Derivacao Implicita - Metodo e exemplos resolvidos

Mesmo não sendo possível obter y explicitamente podemos obter a derivada dydx a partir da equação original envolvendo x e y Tal técnica é chamada de derivação ou diferenciação implícita Consideramos y como uma função desconhecida de x e derivamos os dois lados da equação em relação à variável x Para facilitar a compreensão dos exemplos abaixo reescrevemos a tabela de derivadas com a regra da cadeia Aqui y é função de x e a EXEMPLO 3 Sendo y fx dada implicitamente pela equação xexy y2 1 obter a equação da reta tangente à curva no ponto P 0 1 Derivando os dois lados da equação em relação a x e lembrando que a derivando ex em relação a x obtemos exy exy obtemos xey y2 1 x e y x e y 2y y 0 xey 2y e y y exy 2y 2y Portanto mt yP y0 1 ex 2ex 21 e1 2e e equação da reta tangente à curva por P 0 1 é y 1 12e x 0 isto é y 12e x 1 EXEMPLO 4 Supondo y função implícita de x dada pela equação x xy 2x2y3 0 obter a derivada y dydx Derivando ambos os lados em relação à variável x obtemos x xy 2x2y3 0 x x y xy 2x2 y3 x23 y2 0 1 y xy 2xy3 32x 2 y2 y 0 xy 3xy 2 y 2xy3 y 1 x 31 y y 2xy3 y 1 y 2xy3 y 1 x 3x y2 EXEMPLO 5 Determinar a equação da reta tangente à curva x2 y2 13 x2 y3 0 no ponto P 11 sendo y função implícita de x Derivando ambos os lados da equação em relação a x temos 3x2 y2 12 2x y2 1 x2 y3 x2 3 y2 0 3 x2 y2 1 2x 2yy 2xy3 3x2 y2 y 0 6x x2 y2 12 6y x2 y2 12 y 2xy3 3x2 y2 0 6yx2 y2 12 3x2 y2 y 2xy3 6x x2 y2 12 6yx2 y2 12 3x2 y2 Portanto y dydx 2xy3 6x x2 y2 12 6yx2 y2 12 3x2 y2 Assim dydx P 43 é a equação da reta tangente à curva nesse ponto é y 1 43 x 1 isto é y 43 x 73 A figura abaixo mostra o lugar geométrico da equação x2 y2 13 2x2 y3 0 e a reta tangente em P 11 EXEMPLO 6 Sendo y função de x dada pela equação ln y xy 1 determine y dydx e a equação da reta tangente à curva em P 0 e Derivando ambos os lados da equação em relação à variável x temos ln y xy 1 1y y xy xyy2 0 yy y xyy2 0 yyy y xyy2 0 yy y xy 0 yy xy y y xy y y yy x y y x y Assim mt yP e0 1 1 e a equação da reta tangente em P 0 e é y e 1 x 0 isto é y x e EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1 Em cada equação abaixo y é dada implicitamente como função de x Determine a derivada y dydx e a equação da reta tangente à curva no ponto P indicado a x2 xy y2 1 P 23 b x2 y2 25 P 3 4 c x2 y2 9 P 13 d xy x2y 2 P 31 e y x2 2x 4 P 62 f 2xy xy2 2xy 2 0 P 12 2 Determine y dydx em cada caso abaixo a y ln x x ln y 2x 0 b y2 x2 x2 1y 1 0 c ln y xy d xy arctg xy e ex y 0 RESPOSTAS 1 a y 2x y 7x 4y 2 0