Teorema de Rolle e Pontos de Extremos Relativos- Máximos e Mínimos Locais

2 de 5 teorema de Rolle seja J ummo contonu ocno terno J é derivável no interior de f Se fx 0 para todo x no interior de J é constante Figura 4 Crescimentodecrescimento de f A figura abaixo mostra o gráfico de f e as retas tangentes nos pontos P1 1 f1 e P2 13 f13 O ponto x 1 é dito um ponto de máximo local de f e o ponto x 13 é dito um ponto de mínimo local de f O resultado abaixo estabelece uma conexão entre ponto de extremo relativo e ponto crítico Sejam f uma função definida num intervalo I e x0 um ponto interior de I e suponha que f é derivável em x0 Se x0 é ponto de extremo relativo de f então x0 é ponto crítico de f isto é fx0 0 Figura 5 Gráfico de fx x3 x2 x 1 Máximos e mínimos Considere a função f dada pelo gráfico abaixo Figura 7 Pontos de extremo relativo são pontos críticos Figura 6 Máximos e mínimos locais Não vale a reciprocaa da proposição acima Isto é x0 ponto crítico de f não implica necessariamente que x0 é ponto de máximomínimo local de f Como exemplo considere a função fx x3 Temos fx 0 𝛕 3x2 0 𝛕 x 0 mas 0 não é ponto de máximo local e nem de mínimo local de f pois f é crescente Veja a figura 8 abaixo Figura 8 x 0 é ponto crítico mas não é ponto de extremo relativo Note que existe um pequeno intervalo aberto em torno de x0 a região em vermelho com a seguinte propriedade se estã nesta região então fx1 𝛕 fx0 Dizemos então que x0 é um ponto de máximo local de f De modo análogo x1 é ponto de mínimo local de f Também x2 e x4 são pontos de máximo local de f e x3 é ponto de mínimo local de f Sejam f uma função e x0 um ponto do domínio de f Dizemos que x0 é um ponto de máximo local de f se existir intervalo aberto I tal que x0 𝛕 I e para todo x 𝛕 I mínimo local de f se existir intervalo aberto I tal que x0 𝛕 I e fx0 𝛗 fx para todo x 𝛕 I máximo global ou absoluto de f se fx0 𝛗 fx para todo x 𝛕 Domf mínimo global ou absoluto de f se fx0 𝛕 fx para todo x 𝛕 Domf Um ponto de máximomínimo local de f também é chamado de ponto de máximomínimo relativo de f Um ponto de máximomínimo global de f também é dito um ponto de máximomínimo absoluto ou simplesmente ponto de máximomínimo de f Pontos de máximomínimo mínimo local ou relativo de f são chamados de pontos de extremo local ou relativo de f O valor da função num ponto de máximomínimo local de f é dito um valor máximomínimo local de f O valor da função num ponto de máximo global de f é chamado de valor máximo de f e é denotado por max f e o valor da função num ponto de mínimo global de f é chamado de valor mínimo de f e é denotado por min f Um ponto x0 do domínio de uma função f é dito um ponto crítico de f se fx0 0 ou se não existe fx0 Exemplo 2 Estudar o crescimentodecrescimento e os pontos de maxmín local de fx xx2 1 Note que Domf R Temos fx 1x2 1 x2xx2 12 1 x2x2 12 Para estudar o sinal de f podemos desprezar o denominador pois este é sempre positivo Logo o sinal de f será o sinal do numerador 1 x2 Para estudar os sinais de 1 x2 começamos descobrindo suas razões 1 x2 0 𝛕 x2 1 𝛕 x 𝛕 1 Lembrando que o gráfico de y 1 x2 é uma parábola côncava para baixo temos os sinais para f e daí os intervalos de crescimentodecrescimento de f Figura 9 Sinais de f e comportamento de f Assim f é crescente em 11 e decrescente em 11 x 1 é ponto de mínimo local de f e x 1 é ponto de máximo local de f Exemplo 3 Determine os intervalos de crescimentodecrescimento e os pontos de máximomínimo local de a fx x2 xx2 1 b fx xex a Domf x 𝛕 R x2 1 𝛕 0 R 11 fx x2 1x x2 1xx2 12 2xx2 1 x2 11x2 12 Os sinais de f são os sinais de seu numerador x2 1 pois x2 12 é positivo para todo x 𝛕 1 Mas x2 1 tem sempre sinal negativo Figura 10 Sinais de f e comportamento de f Assim f é decrescente em 1111 Não há pontos de máximo ou mínimo local Figura 12 Sinais de f e comportamento de f 1 e x2 são pontos de mínimo global de f no intervalo considerado x4 é ponto de máximo global de f no intervalo considerado Além disso min f 3 e max f 17 Concavidades e ponto de inflexão Observando o gráfico abaixo vemos que o trecho correspondente ao intervalo ab assemelhase a uma parábola côncava para baixo o trecho correspondente ao intervalo bf assemelhase a uma parábola côncava para cima e o trecho correspondente ao intervalo cd assemelhase a uma parábola côncava para baixo novamente Dizemos então que a função f ou seu gráfico tem concavidade para baixo em ab 𝛕 cd e concavidade para cima em bc