Cálculo 3

CURSO DE ENGENHARIADEPENDÊNCIAADAP Disciplina CALCULO III Trabalho TURMA Professor Júlio César Araújo Orientação O presente trabalho consta com atividades totalizando assim 10 pontos A presente folha deve ser entregue juntamente com as respostas e cálculos que deve ser feita a caneta preta ou azul SERÁ DESCONTADO 20 PONTO O NÃO CUMPRIMENTO DESTE ITEM Data de entrega CONFORME CALENDÁRIO AVA É obrigatório a aposição dos cálculos em todas as questões NOME SERÁ AVALIADO COM OS RESPECTIVOS CÁLCULOS NÃO SERÁ ACEITO APENAS A RESPOSTA 1 Calcule as derivadas de segunda ordem da função fx y x3y 2y2 𝑦𝑥2 4𝑥 10 PONTO 2 Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por fx y 2x3 xy2 5x2 y2 20 PONTOS 3 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico 𝑍 4 x2 y2 e acima do quadrado 𝑅 11 𝑋 02 10 PONTO 4 Calcule a integral iterada cos𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 0 𝑦 0 𝜋 2 0 10 PONTO 5Calcule a integral da função descrita por 𝑍 na região dada 10 PONTO 𝑍 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 3x2y2z 𝐺 𝑥 𝑦 𝑧0 𝑥 3 1 𝑦 2 0 𝑧 4 SERÁ AVALIADO COM OS RESPECTIVOS CÁLCULOS NÃO SERÁ ACEITO APENAS A RESPOSTA 6 Calcule G z dV y f x nos seguintes itens sendo 40 PONTOS 2 z 3 e 0 y 0 2 x 12xy2z3 com 1 y z f x a 1 0 x x2 2 x y 0 xdzdydx b 2 0 x2 0 y 0 y dzdydx c 4 0 2 y y 0 y dzdxdy d LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO III Questão 1 Calculando as derivadas de primeira ordem de fxy temos fx x x3y 2y2 yx2 4x 3x2y 2yx 4 fy y x3y 2y2 yx2 4x x3 4y x2 Calculando as derivadas de segunda ordem de fxy temos fxx x 3x2y 2yx 4 6xy 2y fyy y x3 4y x2 4 fxy y 3x2y 2yx 4 3x2 2x Questão 2 Calculando as derivadas parciais de fxy temos fx x 2x3 xy2 5x2 y2 6x2 y2 10x fy y 2x3 xy2 5x2 y2 2xy 2y 2yx 1 Para determinar os pontos críticos devemos verificar os pontos onde as derivadas parciais são nulas isto é 6x2 y2 10x 0 2yx 1 0 Pela segunda equação temos que 2y 0 y 0 x 1 0 x 1 Substituindo y 0 na primeira equação temos 6x2 0 10x 0 2x3x 5 0 x 0 x 53 Substituindo x 1 na primeira equação temos 612 y2 101 0 6 y2 10 0 y2 4 0 y2 4 y 2 y 2 Portanto os pontos críticos são 12 12 00 e 530 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem de fxy temos fxx x 6x2 y2 10x 12x 10 fyy y 2yx 1 2x 1 2x 2 fxy y 6x2 y2 10x 2y Para determinar a natureza dos pontos críticos devemos calcular o determinante da matriz Hessiana de fxy nos pontos críticos Se Dxy 0 e fxxxy 0 então fxy tem um mínimo local em xy Se Dxy 0 e fxxxy 0 então fxy tem um máximo local em xy Se Dxy 0 então xy é um ponto de sela Logo temos D fxx fxy 12x 10 2y fyx fyy 2y 2x2 12x 102x 2 2y2y 24x2 24x 20x 20 4y2 24x2 44x 20 4y2 D12 2412 441 20 422 24 44 20 16 16 0 D12 2412 441 20 422 24 44 20 16 16 0 D00 2402 440 20 402 20 0 fxx00 120 10 10 0 D530 24532 4453 20 402 6009 2203 20 6009 6609 1809 1209 403 0 fxx530 1253 10 20 10 10 0 Portanto 12 e 12 são pontos de sela 00 é um ponto de mínimo local e 530 é um ponto de máximo local Questão 3 Queremos calcular a integral dupla 02 11 4 x2 y2 dx dy Calculando a integral interna temos 11 4 x2 y2 dx 4x x33 xy2x1x1 4 13 y2 4 13 y2 4 13 y2 4 13 y2 8 23 2y2 263 2y2 Substituindo na integral externa temos 02 263 2y2 dy 26y3 2y33y0y2 2623 2233 0 0 523 163 363 12 Portanto a integral dupla é 02 11 4 x2 y2 dx dy 12 Questão 4 Queremos calcular a integral iterada ₀π2 ₀y ₀x cosx y z dz dx dy Para calcular a integral mais interna realizaremos uma substituição de variável Seja x y z u então dudz 1 e consequentemente du dz Se z 0 então u x y Se z x então u 2x y Logo temos ₀x cosx y z dz xy2xy cosu du senuuxy2xy sen2x y senx y Substituindo na próxima integral temos ₀y sen2x y senx y dx ₀y sen2x y dx ₀y senx y dx Para calcular a integral acima realizaremos substituições de variáveis Seja v 2x y então dvdx 2 e consequentemente dx 12 dv Seja w x y então dwdx 1 e consequentemente dx dw Se x 0 então v y e w y Se x y então v 3y e w 3y Logo temos ₀y sen2x y dx y3y senv2 dv cosv2vy3y cos3y2 cosy2 ₀y senx y dx y2y senw dw coswwy2y cos2y cosy ₀y sen2x y senx y dx cos3y2 cosy2 cos2y cosy cos3y2 cos2y cosy2 Substituindo na próxima integral temos ₀π2 cos3y2 cos2y cosy2 dy 12 ₀π2 cos3y dy ₀π2 cos2y dy 12 ₀π2 cosy dy Para calcular a integral acima realizaremos substituições de variáveis Seja a 3y então dy 13 da Seja b 2y então dy 12 db Se y 0 então a 0 e b 0 Se y π2 então a 3π2 e b π Logo temos 12 ₀π2 cos3y dy 12 ₀3π2 cosa3 da 16 senaa03π2 16 sen3π2 sen0 16 1 0 16 ₀π2 cos2y dy ₀π cosb2 db 12 senbb0π 12 senπ sen0 12 0 0 0 12 ₀π2 cosy dy 12 senyy0π2 12 senπ2 sen0 12 1 0 12 Portanto a integral iterada é ₀π2 ₀y ₀x cosx y z dz dx dy 16 0 12 16 12 16 36 26 13 Questão 5 Calculando a integral tripla temos ₀4 3x² y² z dz 3x² y² ₀4 z dz 3x² y² z²2z04 3x² y² 4²2 0²2 3x² y² 8 24x² y² ₁2 24x² y² dy 24x² ₁2 y² dy 24x² y³3y12 24x² 2³3 1³3 24x² 83 13 24x² 73 56x² ₀3 56x² dx 56 ₀3 x² dx 56 x³3x03 56 3³3 0³3 56 273 56 9 504 G fx y z dV ₀3 ₁2 ₀4 3x² y² z dz dy dx 504 Questão 6 a Calculando a integral tripla temos ₀2 12xy² z³ dz 12xy² ₀2 z³ dz 12xy² z44z02 12xy² 244 044 12xy² 164 12xy² 4 48xy² ₀3 48xy² dy 48x ₀3 y² dy 48x y³3y03 48x 3³3 0³3 48x 273 48x 9 432x 12 432x dx 432 12 x dx 432 x²2x12 432 2²2 1²2 432 42 12 432 32 648 G fx y z dV 12 ₀3 ₀2 12xy² z³ dz dy dx 648 Questão 6 b Calculando a integral tripla temos 0 a 2xy x dz x 0 a 2xy 1 dz x zz0z2xy x 2 x y 2x x² xy x² a x 2x x² xy dy 2xy x²y xy² 2yx²yx 2x² x³ x³ 2 2x³ x⁴ x⁵ 2 2x² x³ x³ 2 2x³ x⁴ x⁵ 2 2x² x³ 2 x⁴ x⁵ 2 0 a 1 2x² x³ 2 x⁴ x⁵ 2 dx 2x³ 3 x⁴ 8 x⁵ 5 x⁶ 12x0x1 23 18 15 112 0 0 0 0 80120 15120 24120 10120 31120 0 a 1 x² a x 0 a 2xy x dz dy dx 31120 Questão 6 c Calculando a integral tripla temos 0 a y y dz y 0 a y 1 dz y zz0zy y y y² 0 a x² y² dy y³3y0yx² x⁶ 3 0 a 2 x⁶ 3 dx 13 0 a 2 x⁶ dx 13 x⁷7x0x2 13 2⁷7 0⁷7 13 1287 12821 0 a 2 0 a x² 0 a y y dz dy dx 12821 Questão 6 d Calculando a integral tripla temos 0 a y y dz y 0 a y 1 dz y zz0zy y y y² y a 2 y² dx y² y a 2 1 dx y² xxyx2 y² 2 y 2y² y52 0 a 4 2y³3 2y727 dy 2y³ 3 2y72 704 24³3 24727 00 1283 2567 7128 21 3256 21 7128 21 6128 21 12821 0 a 4 y a 2 0 a y y dz dx dy 12821