis sdo o calculo de areas de superficies e o calculo de volumes Porém existem diversas outras aplicabilidades para as integrais duplas como as aplicagdes fisicas momento de massa centro de massa e momento de inércia Esses conceitos estado interligados com a teoria de varias disciplinas na area da engenharia Para saber mais sobre como determinamos essas grandezas com o auxilio das integrais duplas veja a secdo 155 do livro Calculo Volume 2 de James Stewart Fonte Elaborado pela autora Desde o ensino fundamental trabalhamos com a férmula az quando desejamos calcular a area de uma circunferéncia de raio z Podemos verificar essa formula através das integrais duplas com o auxilio das coordenadas polares Dada uma circunferéncia de centro na origem e raio z pelos que vimos no decorrer desta unidade sua area é determinada através da integral dupla isto e drea da circunferéncia JJ dxdy httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2026 20062022 1246 Eadbr onde P xy Rxy z Reescrevendo P em coordenadas polares obtemos P 70 R70 0 2n0rz Entao drea da circunferéncia JJ rdrd0 J5irdrd0 2 2 2 f2a 4z yy 207 adn 2 J5 5 p48 19 540 F99 22 As coordenadas polares facilitam o calculo de integrais duplas quando é complicado escrever a regido na qual a funcdo esta definida em coordenadas retangulares Utilizando as coordenadas polares encontramos que o volume do solido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x y é igual a Oa12n O pl b 37 O c tt O d 231 O a e 5h httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2126 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2226 indicações Material Complementar LIVRO Cálculo Volume II Editora Cengage Learning Autor James Stewart ISBN 9788522106615 Comentário Este livro aborda todos os tópicos que vimos nesta unidade de forma ampla e detalhada contendo diversos exemplos resolvidos o que pode ajudar na compreensão da disciplina 20062022 1246 Eadbr FILME 6 O Céu de Outubro Ano 1999 a Comentario O filme é baseado na histdria real de um engenheiro da NASA que na adolescéncia com ajuda de um grupo de amigos desenvolveu um projeto que transformou a vida de todos do grupo TRAILER httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2326 20062022 1246 Eadbr Nesta unidade prezadoa alunoa aprendemos como trabalhar com as integrais duplas de funcgdes de duas variaveis Vimos através das integrais iteradas que nado precisamos recorrer a definigdo para calcular uma integral dupla podemos realizar o calculo de duas integrais unidimensional e utilizar todo nosso conhecimento do calculo integral ordinario Apds trabalhamos com a integragdo dupla sobre regides retangulares e mais gerais e introduzimos um novo sistema de coordenadas para o plano cartesiano as coordenadas polares Esperamos que esta unidade tenha sido produtiva e que vocé tenha aproveitado ao maximo resolvendo exercicios e questionando suas duvidas Continue se dedicando até uma prdoxima Seen eee ee eee GUIDORIZZI H L Um curso de Calculo volume 2 5 ed Rio de Janeiro Grupo GEN 2010 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2426 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2526 STEWART J Cálculo volume 2 6 ed São Paulo Cengage Learning 2008 20062022 1246 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCVV20unidade3ebookindexhtmlsection1 2626