Cálculo III - Apostila Multivix

CÁLCULO III A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do Estado do Espírito Santo com unidades em Cachoeiro de Itapemirim Cariacica Castelo Nova Venécia São Mateus Serra Vila Velha e Vitória Desde 1999 atua no mercado capixaba destacandose pela oferta de cursos de graduação técnico pósgraduação e extensão com qualidade nas quatro áreas do conhecimento Agrárias Exatas Humanas e Saúde sempre primando pela qualidade de seu ensino e pela formação de profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho Atualmente a Multivix está entre o seleto grupo de Instituições de Ensino Superior que possuem conceito de excelência junto ao Ministério da Educação MEC Das 2109 institu ições avaliadas no Brasil apenas 15 conquis taram notas 4 e 5 que são consideradas conceitos de excelência em ensino Estes resultados acadêmicos colocam todas as unidades da Multivix entre as melhores do Estado do Espírito Santo e entre as 50 melhores do país MISSÃO Formar profissionais com consciência cidadã para o mercado de trabalho com elevado padrão de qualidade sempre mantendo a credibil idade segurança e modernidade visando à satis fação dos clientes e colaboradores VISÃO Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci da nacionalmente como referência em qualidade educacional R E I T O R GRUPO MULTIVIX R E I 2 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 3 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 MULTIVIX Dados de publicação na fonte Alessandro Ferreira Alves Cálculo III Alves Alessandro Ferreira Multivix 2020 Catalogação Multivix 2019 Proibida a reprodução total ou parcial Os infratores serão processados na forma da lei As imagens e ilustrações utilizadas nesta apostila foram obtidas no site httpbrfreepikcom 4 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Aplicações envolvendo as integrais 10 Figura 2 O processo de antidiferenciação 13 Figura 3 Primitivas imediatas de outras funções trigonométricas 17 Figura 4 A integração por partes sendo aplicada na prática 23 Figura 5 Pontos fundamentais relacionados a integração por partes 25 Figura 6 Informações básicas da integração por frações parciais 28 Figura 7 A divisão entre polinômios método da chave 29 Figura 8 As relações envolvendo a transformação de soma e produto 32 Figura 1 Aspectos introdutórios da integral definida 35 Figura 2 Representação da partição P de um intervalo a b 36 Figura 3 Definição dos números c 37 Figura 4 A descrição da área dos retângulos R 37 Figura 5 Soma das áreas dos retângulos 38 Figura 6 Caracterização da área de um conjunto A 43 Figura 7 Aproximação das áreas dos retângulos por falta e por excesso 43 Figura 8 Conjunto S do exemplo delimitação da área a ser calculada 45 Figura 9 Conjunto S do exemplo delimitação da área a ser calculada 46 Figura 10 Cone sólido de revolução 47 Figura 11 O sólido de revolução do nosso exemplo 49 Figura 12 Interpretação da convergência de integrais impróprias 51 Figura 13 Disposição geométrica da velocidade em função do tempo 53 Figura 14 Configuração do deslocamento num intervalo subdividido em dois 54 Figura 1 Aplicações envolvendo as sequências e séries numéricas 58 Figura 2 O gráfico da sequência 60 Figura 3 O gráfico da sequência 61 Figura 4 Sequências convergentes e divergentes 63 Figura 5 Informações importantes sobre as séries numéricas 67 Figura 1 A interpretação geométrica de uma função de duas variáveis 76 Figura 2 A interpretação geométrica do gráfico de z fx y 78 Figura 3 Curvas de nível da função 79 5 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Figura 4 A ideia intuitiva do limite de f x y 80 Figura 5 O plano cortando o gráfico de fx y 82 Figura 6 Representação geométrica da função z fx y na região R do plano 84 Figura 7 Representação geométrica da função z fx y na região R do plano 85 Figura 8 Interpretação geométrica da integral dupla da função z fx y 86 Figura 9 A integral dupla da função z fx y dando o volume de um sólido de revolução 87 Figura 10 Interpretando geometricamente a região T para integral tripla 88 Figura 11 Interpretando geometricamente a definição formal da integral tripla 89 Figura 12 Interpretando geometricamente a definição formal da integral tripla 90 Figura 13 Interpretando geometricamente a definição formal da integral tripla 91 Figura 14 Interpretando geometricamente o exemplo em questão 92 Figura 15 Interpretando geometricamente o exemplo em questão 92 Figura 1 Aplicabilidade das equações diferenciais de primeira ordem 96 Figura 2 Classificação das equações diferenciais 97 Figura 3 Caracterização da linearidade de uma EDO 99 Figura 4 A interpretação geométrica do exemplo anterior 104 Figura 5 Sequência de passos para o método dos fatores integrantes 105 Figura 6 Modelagem matemática via EDOs de primeira ordem 110 Figura 1 Importância das equações diferenciais de segunda ordem no contexto da Engenharia 116 Figura 2 Possibilidades para as raízes da equação característica 119 Figura 3 Interpretando o Teorema da Existência e Unicidade 122 Figura 4 As duas soluções não podem ser LD 127 Figura 5 Método dos coeficientes indeterminados 130 6 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 2 UNIDADE 1 UNIDADE SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO A TEORIA DA INTEGRAÇÃO 10 OBJETIVOS DA UNIDADE 10 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 10 11 INTEGRAL INDEFINIDA E PRIMEIRAS PRIMITIVAS IMEDIATAS 11 12 OUTRAS PRIMITIVAS IMEDIATAS 14 13 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 18 14 INTEGRAÇÃO POR PARTES 23 15 INTEGRAÇÃO POR FRAÇOES PARCIAIS 27 16 INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS DE SENO E COSSENO 30 2 INTEGRAL DEFINIDA E INTEGRAL IMPRÓPRIA 35 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 35 21 INTEGRAL DEFINIDA E SOMAS DE RIEMANN 36 22 TEOREMAS FUNDAMENTAIS 38 23 CÁLCULO DE ÁREAS 42 24 CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 46 25 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 50 26 OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 52 UNIDADE 3 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 57 APRESENTAÇÃO 57 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 57 31 INTRODUÇÃO ÀS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 58 32 SEQUÊNCIAS MONÓTONAS E LIMITADAS 61 33 INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES NUMÉRICAS E PRIMEIRAS PROPRIEDADES 66 34 TEOREMAS FUNDAMENTAIS 68 35 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIAS DAS SÉRIES NUMÉRICAS 70 36 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONDICIONAL 71 UNIDADE 3 7 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 4 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 75 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 75 41 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 75 42 LIMITES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 79 43 DERIVADAS PARCIAIS 82 44 INTEGRAIS DUPLAS 84 45 INTEGRAIS TRIPLAS 88 46 APLICAÇÕES DIVERSAS 91 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES 95 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 95 51 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 95 52 SOLUÇÕES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS 100 53 EQUAÇÕES SEPARÁVEIS 101 54 O MÉTODO DOS FATORES INTEGRANTES 104 55 EQUAÇÕES EXATAS 106 56 APLICAÇÕES ENVOLVENDO AS EDOS DE PRIMEIRA ORDEM 109 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE SEGUNDA ORDEM E APLICAÇÕES 115 INTRODUÇÃO DA UNIDADE 115 61 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 116 62 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES RAÍZES REAIS E DISTINTAS 119 63 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUÇÕES WRONSKIANO E INDEPENDÊNCIA LINEAR 120 64 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES RAÍZES COMPLEXAS CONJUGADAS 125 65 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES RAÍZES REAIS E IGUAIS REDUÇÃO DE ORDEM 127 66 O MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 128 4 UNIDADE 5 UNIDADE UNIDADE 6 8 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 ATENÇÃO PARA SABER SAIBA MAIS ONDE PESQUISAR DICAS LEITURA COMPLEMENTAR GLOSSÁRIO ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM CURIOSIDADES QUESTÕES ÁUDIOS MÍDIAS INTEGRADAS ANOTAÇÕES EXEMPLOS CITAÇÕES DOWNLOADS ICONOGRAFIA UNIDADE 1 OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 9 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III estar familiarizado com as principais propriedades e técnicas envolvendo a teoria da integração 10 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 1 INTRODUÇÃO A TEORIA DA INTEGRAÇÃO OBJETIVOS DA UNIDADE Ao final desta unidade você estará familiarizado com as principais proprieda des e técnicas envolvendo a teoria da integração INTRODUÇÃO DA UNIDADE Esta unidade abordará os conceitos introdutórios e as primeiras primitivas ime diatas envolvendo o contexto da integração Você já está familiarizado com ope rações inversas desde as mais simples até as mais sofisticadas Assim sendo adição e subtração multiplicação e divisão são operações inversas bem como potenciação e radiciação Nesta Unidade vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação chamada de antidiferenciação ou integral indefinida Resumindo a integral indefinida nada mais é do que a caracterização de to das as primitivas de uma dada função ou seja representa o processo feito na derivação ou diferenciação É rotineiramente utilizada no cálculo de áreas e volumes bem como em problemas relacionados a mecânica reações químicas máximos e mínimos e descrição de indicadores FIGURA 1 APLICAÇÕES ENVOLVENDO AS INTEGRAIS Fonte Deduca 2019 11 CÁLCULO III MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Observem que a integral indefinida é o processo inverso da derivação sendo amplamente utilizada na resolução de problemas contextualizados e nas mais variadas áreas tais como Computação Matemática Física Biologia Química e Engenharias Portanto diversas modelagens só podem ser solucionadas com base na teoria da integração 11 INTEGRAL INDEFINIDA E PRIMEIRAS PRIMITIVAS IMEDIATAS O ponto base para iniciarmos a tratativa teórica e aplicada envolvendo a in tegração é a conceituação de primitiva ou antiderivada Aqui temos a célula fundamental para a construção de tal teoria Vejamos o seu conceito Primitiva ou Antiderivada Seja f uma função definida em um intervalo I ou seja Uma primitiva ou antiderivada de f em I é uma função F definida em I tal que ou seja a derivada de F x é equivalente à função f x para todo x pertencente ao intervalo I Vejamos alguns exemplos introdutórios acerca de tal conceito Exemplo 1 A função é uma primitiva de em já que para todo temse que Observe que aqui temos Exemplo 2 A função é uma primitiva de em pois para todo temos que Mais uma vez temos Exemplo 3 A função é uma primitiva de em pois para todo número real x temos que 12 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Início da Ilustração Ressaltase que em termos gerais se uma função F x for uma primitiva de f x em I e se tivermos com então ou seja e portanto Gx também é uma primitiva de f no intervalo I De acordo com Barboni 2013 podemos provar que se F x for qualquer pri mitiva peculiar de f x em I então toda primitiva de f x em I será dada por onde C é um número real qualquer Exemplo 4 A função é uma primitiva de em similar mente ou são também primitivas de em Salientamos que no lugar do número 3 ou 10 poderia vir qualquer outra constante numérica e mesmo assim a função Gx seria uma primitiva de fx no conjunto dos números reais Sumarizando podemos notar que se fx possui uma primitiva particular Fx então ela admite na verdade uma família infinita de primitivas que diferem por um valor constante Portanto temos dois resultados importantes relacionados a este contexto ao qual descrevemos a seguir sem preocupação de demonstração 13 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Teorema 1 Morettin 2016 Se tivermos duas funções fx e gx de tal forma que para qualquer x no intervalo I então existirá uma constante K tal que para todo x em I Teorema 2 Morettin 2016 Se tivermos Fx uma primitiva particular de fx em um intervalo I então toda primitiva de fx em I será descrita por F x C onde C é uma constante arbitrária e todas as primitivas de fx em I poderão ser obtidas com a atribuição de certos valores a constante C Denominamos de Antidiferenciação como sendo o processo de caracterização do conjunto de todas as primitivas de uma dada função fx FIGURA 2 O PROCESSO DE ANTIDIFERENCIAÇÃO Derivação ou Diferenciação Antiderivação ou Antidiferenciação Fonte Elaborado pelo próprio autor 14 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Salientase que a simbologia denota a operação de antidiferenciação e des ta forma escrevemos com e O conjunto de todas as primitivas de fx é a Integral Indefinida de fx em relação a variável x denotada por onde o símbolo denota a integral indefinida fx é a função integrando e x a variável de integração O primeiro cientista a introduzir tal a convenção de escrever a diferencial de uma função após a simbologia da antidiferenciação foi Leibniz Além disso se descrever o conjunto de todas as funções cuja diferencial é então também será o conjunto de todas as primitivas da função fx 12 OUTRAS PRIMITIVAS IMEDIATAS Como observamos anteriormente a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação e portanto os resultados envolvendo a antidiferenciação podem ser obtidos com base nos resultados relacionados a diferenciação Desta forma os resultados a seguir podem ser comprovados facilmente com base nos teoremas correspondentes da diferenciação Vejamos então algu mas outras primitivas que são essenciais na teoria envolvendo as integrais e aplicações diversas Teorema 3 Morettin 2016 Temos que Justificativa Notemos facilmente que logo já que cqd 15 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III A descrição cqd significa como queríamos comprovar e aparece frequentemente quando finalizamos a prova de um resultado Teorema 4 Morettin 2016 onde a é uma constante Esse resultado nos mostra que para caracterizarmos uma antiderivada de uma constante vezes uma função fx encontramos primeiramente uma antiderivada da função multiplicandoa em seguida pela constante que no nosso caso é k Teorema 5 Morettin 2016 A integral indefinida de uma soma ou de uma diferença é igual a soma ou diferença das integrais indefinidas Em símbolos temos que Tal resultado é válido para uma soma envolvendo um número finito de parcelas Teorema 6 Morettin 2016 Se n for um número racional diferente de 1 então JustificativaBasta observamos que a derivada de é dada por cqd 16 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Vamos praticar um pouco Vejamos o exemplo a seguir Exemplo 5 Vamos determinar as integrais indefinidas abaixo com base nas primitivas apresentadas anteriormente a b c Para não sobrecarregarmos a notação resolvemos as integrais de forma separada e apenas no final colocamos a constante de integração C A resposta deve ter uma constante pois como vimos se trata de uma integral indefinida No caso da situação atual temos que d e E as primitivas envolvendo as funções trigonométricas Quais seriam Nesse caso os resultados específicos envolvendo a antiderivada das funções seno e cosseno podem ser visualizadas diretamente com base nos resultados asso ciados da diferenciação 17 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Teorema 8 Morettin 2016 A primitiva ou antiderivada da função é a função ou seja escrevemos Justificativa Para justificarmos tal primitiva notamos diretamente que cqd Teorema 9 Morettin 2016 A primitiva ou antiderivada da função é a função ou seja escrevemos Justificativa Para justificarmos tal antiderivada observamos que Os resultados que descreveremos na Figura 3 são consequências dos teoremas para as derivadas das funções tangente cotangente secante e cosecante As demonstrações são imediatas obtidas com o cálculo da derivada similarmen te como feita em alguns exemplos anteriores FIGURA 3 PRIMITIVAS IMEDIATAS DE OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Primitiva Imediata Fonte Elaborado pelo próprio autor 18 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III É importante salientarmos que o cálculo para as integrais envolvendo as funções trigonométricas podem ser mais facilmente computadas com o uso das relações trigonométricas Assim sendo sugerimos como material complementar Você pode pesquisar nas referências desta unidade as relações trigonométricas para simplificação dos cálculos envolvendo as primitivas das integrais relacionadas as funções trigonométricas dentre elas citamos e 13 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO É possível calcularmos uma primitiva após efetuarmos uma mudança de va riável Nosso objetivo aqui é através de uma mudança de variável simplifi carmos a integral a ser calculada para uma já conhecida tabelada imediata Esta técnica é muito parecida com a que discutimos anteriormente Exemplo 6 Vamos calcular através da mudanca de variável a integral Solução Primeiramente devemos pensar a mudança de variável com a ideia de simplificação da integral a ser computada reduzir para uma primitiva co nhecida Aqui efetuemos a seguinte mudança de variável ou ainda daí vem que du dx 19 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Então podemos escrever Quando resolvemos a integral inicial por intermédio da mudança de variável o passo final é voltarmos para a nossa variável original no nosso exemplo voltamos para a variável x Exemplo 7 Pela mudanca de variável vamos computar a integral Solução Neste caso vamos realizar a mudança de variável dada por ou ainda daí Desta forma vem que 20 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Sendo a uma constante positiva e diferente de 1 a função exponencial de base a é definida como Desta forma da teoria da derivação vimos que Com base em tal argumentação podemos escrever que a antiderivada de tal função é dada por Assim temos que Em particular se tivermos a e constante de Euler temos então pois lne 1 Exemplo 8 Vamos determinar a integral Solução Vamos efetuar a troca de variável dada por e então vem que du dx 21 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Assim sendo podemos escrever a nossa integral como Exemplo 9 Vamos caracterizar a integral Solução Vamos efetuar a troca de variável dada por e então temos que Desta maneira podemos escrever a nossa integral como É sabido que a função logarítmica é a função inversa da função exponencial ou seja podemos escrever que Além disso se tivermos então a sua derivada é dada por Assim sendo pelo teorema da função inversa para derivadas podemos escrever que então Portanto se b e constante de Euler vem que então Isso nos leva a integral da função logarítmica lnx ou seja temos a primitiva da mesma dada por Obviamente considerando x 0 para a existência de 22 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 10 Vamos determinar a integral Solução Vamos efetuar a troca de variável dada por e então vem que Assim sendo podemos escrever a nossa integral como Exemplo 11 Vamos determinar a integral Solução Vamos efetuar a troca de variável dada por 3 u x e então du dx Desta forma podemos escrever a nossa integral como E portanto Exemplo 12 Vamos determinar a integral Solução Vamos efetuar a troca de variável dada por e desta forma segue que Assim podemos escrever a nossa integral como E portanto Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo a técnica da integração por mudança de variável Especificamente falando você pode olhar em SILVA Paulo Sergio Dias da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 especificamente falando no Capítulo 6 na Seção 64 23 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III A seguir vamos discutir um novo método de integração que é a integração por partes Vamos lá 14 INTEGRAÇÃO POR PARTES Inicialmente segundo Silva 2017 devemos ressaltar que qualquer integral indefinida e por conseguinte definida poderia ser solucionada utilizando a técnica da Integração por Partes Estudaremos esse assunto agora e vamos observar que na prática frequentemente isso não é possível Segundo Silva 2017 o intuito básico da integração por partes é entender que parte da integral deve ser derivada e a outra parte deve ser integrada com a ideia de redução do grau de complexidade da integral original a ser compu tada Assim sendo a integração por partes nasce como uma metodologia de resolução de integrais que podem ser diretamente aplicadas nas modelagens práticas envolvendo valores médios curvas de oferta e demanda valores atuais e futuros na engenharia econômica crescimento populacional e decaimento radioativo FIGURA 4 A INTEGRAÇÃO POR PARTES SENDO APLICADA NA PRÁTICA Fonte Elaborado pelo próprio autor 24 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Para introduzirmos tal método sejam duas funções f e g definidas e deriváveis no intervalo Com base na teoria das derivadas particularmente falando da regra do produto podemos escrever que derivada do produto Ou seja Agora vamos supor que f xgx admita uma primitiva no intervalo I e obser vando que f xgx é uma primitiva da função segue que f xgx também admite uma primitiva em I e assim sendo podemos escrever que De outro modo tomando Desta forma sem grandes dificuldades escrevemos que Que constitui fundamentalmente falando a expressão característica da Inte gração por Partes 25 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 5 PONTOS FUNDAMENTAIS RELACIONADOS A INTEGRAÇÃO POR PARTES Integração por Partes Pode resolver a priori qualquer integral Consequência direta da derivada do produto Uma das tecnicas de integracao mais impor tantes Utilizada em modelagens diversas Fonte Elaborado pelo próprio autor É interessante mencionarmos que a tomada para u deve ser feita pensando que u deve ser fácil de derivar pois de u encontramos du enquanto que a tomada para dv deve ser interpretada no intuito de termos simplicidade na integração pois a partir de dv temos que encontrar v Vejamos alguns exemplos ilustrativos que nos mostram a utilização da integra ção por partes na determinação de integrais indefinidas Exemplo 13 Da literatura envolvendo as equações diferenciais ordinárias é sabi do que as funções exponenciais são usadas como alicerce nos modelos de pro blemas de crescimento ou decrescimento particularmente falando em cresci mento demográfico e decaimento radioativo de substancias meiavida Desta forma vamos calcular a integral indefinida que envolve a função exponencial de base e número de Euler por intermédio da integração por partes 26 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Solução Vamos fazer a tomada e daí e Assim sendo pela fórmula da integração por partes vem que Ou seja Exemplo 14 As funções logarítmicas comparecem em situações relacionadas a quantidade de massa de determinada substancia bem como na descrição de modelos econômicos de juros Assim sendo vamos caracterizar a integral Solução Vamos pensar agora na tomada e daí e Desta maneira com base na expressão da integração por partes vem que Ou seja Como foi falado anteriormente qualquer integral indefinida poderia ser solucionada inicialmente com base na integração por partes todavia a integral dada por usada frequentemente na teoria da Criptografia teoria dos códigos só pode ser resolvida através de métodos numéricos Exemplo 15 Vamos encontrar por meio da integração por partes Solução Essa situação é bem peculiar já que necessitaremos de efetuar duas vezes a integração por partes Inicialmente vamos fazer a tomada de e logo 27 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III e Assim a nossa integral pode ser vista como Notemos que a integral do segundo membro foi encontrada anteriormente no Exemplo 13 logo obtemos Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo a técnica da integração por partes Particularmente comentando você pode olhar em SILVA Paulo Sergio Dias da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 especificamente falando no Capítulo 6 nas Seções 64 e 65 15 INTEGRAÇÃO POR FRAÇOES PARCIAIS Agora apresentaremos a técnica da resolução de integrais que relacionam as frações parciais que nada mais é que o método voltado para integrais que es sencialmente apresentam a divisão entre polinômios Uma racional é uma função com a tipologia dada por onde Px e Qx são polinômios 28 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Desta maneira a técnica das frações parciais é uma técnica algébrica que de compõe Rx em uma soma de termos Entretanto quando o polinômio do numerador tem grau superior ao do polinômio do denominador primeira mente temos que usar a divisão entre polinômios Especificamente falando o método da chave da divisão entre polinômios visto no contexto introdutório da Matemática Elementar FIGURA 6 INFORMAÇÕES BÁSICAS DA INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Quando na fração racional o polinônimo do nume rador tem grau superior ao do polinômio do deno minador usamos as frações parciais aqui temos a fração própria Quando na fração racional o polinônimo do nume rador tem grau inferior ao do polinômio do denomi nador usamos a divisão entre polinômios Fonte Elaborado pelo próprio autor Vejamos um exemplo Exemplo 16 Vamos caracterizar a integral indefinida dada por Solução Primeiramente deve ficar evidente que se trata de uma integral en volvendo uma fração racional do tipo onde e Além disso deve ser notado que PX tem grau 3 enquanto que Qx tem grau 2 temos que o grau de Px é superior ao grau de QxLogo usamos o método da chave que envolve a divisão entre polinômios em que podemos citar que se trata de uma metodologia que poderia ser encarada como uma generalização da divisão entre números guardando algumas pe culiaridades Observe a Figura 6 a seguir 29 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 7 A DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS MÉTODO DA CHAVE Fonte Elaborado pelo próprio autor Relembrando que podemos escrever ou seja Polinômio dividendo Polinômio DivisorPolinômio Quociente Polinômio Resto Daí Agora para obtermos o quociente que está na integral dada no exemplo bas ta dividirmos a expressão acima igualdade por Então Ou ainda Logo podemos escrever a seguinte igualdade Note que usamos a igualdade anterior 30 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Daí Salientamos de forma adicional que a última integral foi computada pelo mé todo da substituição de variável fazendo Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo a técnica da integração por partes e pode também se aprofundar em SILVA Paulo Sergio Dias da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 especificamente no Capítulo 6 na Seção 66 Fim do conteúdo complementar 16 INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS DE SENO E COSSENO Outro aspecto relevante a ser destacado é com relação à caracterização de in tegrais cuja função integrando é dada por um produto envolvendo as funções seno e cosseno ou produto envolvendo potências das funções seno e cosseno Segundo Silva 2017 para tais situações temos alguns procedimentos pecu liares a serem utilizados baseandose exatamente em algumas técnicas tais como o método da substituição e emprego de fórmulas trigonométricas en volvendo a transformação de soma em produto Vejamos alguns exemplos 31 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 17 Vamos caracterizar a integral indefinida dada por Solução Neste caso devemos notar que a função integrando é dada por um produto envolvendo a função seno de x com a função cosseno de x ou seja temos que a função integrando A resolução de tal integral in definida pode ser feita através da técnica da substituição para tal se tomarmos vem que logo a integral dada pode ser vista como Você poderia indagar para esse exemplo se tivéssemos feito a tomada u cosx o que aconteceria Nessa tomada se fizermos u cosx então du senxdx e então vem que Independentemente da nossa tomada esse exemplo poderia ser resolvido fa cilmente com duas tomadas diferentes para ou Exemplo 18 Vamos caracterizar a integral indefinida dada por Solução Novamente devemos trabalhar com o método da substituição sendo que de forma peculiar devemos notar que temos a função seno de x com a potência 1 e a função cosseno de x com potência igual a 3 Desta maneira como a derivada de cosx é senx tomemos e então Assim podemos escrever que Segundo Barboni 2013 existem algumas outras situações específicas relacio nando integrais com produtos de potências de seno de x e cosseno de x que demandam em suas simplificações de expressões trigonométricas conhecidas na literatura matemática como fórmulas de transformação de soma em produ to Tais identidades trigonométricas são apresentadas na Figura 8 a seguir 32 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 8 AS RELAÇÕES ENVOLVENDO A TRANSFORMAÇÃO DE SOMA E PRODUTO Expressão Produto Relacionado Descrição da Expressão 1 sena cosb 2 cosa cosb 3 sena senb 4 sena senb 5 sena senb 6 cosa cosb 7 cosp cosq Fonte Elaborado pelo próprio autor 33 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III CONCLUSÃO Nessa unidade apresentamos as principais conceituações propriedades e mé todos de integração Primeiramente trabalhamos com as primitivas imediatas ou integrais imediatas tendo como referência os resultados da teoria da deri vação Dentre elas citamos as funções elementares e funções trigonométricas Em seguida partimos para a descrição das primeiras técnicas envolvendo a caracterização de integrais indefinidas que são a integração por mudança de variável aqui realizamos uma troca de variável com o intuito de simplificar mos a integral inicial e a técnica da integração por partes que constitui como o procedimento de resolução de qualquer integral em um primeiro momento Identificamos também a integração envolvendo frações racionais em que o polinômio do numerador tem grau superior ao do polinômio do denominador e por fim trabalhamos com as integrais envolvendo funções integrando carac terizadas como produto de potências das funções seno e cosseno Para complementar o seu aprendizado não deixe de realizar as atividades que acompanham essa unidade bem como de pesquisar outros exemplos nas re ferências citadas a seguir OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 34 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III UNIDADE 2 Aplicar a teoria envolvendo a integral definida no cálculo de áreas bem como reconhecerá as principais características da integral imprópria 35 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 2 INTEGRAL DEFINIDA E INTEGRAL IMPRÓPRIA INTRODUÇÃO DA UNIDADE E aí pessoal tudo bem Vamos continuar a caminhada na disciplina de Cál culo III A partir do momento que trabalhamos com as informações e pro priedades iniciais da integral definida chegou o momento de entendermos a integral definida Mas como assim Podemos dizer que a noção de Integral Definida teve como origem a formali zação matemática da ideia do cálculo de áreas de regiões planas delimitadas pelos gráficos de funções do tipo Deve ficar evidente em um primeiro plano que somente sabemos calcular efetivamente falando a área de regiões limitadas por segmentos de retas como retângulos triângulos ou composições destes logo a integral definida surgirá como um importante instrumento para o cálculo de áreas agora envol vendo curvas ou funções diversas FIGURA 1 ASPECTOS INTRODUTÓRIOS DA INTEGRAL DEFINIDA Somas Parciais Cálculo de Áreas Integral Indefinida Integral Definida Partição de Um Intervalo Integral Defnida Integral Indefnida Fonte Elaborada pelo autor 2019 Assim sendo convido todo mundo para darmos início a tal tratativa Vamos lá 36 CÁLCULO III MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 21 INTEGRAL DEFINIDA E SOMAS DE RIEMANN Os aspectos iniciais envolvendo a integral definida perpassam exatamente por algumas conceituações que estaremos apresentando neste momento de onde citamos a partição e Soma de Riemann Partição de um Intervalo MORETTIN 2016 Denominamos de partição P de um intervalo a b a um conjunto finito onde Geometricamente falando uma partição P de a b divide a b em n interva los como é mostrado na Figura 2 a seguir FIGURA 2 REPRESENTAÇÃO DA PARTIÇÃO P DE UM INTERVALO A B a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b Fonte Elaborada pelo autor 2019 Salientamos que a amplitude do intervalo será denotada por logo e assim por diante É importante notarmos que os números não são necessariamente iguais sendo que o maior deles é chamado de amplitude da partição P ao qual representamos por máx Uma partição de a b será indicada simplesmen te por A partir da definição de partição devemos entender a Soma de Riemann para descrição da integral definida Para tal vamos considerar f como sendo uma função definida no intervalo a b e uma partição de a b Para cada índice i i 1 2 n seja ci um número em escolhi do de forma arbitrária Vejamos a Figura 3 a seguir 37 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 3 DEFINIÇÃO DOS NÚMEROS C a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 b xn c1 c2 ci cn Fonte Elaborada pelo autor 2019 Soma de Riemann de MORETTIN 2016 Chamamos o número descrito por como sendo a Soma de Riemann de referente à partição P e aos números ci Observemos que se tivermos a condição o número f ci será então a área do retângulo Ri delimitado pelas retas e se a área de tal retângulo será conforme Figura 4 a seguir FIGURA 4 A DESCRIÇÃO DA ÁREA DOS RETÂNGULOS R y f Ri x xi ci xi 1 fci fci xi área de Ri xi 1 ci xi Ri x f y área de Ri fci xi Fonte Adaptada de Morettin 2016 38 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Ainda em linhas geométricas podemos interpretar a soma de Riemann como sendo a diferença entre a soma das áreas dos retângulos R i que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo do eixo x Observe a Figura 5 a seguir FIGURA 5 SOMA DAS ÁREAS DOS RETÂNGULOS y x a c1 c2 c3 c4 c5 c6 b Fonte Adaptada de Morettin 2016 22 TEOREMAS FUNDAMENTAIS Com base na definição de Soma de Riemann podemos também definir a integral de Riemann que constitui a essência do Teorema Fundamental do Cálculo Tal resultado realiza a ligação entre as operações de derivação e in tegração ou seja ele nos diz que a partir do momento em que conhecemos uma primitiva de em a b podemos computar a sua integral defini da em tal intervalo Para tal vamos tomar F como sendo a função definida em a b e seja uma partição de a b Logo o acréscimo que a função F sofre quando se passa de x a para x b é equiva lente ao somatório dos acréscimos para i variando de 1 a 4 39 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Ou seja Em termos gerais se for uma partição de a b então Integral de Riemann Adaptado de Morettin 2016 Vamos considerar f uma função definida em a b e L um número real Falamos que tende a L quando máx e escrevemos se para todo dado existir um que só dependa de mas não da particular escolha dos ci tal que para toda partição P de a b com Tal número L que quando existe é único é denominado de Integral de Riemann de f em a b e escrevemos Desta maneira por definição temos que Além disso se existe então falamos que f é integrável segundo Riemann em a b É comum referirmonos a como integral definida de f em a b 40 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Foi o matemático alemão Bernard Riemann que iniciou a tratativa teórica acerca da integral na metade do século XVIII Além disso é importante salientarmos que por definição tomamos De outra forma se tivermos f e g funções integráveis em a b e k uma constante então a f g é integrável em a b e b kf é integrável em a b e c se então Agora discutiremos sem dúvida nenhuma um dos resultados mais importan tes do Cálculo Diferencial e Integral que é o Teorema Fundamental do Cálcu lo Devemos observar que a partir de tal resultado geramos um procedimento rápido e simples para a solução de vários problemas práticos que envolvem o cálculo diferencial e integral Com base na definição de integral se f for in tegrável em a b o valor do limite será sempre o mesmo independentemente da escolha dos ci e igual a Dessa forma se para uma particular escolha dos ci tivermos então teremos 41 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Teorema Fundamental do Cálculo Adaptado de Morettin 2016 e HughesHallett et al 2011 Suponhamos que y fx seja uma função integrável em a b e F uma primitiva de f em a b Dessa forma temos que Justificativa vamos supor que f seja integrável em a b e que admita uma primitiva Fx em a b ou seja que em a b Tomando a partição uma partição qualquer de a b logo podemos escrever que Assim por intermédio do Teorema do Valor Médio para derivadas que para uma conveniente seleção de ci em temse que ou seja I F b F a n i 1 f ci xi Se para uma partição P de a b os ic forem escolhidos como em I temos que E portanto Pode ser comprovado ainda que toda função contínua em a b é integrável em a b assim como consequência do teorema fundamental do cálculo que se f for contínua em a b e F uma primitiva de f em a b então Ou seja para encontrarmos uma integral definida primeiramente encontramos a integral indefinida e depois calculamos as imagens Fb e Fa e determinamos a diferença Fb Fa 42 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Vejamos agora alguns exemplos ilustrativos Exemplo 1 vamos calcular Solução sabemos que é uma primitiva de e f é contínua em 1 2 dessa forma ou seja Exemplo 2 vamos calcular Solução sabemos que é uma primitiva de e f é contínua em 1 2 assim ou seja Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo cálculos de integrais definidas na obra SILVA P S D da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Especificamente falando no Capítulo 6 nas Seções 62 e 65 23 CÁLCULO DE ÁREAS Uma das aplicações da integral definida é a caracterização de áreas Vejamos tal aparato neste momento Consideremos f contínua em a b com em a b Aqui estamos interessados em definir a área do conjunto A do plano limi tado pelas retas x a x b y 0 e pelo gráfico de y fx Veja a Figura 6 a seguir 43 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 6 CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA DE UM CONJUNTO A f y a A b x Fonte Adaptada de Morettin 2016 Dessa maneira tomemos uma partição de ab e sejam ci e ci em x x i tais que o ponto f ci é o valor mínimo e o pon to f cio valor máximo de f em Uma boa definição para a área de A deverá implicar que a Soma de Riemann seja uma aproximação por falta da área de A e que seja uma aproximação por excesso ou seja Vejamos tal argu mentação geometricamente falando na Figura 7 a seguir FIGURA 7 APROXIMAÇÃO DAS ÁREAS DOS RETÂNGULOS POR FALTA E POR EXCESSO y x y a b x Fonte Adaptada de Morettin 2016 44 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Logo como as somas de Riemann referenciadas tendem a quando nada mais óbvio do que definirmos a área de A por De forma análoga conceituamos a área de A no caso em que f é uma função integrável qualquer com em a b Como sugestão sempre é interessante você desenhar ou representar geometricamente o conjunto para o qual quer determinar a área auxílio para o cálculo Vejamos algumas situações ilustrativas sobre cálculo de áreas Exemplo 3 vamos determinar a área do conjunto S do plano limitado pelas retas x 0 x 1 y 0 e pelo gráfico de Solução primeiramente representemos geometricamente o conjunto ao qual queremos computar a sua área Observe que temos x 0 representa o eixo dos y x 1 reta paralela ao eixo y y 0 representa o eixo dos x e representa a parábola cujo vértice é a origem O 0 0 do plano cartesiano Dessa forma temos o seguinte gráfico associado mostrado na Figura 8 a seguir 45 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 8 CONJUNTO S DO EXEMPLO DELIMITAÇÃO DA ÁREA A SER CALCULADA 0 1 x y y x2 Fonte Elaborada pelo autor 2019 Dessa forma vem que Exemplo 4 vamos computar a área do conjunto S delimitado pelas funções Solução em um primeiro momento é interessante notarmos que as funções em questão se interceptam nos pontos x 1 e x 2 conforme figura a seguir 46 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 9 CONJUNTO S DO EXEMPLO DELIMITAÇÃO DA ÁREA A SER CALCULADA 1 1 2 x 4 y S Fonte Elaborada pelo autor 2019 Além disso deve ficar claro que para o intervalo 1 2 temos que e assim sendo para o cálculo da área usaremos como função integrando a diferença Daí vem que ou seja 24 CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO É relevante mencionarmos que diversos problemas práticos da Matemática Física Engenharias e outras áreas do conhecimento demandam do cálculo de volumes de substâncias ou sólidos ou superfícies Assim outra aplicação envolvendo a integral definida é o cálculo de volumes de sólidos de revolução 47 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Sólido de revolução Quando fazemos uma região plana conjunto do plano girar em torno de uma reta eixo de revolução no plano euclidiano damos origem a um sólido que é chamado de sólido de revolução Exemplo 5 se tomarmos o conjunto do plano limitado pelas retas y 0 y x e x 4 e fazermos com que ele gire em torno do eixo das abscissas eixo x o sólido gerado é um cone Observe a Figura 10 a seguir FIGURA 10 CONE SÓLIDO DE REVOLUÇÃO x y x 4 y 4 y x y x Fonte Elaborada pelo autor 2019 48 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Volume do Sólido de Revolução Consideremos y fx uma função contínua não negativa no intervalo a b Seja R a região sob o gráfico de fx de x a a x b O volume do sólido T gerado pela revolução de R em torno do eixo das abscissas é caracterizado pela expressão Salientamos que a soma que comparece na igualdade anterior é uma soma de Riemann da função Assim sendo como f é contínua o limite ante rior existe e então pela conceituação da integral definida temos a fórmula característica do volume do sólido de revolução dada por Vejamos um exemplo ilustrativo sobre o cálculo de volumes Exemplo 6 vamos computar o volume do sólido de revolução gerado com base na região R limitada pela função o eixo das abscissas e as retas x 1 e x 4 quando girado em torno do eixo das abscissas Solução primeiramente vejamos a descrição gráfica do sólido em questão com base na disposição mostrada na Figura 11 a seguir 49 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 11 O SÓLIDO DE REVOLUÇÃO DO NOSSO EXEMPLO y 1 x2 4 1 4 R y x x T y Fonte Elaborada pelo autor 2019 Dessa forma com base na figura anterior e na fórmula característica do cálculo do volume do sólido de revolução escrevemos 50 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo cálculos de volumes de sólidos de revolução em SILVA P S Dias da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Especificamente falando no Capítulo 6 na Seção 67 25 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Quando se fala na teoria da integração ressaltase que podemos ter integrais em que um dos limites de integração é igual a mais ou menos infinito ou seja um de seus limites é ou A integral imprópria é muito usada na teoria que envolve as transformadas de Laplace no contexto das chamadas equações diferenciais ordinárias Assim sendo esse tipo de integral é conhecida como integral imprópria e é de fundamental importância para a criação de outras teorias do cálculo diferen cial e integral como a parte das transformadas integrais e das transformadas de Laplace que são fundamentais para a resolução de modelagens diversas 51 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Integral Imprópria Adaptado de Morettin 2016 e HughesHallett et al 2011 A integral é chamada de integral imprópria em que A é um número real positivo ou seja A 0 De outra forma falamos que se a integral de a até A existe para qualquer valor de A a e se o limite quando existe então a integral imprópria con verge para esse valor limite FIGURA 12 INTERPRETAÇÃO DA CONVERGÊNCIA DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Integral existe e o limite existe Integral Imprópria Converge Integral não existe eou o limite não existe Integral Imprópria Diverge Fonte Elaborada pelo autor 2019 Vejamos um exemplo ilustrativo Exemplo 7 Adaptado de Morettin 2016 e HughesHallett et al 2011 Consi deremos a função exponencial dada por com t 0 e c uma cons tante real diferente de zero Vamos interpretar a convergência ou divergência da integral imprópria 52 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Solução inicialmente observamos que aqui podemos escrever E então Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo as integrais impróprias em SILVA P S D da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Especificamente no Capítulo 6 na Seção 68 26 OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Obviamente devemos ponderar que o leque de aplicações em que a teoria da integração comparece é vasto ou seja com certeza não iríamos conseguir descre ver todas Mesmo assim vamos interpretar outra aplicação com base na teoria da integração ou mais precisamente na teoria envolvendo a integral definida Para tal consideremos uma partícula se deslocando sobre o eixo das abscissas com equação x xt e com velocidade v vt contínuas no intervalo a b 53 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Deslocamento A diferença xb xa é o deslocamento da partícula entre os instantes a e b Como xt é uma função primitiva de vt segue por intermédio do Teorema Fundamental do Cálculo que De outra forma definimos o espaço percorrido pela partícula entre os instantes a e b por Se em a b o deslocamento entre os instantes a e b será igual ao espaço percorrido entre estes instantes que por sua vez será numericamente igual à área do conjunto A limitado pelas retas t a t b pelo eixo Ot e pelo gráfico de v vt Observe a Figura 13 FIGURA 13 DISPOSIÇÃO GEOMÉTRICA DA VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO t v a b A v vt Fonte Elaborada pelo autor 2019 54 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Suponhamos agora que em a c e em c b conforme Figura 14 a seguir FIGURA 14 CONFIGURAÇÃO DO DESLOCAMENTO NUM INTERVALO SUBDIVIDIDO EM DOIS A1 A2 v vt c b t a v Fonte Elaborada pelo autor 2019 Nesse caso o deslocamento entre os instantes a e b será Enquanto o espaço percorrido entre esses instantes será Você pode pesquisar mais exemplos envolvendo outras aplicações da integral definida em SILVA P S D da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 Especificamente falando no Capítulo 6 na Seção 67 55 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III CONCLUSÃO Esta unidade objetivouse a apresentar algumas das principais propriedades regras operatórias e teoremas relacionados à integral definida ou seja a liga ção entre a integral indefinida e a integral definida é feita pelo Teorema Fun damental do Cálculo Percebemos que a integral definida pode ser utilizada como ferramenta fundamental para a resolução de problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas áreas de superfícies volumes de sólidos momento de inércia de uma barra e trabalho De outro modo trabalhamos também com as integrais impróprias que são tipos peculiares de integrais em que um dos limites de integração é mais ou menos infinito As integrais impróprias são importantes para a tratativa envol vendo as transformadas de Laplace e equações diferenciais particularmente falando com a sua convergência ou divergência OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 56 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III UNIDADE 3 Aplicar as principais propriedades e critérios de convergência envolvendo as sequências e séries numéricas 57 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III UNIDADE 3 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS APRESENTAÇÃO A disciplina Cálculo III irá apresentar as principais propriedades métodos de resolução e resultados associados à teoria da integração e suas aplicações às séries numéricas e equações diferenciais na resolução de situações contextu alizadas que demandam de tais ferramentas do cálculo diferencial e integral INTRODUÇÃO DA UNIDADE Você sabe naturalmente como somar duas ou três parcelas numéricas ou até mesmo várias correto Agora você imagina como realizar uma soma envol vendo infinitas parcelas ou infinitos números Para responder esse tipo de indagação é necessário conhecer as sequências e séries infinitas Uma importante aplicação desse aparato consiste em um mé todo de representação de uma função derivável conhecida f x como uma soma infinita de potências de x de forma que se assemelhe a um polinômio com infinitos termos que são as séries de potências Esse método serve para mensurar derivar e integrar polinômios de forma que possam ser utilizadas funções mais gerais que são frequentemente soluções para importantes pro blemas da Ciência e da Engenharia como por exemplo problemas de simu lação de sistemas e de congestionamento É importante salientarmos que as sequências numéricas são usadas atual mente em modelagens de algoritmos seja na computação gráfica seja na inteligência artificial na descrição de códigos quânticos ou não na simulação de sistemas gerenciais e na formulação de modelos de cunho da engenharia para resolução de problemas envolvendo projetos e cálculos estruturais de flexão de vigas e oscilações Assim sendo convido você para darmos início ao conhecimento das sequências e séries numéricas Vamos lá 58 CÁLCULO III MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 31 INTRODUÇÃO ÀS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS As sequências numéricas e as subsequências numéricas são funções especiais e muito frequentes na Matemática e Engenharia e importantíssimas para a definição e estudo das séries numéricas Ilustrando os números 2 4 6 8 10 formam uma sequência finita de números já que há um último número Logo se o conjunto de algarismos que forma uma sequência não tiver um último membro esta será denominada infinita Por exemplo 1 3 2 5 3 7 4 9 Os três pon tos sem nenhum algarismo em seguida indicam que não existe um último número Veja a Figura 1 FIGURA 1 APLICAÇÕES ENVOLVENDO AS SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Fonte Plataforma Deduca 2019 Antes que conceituemos formalmente uma sequência vejamos um exemplo A Copa do Mundo de 2014 realizada no Brasil teve como seleção campeã a Alemanha Tivemos a seguinte ordenação de seleções 59 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 1 lugar Alemanha 2 lugar Argentina 3 lugar Holanda 4 lugar Brasil Dessa maneira podemos descrever a sequência de classificação dessa Copa do Mundo da seguinte forma Alemanha Argentina Holanda Brasil Outro exemplo é com relação à nossa semana segundafeira terçafeira quartafeira quintafeira sextafeira sábado e domingo representam a sequência ou suces são de dias 311 SEQUÊNCIA NUMÉRICA OU SUCESSÃO NUMÉRICA Denominamos de sequência de números reais ou sucessão numérica uma função x que associa a cada número natural n um número real xn o qual chamamos de nésimo termo da sequência Escrevemos x1x2xn ou xn com ou simplesmente xn para deno tar a sequência cujo nésimo termo é xn De outra forma perceba que uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto 123n de todos os números inteiros positivos ou Os números na imagem de uma sequência são chamados de elementos ou termos da sequência Se o nésimo elemento for dado por f n então a sequência será o conjunto de pares ordenados da forma em que n é um inteiro positivo Podemos dizer que uma sequência de algarismos é igual ao conjunto que engloba esses números Não necessariamente Não podemos confundir a sequência x com o conjunto x1x2xn dos seus termos Assim a sequência 111 não é o mesmo que o conjunto 1 ou ainda as sequências 0101 e 001001 são diferentes mas o conjunto dos seus termos é o mesmo e igual a 01 60 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplificando vejamos algumas sequências numéricas 1 o nésimo termo é 2 o nésimo termo é 3 Nesse caso se então e assim por diante A imagem de x consiste nos elementos da sequência 1 3 2 5 3 7 4 9 Alguns dos pares ordenados na sequência são 1 1 3 2 2 5 3 3 7 e 4 4 9 Veja a Figura 2 FIGURA 2 O GRÁFICO DA SEQUÊNCIA 1 2 3 4 5 n 1 2 1 3 1 2 5 2 3 7 3 4 4 9 5 11 5 fn O Fonte Banco de imagens do autor 2019 4 Se tivermos então e assim por diante Alguns dos pares ordenados na sequência são 1 1 3 2 2 5 3 3 7 e 4 4 9 Observe a Figura 3 a seguir 61 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 3 O GRÁFICO DA SEQUÊNCIA 1 2 3 4 5 n 1 2 1 3 1 2 5 2 3 7 3 4 4 9 5 11 5 fn O Fonte Banco de imagens do autor 2019 32 SEQUÊNCIAS MONÓTONAS E LIMITADAS O que seria uma sequência limitada Ou uma sequência de uma sequência que é a subsequência E uma sequência monótona o que significa Tal apa rato será nosso objeto de estudo neste instante Para tal iniciamos com a con ceituação de sequência limitada superiormente e inferiormente 321 SEQUÊNCIA LIMITADA SUPERIORMENTE E SEQUÊNCIA LIMITADA INFERIORMENTE LIMITADA Uma sequência xn é dita limitada superiormente quando existe um núme ro real c tal que para todo n natural Quando ela será limitada inferiormente Dizemos que a sequência xn é limitada quando ela é limitada tanto superior quanto inferiormente Isso equivale a dizer que existe tal que para todo n natural Dessa forma temos que Sequência limitada inferiormente a sequência de termo geral é limitada inferiormente porém não é limitada superiormente 62 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Sequência limitada superiormente a sequência de termo geral é limitada superiormente mas não é limitada inferiormente Sequência limitada a sequência de termo geral é limitada já que é limitada inferiormente e superiormente Para ter acesso aos exemplos que ilustram sequências e sequências limitadas inferiormente ou superiormente bem como sequências limitadas recomendamos que pesquise nas referências desta unidade De outra forma o que seria uma sequência de uma sequência Vamos ver Dada uma sequência com uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito de N Escrevemos com ou xn1xn2xn3xnk1 A notação xnK mostra como uma subsequência pode ser considerada como uma sequência isto é uma função cujo domínio é N Subsequência tomando a sequência as sequências 00000 e 33333 são subsequências de xn 63 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Subsequência a sequência 1 51 6 1 7 1 8 é uma subsequência da sequência xn 1 n E o que seria uma sequência convergente Ou seja o que seria o limite de uma sequência Falamos que o número real L é o limite da sequência xn quan do para todo número real dado aleatoriamente podemos obter tal que todos os termos xn com índice cumprem a condição Assim sendo denotamos tal fato por Tal conceituação nos mostra que para valores muito grandes de n os termos xn tornamse e mantêmse tão próximos de L quanto desejarmos Assim sendo observe que falarmos em significa afirmarmos que todo intervalo aberto de centro L con tém todos os termos xn da sequência exceto para um número finito de índices n aqueles em que onde n0 é escolhido em função do raio do dado intervalo De outra forma também escrevemos ou expressão interpretada como xn tende para L ou converge para L Desta maneira fala mos que uma sequência que possui limite é convergente Caso contrário ela é dita divergente Veja a Figura 4 a seguir FIGURA 4 SEQUÊNCIAS CONVERGENTES E DIVERGENTES Quando a sequência xn possui limite Quando a sequência xn não possui limite Sequências Convergentes Sequências Divergentes Fonte Elaborada pelo autor 2019 64 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 1 Vamos caracterizar a convergência ou não da sequência cujo enésimo termo é Solução Nesse caso para averiguarmos a convergência da sequência devemos compu tar o limite Assim podemos escrever que Ou seja a sequência é convergente e converge para Recomendamos a pesquisa nas referências desta unidade bem como alguns exemplos que ilustram sequências convergentes e sequências divergentes na obra de GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v 3 Exemplo 2 A sequência é convergente ou divergente Solução a sequência em questão é convergente pois pode mos notar que à medida que o valor de n cresce temos que 1 ntende a zero ou seja o limite é igual a zero 65 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Associadas diretamente às conceituações das sequências convergentes e li mitadas existem algumas proposições relevantes que listamos a seguir O limite de uma sequência é único uma sequência não pode convergir para dois limites distintos ou seja o limite de uma sequência quando existir é único Subsequência de uma sequência convergente se tivermos então toda subsequência de xnconverge para o mesmo limite L Sequência convergente é limitada qualquer sequência xnconvergente é limitada Para obter mais conhecimento sobre as justificativas dessas proposições bem como mais exemplos que ilustram a parte sobre sequências subsequências e convergência pesquise na obra de GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v 3 66 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 33 INTRODUÇÃO ÀS SÉRIES NUMÉRICAS E PRIMEIRAS PROPRIEDADES É muito provável que você já tenha escutado o termo série numérica ou série infinita Especificamente falando lembrase das progressões geométricas po pularmente conhecidas como PG utilizadas quando lidamos com as dízimas periódicas e com os números racionais Uma dízima como 07777 nada mais é do que uma progressão geométrica infinita Observe Neste momento para conceituarmos uma série numérica iremos nos pau tar no processo de limite através de sequências numéricas Assim associa mos à sequência a1a2a3an uma soma infinita que denotaremos por Qual o significado dessa expressão O que isso represen ta ou nos diz Vamos averiguar Série Numérica falamos que uma série é uma soma com um número infinito de parcelas Ou seja Como todo limite ele pode existir ou não Por conta disso nós podemos ter séries convergentes e séries divergentes Re presentamos a série numérica por 67 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Série convergente e série divergente Se existir o limite dado por falamos que a série é convergente e será a soma da série Contrariamente se o limite não existir diremos que é uma série divergente É importante comentarmos que rotineiramente é conveniente considerarmos séries do tipo que começam em a0 ao invés de a1 Veja alguns exemplos Exemplo 3 Quando a série geométrica é convergente com soma igual a Exemplo 4 A série também é convergente com soma igual a cons tante de Euler Note que o termo geral dessa série convergente con verge para zero FIGURA 5 INFORMAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS SÉRIES NUMÉRICAS O termo geral de uma série convergente tem limite igual a zero A série harmônica é divergente Os números sn são chamados reduzidas ou somas parciais O limite da série infnita é o valor da soma envolvendo as suas infnitas parcelas Fonte Elaborada pelo autor 2019 68 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Chamamos de série harmônica a série 1 Pelo modo como seu termo geral tende a 0 primeiramente você poderia pensar que a sequência é convergente mas tal fato não é verdadeiro Foi Nicole Oresme um matemático do século XIV quem primeiro comprovou que ela é uma série divergente 34 TEOREMAS FUNDAMENTAIS Vejamos agora alguns resultados ou teoremas fundamentais relacionados às séries numéricas Temos os seguintes resultados associados Termo geral de uma série convergente o termo geral de uma série convergente tem limite igual a zero Convergência da soma e da diferença se as séries e são séries infinitas convergentes com somas dadas S e R respectivamente então temos que é uma série convergente e sua soma é S R e é uma série convergente e sua soma é S R Divergência de séries se a série for convergente e a série for divergente então a série será divergente Exemplo 5 Vamos determinar se a série converge ou diverge Solução primeiramente observe se a série é divergente Como a série é uma série geométrica com ela é convergente Dessa for ma concluímos que a série é divergente 69 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Teorema 1 Se as séries são duas séries infinitas que diferem somente pelo seus n primeiros termos isto é se então ambas convergem ou ambas divergem A demonstração desse teorema pode ser visualizada em Guidorizzi 2013 Exemplo 6 Vamos determinar se a série infinita é convergente ou divergente Solução em primeiro plano observemos que a série dada pode ser visualiza da como ou seja ela pode ser escrita na forma 1 Todavia como visto anteriormente que a série harmônica é divergente e como vem que a série numérica 1 difere da sé rie harmônica somente nos quatro primeiros termos Portanto com base no Teorema 1 concluímos que a série também é divergente Se você quiser obter detalhes sobre as justificativas dos teoremas colocados anteriormente bem como mais exemplos que ilustram a parte da convergência ou divergência de séries numéricas pesquise em GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v 3 70 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 35 CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIAS DAS SÉRIES NUMÉRICAS Vamos apresentar dois outros critérios que você pode utilizar para averiguar se uma série numérica é convergente ou divergente em situações específicas Consideremos o número real c diferente de zero ou seja Assim temos que Critério da comparação se a série for convergente e a sua soma for S então a série também será convergente e sua soma será cS Critério da comparação se a série for divergente então a série também será divergente Exemplo 7 Vamos determinar se a série é convergente ou divergente Solução nesse caso primeiramente podemos observar que Como a série harmônica é divergente então pelo critério de comparação com concluímos que a série é divergente Consideremos o número real c diferente de zero ou seja Dessa forma temos que Critério da multiplicação por escalar se a série for convergente e a sua soma for S então a série também será convergente e sua soma será cS 71 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Critério da multiplicação por escalar se a série for divergente então a série também será Exemplo 8 Vamos determinar se a série é convergente ou divergente Solução observe que Como a série harmônica é divergente então pelo critério da multiplicação por escalar com concluímos que a série é divergente 36 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONDICIONAL Agora você verificará dois importantes conceitos envolvendo a convergência de séries que são a convergência absoluta e a condicional Vejamos essas duas conceituações a seguir Dizemos que uma série é absolutamente convergente quando a série converge De outra forma uma série convergente tal que é divergente é chamada condicionalmente convergente Dessa maneira ilus tramos que 1 Quando tivermos uma série convergente cujos termos não mudam de sinal ela é absolutamente convergente 2 Para a série geométrica é absolutamente convergente pois com Com base nas conceituações anteriores nesse instante você está pronto para conhecer outros critérios para verificar a convergência ou a divergência de séries Temos que 1 Critério de D Alembert consideremos para todo Se existir uma constante c tal que para todo n suficientemente grande em peculiar se então a série será absolutamente convergente 72 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III É interessante pontuarmos que quando aplicarmos esse método essencial mente procuramos computar Assim sendo se então a série diverge pois temse em que para todo n suficientemente grande Logo resulta que o termo geral an não tende para 0 Além disso segundo esse critério as séries e esta última com por exemplo são convergentes Temos que Critério de Cauchy quando existe um número real c tal que para todo n natural suficientemente grande em particular quando l a série é absolutamente convergente Note que assim como no Critério de dAlembert também é de nosso interesse computar l Se a série diverge Salientamos que para os critérios 3 e 4 desde que o limite seja igual a 1 pode acontecer de termos uma série convergente como uma série divergente Em outras palavras nada podemos afirmar em linhas gerais quando o limite for 1 Exemplo 9 Verifique a convergência da série Solução vamos utilizar o Critério de Cauchy para interpretarmos a convergên cia da série dada Para tal vamos computar l Desta maneira pode mos escrever que Portanto a série é convergente Observe que para o cálculo do último limite foi utilizada a Regra de LHospital 73 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III CONCLUSÃO Nesta terceira unidade apresentamos as conceituações envolvendo as sequ ências e séries numéricas Grosso modo você visualizou que as sequências numéricas e séries infinitas são conceitos diretamente interligados e depen dentes e sua interpretação é o ponto principal para caracterizarmos a soma envolvendo infinitos termos Inicialmente você viu que uma sequência pode ser conceituada como uma função definida no conjunto dos números natu rais tomando valores reais Os números na imagem de uma sequência são chamados de elementos ou termos Você também se familiarizou que o limite de uma sequência quando existe é único assim a sequência é convergente Quando não há limite ela é divergente Com relação às séries numéricas estudou que elas são descritas a partir de suas somas parciais criadas a partir de uma sequência sendo que a conver gência nos dá a soma de seus infinitos termos Associado às séries numéricas trabalhamos com os principais critérios de convergência e divergência para as mesmas Agora você já tem conhecimentos para interpretar e caracterizar a convergên cia de sequências e séries numéricas OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 74 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III UNIDADE 4 Solucionar problemas envolvendo as integrais duplas e triplas com base nas suas operacionalidades e resultados associados 75 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 4 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA INTRODUÇÃO DA UNIDADE Nesta unidade estaremos interessados na descrição da generalização das fun ções do tipo ou seja nosso objetivo neste instante é o de apresentar a conceituação formal primeiros exemplos e propriedades relacionadas as fun ções de várias variáveis seja a nível de derivação e integração donde funda mentalmente trabalharemos com a integração múltipla Assim sendo convido você para darmos início ao conhecimento de tal teoria Vamos lá 41 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS É importante salientar que vários problemas significativos da Engenharia e de ou tras áreas do conhecimento demandam da ideia de função já que tal conceitua ção é utilizada para caracterizar a relação entre grandezas ou variáveis Entretan to em algumas situações específicas temos que a fundamentação envolvendo as funções que dependem de mais de uma variável real se torna essencial Para ilustrarmos o que acabamos de comentar vejamos É sabido que a área A de um triângulo depende do comprimento da base b e da altura h pela fórmula assim podese escrever O volume de uma caixa retangular depende do comprimento l da largura w e da altura h pela fórmula Agora vamos introduzir algumas conceituações pertinentes para o contexto introdutório envolvendo as funções de duas variáveis reais Tais conceitos são mostrados a seguir 76 CÁLCULO III MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 Função de duas variáveis a valores reais adaptado de GUIDORIZZI 2013 p 22 uma função de duas variáveis a valores reais nada mais é do que uma função em que A é um subconjunto de ou seja ela associa a cada para xy A um único número real fxy Geometricamente temos a seguinte situação apresentada na Figura 1 FIGURA 1 A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS y A x xy fxy IR Fonte Banco de imagens do autor 2019 Dessa forma temos que Domínio nesse caso o conjunto A é o domínio de f e indicaremos o mesmo por Df Conjunto imagem além disso o conjunto é a imagem de f ou o conjunto imagem de f 77 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Além disso observemos que 1 Deve ficar evidente que podemos visualizar que se trata de uma generali zação natural de uma função de uma variável real 2 O Df é um subconjunto do plano euclidiano e como sabemos da teo ria de funções de uma variável domínio significa condição de existência 3 A Im f ou conjunto imagem de f é um subconjunto da reta real Vejamos alguns exemplos envolvendo funções de duas variáveis Exemplo 1 São funções de duas variáveis as funções descritas a seguir A identidade geométrica de uma função fxy pode ser interpretada como segue Gráfico de fxy seja a função z fxy domínio de f O conjunto é chamado gráfico de f Em verdade o gráfico de z fxy é o interpretado como o lugar geométrico descrito pelo ponto x y fxy quando x y percorre o domínio de f Observe a Figura 2 a seguir 78 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 2 A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO GRÁFICO DE Z FX Y z x y x y x y fx y Fonte Banco de imagens do autor 2019 Outro ponto importante associado as funções de duas variáveis ao as curvas de nível Curva de nível de fxy sejam z fxy uma função de duas variáveis e c Imf O conjunto de todos os pontos tais que fx y c é denominado curva de nível de f correspondente ao nível z c ou curva de contorno Exemplo 2 Vamos caracterizar as curvas de nível da função para os níveis z 7 e 3 Solução primeiramente devemos notar que os valores z 7 e 3 pertencem ao conjunto imagem de fxy Assim sendo percebemos que de acordo com a conceituação de curva de nível no nível z c que A curva de nível para z 7 é dada por isto é ou seja ou ainda 79 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III A curva de nível para z 3 é dada por isto é ou seja ou ainda Logo concluímos que em todos os casos a curva de nível de z é dada por uma reta A representação gráfica é mostrada na Figura 3 a seguir FIGURA 3 CURVAS DE NÍVEL DA FUNÇÃO y x k 7 k 3 k 1 2 2 1 Fonte Banco de imagens do autor 2019 42 LIMITES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS O conceito de limite para uma função do tipo nada mais é do que a generalização para o contexto das funções do tipo 80 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Dessa forma temos que Limite de fxy sejam a função x0yo ponto de acumulação de Desta forma definimos Geometricamente a noção de limite de f x y mostrada na Figura 4 FIGURA 4 A IDEIA INTUITIVA DO LIMITE DE f x y f δ x0 y0 L ε L ε Fonte Banco de imagens do autor 2019 Em outras palavras podemos interpretar o limite de f x y como segue ou seja significando que dado existe 0 d tal que f x ypermanece em quando varia na bola aberta de centro x0 y0e raio d Outro ponto importante associado as funções de duas variáveis ao as curvas de nível 81 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Bola Aberta sejam e um número real definimos a bola aberta BP0r de centro em P0 e raio r como sendo o conjunto de todos os pontos cuja distância até P0 é menor que r isto é pelos pontos Px y que satisfazem De outra forma podemos escrever Exemplo 3 Se é uma função constante então para todo temos que e Dessa forma temos que Ponto de Acumulação consideremos A um subconjunto de e não necessariamente um ponto de A Dizemos que ab é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro em ab contiver pelo menos um ponto com Exemplo 4 Se para todo temos que logo 82 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Similarmente se então para todo temos que 43 DERIVADAS PARCIAIS Sejam x0 y0 um ponto no domínio de uma função fxy logo o plano vertical cortará a superfície z fxy Gráfico de f na curva z fx y 0 como re presentamos na Figura 5 a seguir FIGURA 5 O PLANO CORTANDO O GRÁFICO DE FX Y z z f x y A curva z f x y0 no plano y y0 Reta tangente Eixo horizontal no plano y y0 P x0 y0 f x0 y0 Eixo vertical no plano y y0 x0 y0 x0 h y0 y0 x0 x y ϴ Fonte Adaptada de Guidorizzi 2013 p48 83 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Além disso percebemos na Figura 5 que a coordenada horizontal nesse plano é x e a coordenada vertical é z Dessa maneira conceituamos a derivada parcial de f em relação a x no ponto x0 y0 como a derivada de f x y0 em relação a x no ponto isto é em termos formais temos a seguinte definição Dessa forma temos que 1 Derivada parcial de fxy em relação a x A derivada parcial de fxy em relação a x no ponto x0 y0é dada por desde que o limite exista É interessante observarmos que i O símbolo chamado de del que é similar à letra grega minúscula usada na definição de limite é simplesmente um outro tipo de d ii Dentre as notações temos Analogamente podemos caracterizar a derivada parcial de f x0 y0 em rela ção à variável y no ponto x0 y0 como segue Dessa forma temos que 2 Derivada parcial de fxy em relação a x a derivada parcial de f x0 y0 em relação a y no ponto x0 y0 é dada por desde que o limite exista Além disso podemos fazer observações análogas às feitas para a derivada par cial de f x0 y0com relação a x Ou seja podese salientar que i Dentre as notações temos ii A derivada parcial fornece a taxa de variação de f em relação a y em quando x é mantido fixo no valor x0 Essa é a taxa de variação de f na direção de j em x0 y0 84 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Vejamos uma ilustração Dessa forma considerando a função vem que 1 Derivada parcial de f com relação a x já que 2 Derivada parcial de f com relação a y já que 44 INTEGRAIS DUPLAS De acordo com Guidorizzi 2013 a integral dupla constitui uma ramificação da descrição da integral definida para as funções de duas variáveis Consideremos a função z f x y caracterizada em uma região fechada e limitada R do plano xy como mostrado na Figura 6 a seguir FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA FUNÇÃO Z FX Y NA REGIÃO R DO PLANO z f x y y x R Fonte Adaptada de Guidorizzi 2013 p 62 Traçando retas paralelas aos eixos das abscissas e das ordenadas de modo respectivo recobrimos a região R por pequenos retângulos como segue Veja a Figura 7 a seguir 85 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA FUNÇÃO Z FX Y NA REGIÃO R DO PLANO y x y x Δyk ΔAk Rk Rk R R Fonte Adaptada de Guidorizzi 2013 p 63 Sejam somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos na região R numerandoos de 1 até n Em cada retângulo Rk selecionamos um ponto xk yk e montamos o somatório dado por em que é a área do retângulo Rk Suponhamos agora que mais retas paralelas aos eixos das abscissas e ordenadas são traçadas tornando as dimensões dos retângulos cada vez de tamanho menor Figura 7 descrevemos a fim de que a diagonal máxima dos retângulos Rk tenda a zero quando n tende ao infinito ou seja Dessa forma se existe ela é denominada integral dupla de f x y sobre a região R conforme denotamos ou Podemos observar que 1 Região de integração a região R é chamada região de integração 2 Soma de Riemann a soma é denominada de soma de Riemann de z f x y sobre R 3 Limite independe das retas escolhidas o limite deve ser independente da seleção das retas que subdividem a região R e dos pontos xk yk tomados nos retângulos Rk Salientamos que a existência do limite depende da função z f x y e tam bém da região R Em nosso estudo vamos supor que o contorno da região R é formado por um número finito de arcos de curvas suaves isto é de arcos de 86 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III curvas que não contêm pontos angulosos Nesse caso se f é contínua sobre R temos a garantia da existência da integral dupla Para tal vamos supor que z f x y seja maior ou igual a zero sobre a região R Na Figura 8 a seguir averiguamos que o produto f xk yk denota o volume de um prisma reto cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é fxk yk Vejamos a Figura 8 a seguir FIGURA 8 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA DA FUNÇÃO Z FX Y z f xk yk y x z z R Fonte Adaptada de HughesHallett et al 2010 p 76 A soma de Riemann descreve uma aproximação do volume da porção do es paço delimitada abaixo do gráfico de z f xy e acima da região R do plano xy ou seja baseada na expressão Dessa maneira quando a fun ção f x y 0 a caracteriza essencialmente o volume do sólido compreendido superiormente pela descrição gráfica de z f x y e inferior mente pela região R bem como lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno da região R Observe a Figura 9 a seguir 87 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 9 A INTEGRAL DUPLA DA FUNÇÃO Z FX Y DANDO O VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO y R x z Fonte Adaptada de HughesHallett et al 2010 p 77 Segundo HughesHallett et al 2010 p 233 Assumindo que a fronteira da região de integração R é formada por um número finito de arcos de curvas suaves e que as funções f xy e g xy são contínuas em R temos algumas propriedades da integração dupla que visam simplificar os cálculos envolvendo as mesmas Assim temos que a para todo k real b c Se para todo então d Se para todo xy em R então 88 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 45 INTEGRAIS TRIPLAS E as integrais triplas Para discutirmos elas primeiramente notamos que nos baseamos em uma função de três variáveis reais ou seja uma função do tipo w f x y z definida sobre uma região T do espaço tridimensional Assim sendo tomemos w f x y z uma função definida e contínua em uma região fechada e limitada T do espaço Logo subdividimos T em pequenas subregiões traçando planos paralelos aos planos coordenados conforme Fi gura 10 a seguir FIGURA 10 INTERPRETANDO GEOMETRICAMENTE A REGIÃO T PARA INTEGRAL TRIPLA T y x xk yk zk Fonte Adaptada de HughesHallett et al 2010 p 80 Enumerando os paralelepípedos no interior T de 1 até n escolhemos um ponto arbitrário xk yk zk descrevemos a soma em que é o volume Dessa forma se por ventura existir ela é chamada de integral tripla da função f xyz sobre a região T e é representada pe las expressões características ou De acordo com HughesHallett et al 2010 p 247 com relação a integral tripla listamos as seguintes propriedades associados que visam a simplificação dos cálculos 89 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III a b c Agora sem perda de generalidade comentamos que a integral tripla constitui uma generalização direta da integral dupla Para tal quando temos uma fun ção em que R é uma região do espaço tridimensional podemos calcular a integral tripla de f na região R 1 caso a região T é descrita inferiormente por z h1xy e superiormente por z h2xy em que h1 e h2 são funções contínuas sobre R do plano xy conforme Figura 11 a seguir FIGURA 11 INTERPRETANDO GEOMETRICAMENTE A DEFINIÇÃO FORMAL DA INTEGRAL TRIPLA T x y z z h1x y z R Fonte Adaptada de Morettin 2016 p 77 90 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Nesse caso temos que Logo como vimos em integrais duplas a integral tripla será dada por 2 Caso a região T é caracterizada à esquerda por y p1xz e a direita por y p2xz em que p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R do plano xz como visualizado na Figura 12 a seguir FIGURA 12 INTERPRETANDO GEOMETRICAMENTE A DEFINIÇÃO FORMAL DA INTEGRAL TRIPLA x y y z T R Fonte Adaptada de Morettin 2016 p82 Logo podemos escrever que 91 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 3 Caso a região T é delimitada na parte de trás por x q1yz e na frente por x q2yz em que q1 e q2 são contínuas sobre a região R do plano yz Observe FIGURA 13 INTERPRETANDO GEOMETRICAMENTE A DEFINIÇÃO FORMAL DA INTEGRAL TRIPLA T x y x q1y z x q2y z z Rл Fonte Adaptada de Morettin 2016 p 84 Desta maneira para este caso temos 46 APLICAÇÕES DIVERSAS Vejamos neste momento uma aplicação envolvendo a integração múltipla com base nas ponderações descritas anteriormente Aplicação 1 vamos caracterizar a integral tripla sendo T um sólido compreendido pelo cilindro x² y² 25 pelo plano x y z 8 e pelo plano xy Solução inicialmente observemos que o sólido T é delimitado superiormente pelo gráfico da função z 8 x y e inferiormente por z 0 conforme é apre sentado na Figura 14 a seguir 92 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 14 INTERPRETANDO GEOMETRICAMENTE O EXEMPLO EM QUESTÃO y 5 x z 0 R Fonte Banco de imagens do autor 2019 Dessa forma a projeção sobre o plano xy é o círculo x² y² 25 conforme Fi gura 15 a seguir FIGURA 15 INTERPRETANDO GEOMETRICAMENTE O EXEMPLO EM QUESTÃO Fonte Banco de imagens do autor 2019 93 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Logo podemos escrever Para esse caso podemos utilizar as coordenadas polares CONCLUSÃO Nesta unidade apresentamos o contexto teórico envolvendo a integração múltipla Grosso modo iniciamos a nossa tratativa objetivouse num primeiro momento com a descrição das funções de várias variáveis especificamente falando com as funções de duas variáveis Conceituamos formalmente essa tipologia de função bem como descrevemos os conceitos de curvas de nível gráfico e limite de z fxy A seguir discutimos a parte relacionada a integra ção dupla que constituir de modo natural a generalização da integral definida para funções z fxy Tal aparato pode ser interpretada em situações específi cas como volumes de sólidos Por fim tratamos da integral tripla que em um primeiro momento pode ser vista facilmente como a generalização da integral dupla Aqui também é um aparato fundamental para a resolução de proble mas diversos OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 94 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III UNIDADE 5 estar familiarizado com as principais propriedades e técnicas envolvendo a teoria da integração 95 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM E APLICAÇÕES INTRODUÇÃO DA UNIDADE Você saberia modelar a equação diferencial que caracteriza a situação de um objeto que está caindo na atmosfera perto do mar Conseguiria descrever a equação que rege a queda de temperatura de um determinado objeto em meio qualquer Ou ainda conseguiria caracterizar a diferença de potencial em um circuito elétrico fechado A partir de indagações como essas é que se torna fundamental o estudo das equações diferenciais ordinárias Não é novidade para nós a necessidade de criarmos modelos que permitam interpretar e compreender como o mundo físico tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática Física e Engenharia Podemos falar que números foram criados para contar e medir ao passo que desigualdades foram introduzidas para comparar grandezas e se inventaram as funções matemáticas para expressar dependência ou relação entre coisas Nesse sentido é interessante notarmos que muitas situações problemas do cotidiano por mais complexas que sejam e formuladas em linhas matemáti cas exigem quase sempre a resolução de uma equação que envolve derivadas ordinárias de uma dada função Assim sendo convido você para conhecermos a Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias Vamos lá 51 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS É importante salientarmos que vários problemas relevantes do nosso mundo atual necessitam da ideia de função já que tal conceito é usado para carac terizar a relação entre grandezas ou variáveis Todavia em algumas situações peculiares temos que a necessidade de entender uma equação que envolve derivadas de uma função As equações diferenciais de primeira ordem são usadas para a resolução de problemas de decaimento de substâncias cresci mento populacional reações químicas etc 96 CÁLCULO III MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 FIGURA 1 APLICABILIDADE DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Fonte Plataforma Deduca 2019 Portanto vamos conhecer os conceitos introdutórios e a classificação das equações diferenciais como segue Equações diferenciais Chamamos de equações diferenciais aquelas que contêm derivadas ordinárias de funções 97 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Ilustrando são exemplos de equações diferenciais Comumente as equações diferenciais são classificadas de acordo com a sua tipologia ordem e linearidade Veja a Figura 2 FIGURA 2 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Tipo Ordem Linearidade Classifcação das equações diferenciais Fonte Elaborada pelo autor 2019 Assim sendo nos primeiros três casos ilustrados anteriormente em que apa recem apenas derivadas ordinárias a equação é dita uma equação diferencial ordinária De outro modo caso as derivadas sejam derivadas parciais então a equação é dita uma equação diferencial parcial como o quarto exemplo de equação mostrado anteriormente Se uma equação contém somente derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes então a equação é denominada equação diferencial parcial que denotaremos por EDP 98 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III No que diz respeito à ordem falamos que a ordem de uma EDO é a ordem da mais alta derivada que nela comparece Vejamos EDO de primeira ordem EDO de terceira ordem EDO de quarta ordem Para o último critério de classificação temos a linearidade EDO linear Falamos que uma EDO de ordem n na função incógnita y e na variável independente x é linear se estiver como em que as funções e gx são conhecidas e dependem apenas da variável x ou de t caso 99 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Contrariamente as equações diferenciais ordinárias que não podem ser des critas sob a forma anterior são ditas equações diferenciais não lineares Veja mos alguns exemplos ilustrativos 1 EDO linear 2 EDO linear 3 EDO linear 4 EDO não linear 5 EDO não linear Vejamos a seguir a caracterização da linearidade de uma EDO representada na Figura 3 a seguir FIGURA 3 CARACTERIZAÇÃO DA LINEARIDADE DE UMA EDO Equações lineares Equações lineares Coefcientes da função y e de suas derivadas podem ser funções constantes Coefcientes da função y e de suas derivadas podem ser funções constantes Coefcientes da função y e de suas derivadas dependem também de y Coefcientes da função y e de suas derivadas podem depender das derivadas de y Fonte Elaborada pelo autor 2019 100 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 52 SOLUÇÕES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS A fim de solucionarmos uma EDO devemos procurar funções ao invés de nú meros como acontece nas equações elementares Observe que na equação o y é a função incógnita logo caracterizar a sua solução significa determinar uma função definida em um certo intervalo I de tal modo que quando substituirmos y por essa função a EDO se reduz a uma identidade para qualquer ponto em I Observe que a função é uma solução de já que para qualquer ponto x em Solução de uma EDO Falamos que uma solução de uma EDO é a função yx que torna a equação diferencial uma identidade para qualquer ponto que pertença ao intervalo I Você deve se lembrar que em um curso de cálculo introdutório foram es tudadas as noções de funções explícitas Analogamente ao trabalhado nas equações matemáticas elementares soluções de EDOs são classificadas em explícitas ou implícitas Nesse sentido conceituamos as soluções explícitas e implícitas de uma equação diferencial ordinária como segue Soluções explícitas solução para uma EDO que pode ser descrita na forma Soluções implícitas falamos que uma relação do tipo é uma solução implícita de uma EDO em I se ela define uma ou mais soluções explícitas em I 101 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Vejamos alguns exemplos ilustrativos Exemplo 1 solução explícita A função é solução para a EDO no intervalo Assim tal função é uma solução explícita Exemplo 2 solução explícita A função é uma solução para a EDO no intervalo logo tal função é uma solução explícita Exemplo 3 solução implícita Para o intervalo a relação é uma solução implícita para a equação diferencial De fato por meio da derivação implícita vem que ou seja ou ainda Observe que a relação no exemplo caracteriza duas funções ex plícitas que são e no intervalo considerado De outra forma note que toda relação do tipo satisfaz a igualdade para todo real c Salientamos que como a distinção entre uma solução explícita e uma solução implícita é direta não devemos nos preocupar em descrever se temos uma solução explícita ou implícita 53 EQUAÇÕES SEPARÁVEIS Como podemos solucionar uma EDO de 1ª ordem A resposta para tal indaga ção se baseia nos métodos de resolução Assim sendo neste momento esta remos interessados em discutir métodos de resolução de EDOs de 1ª ordem dentre eles citamos o método das variáveis separáveis e o método dos fato res integrantes O interessante a ser comentado é que cada um desses métodos apresenta a sua particularidade para aplicação em determinadas equações Além disso não é de nosso interesse a descrição formal de tais métodos e sim como utili zálos para a caracterização das soluções de EDOs de 1ª ordem 102 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III PVI Uma equação diferencial de primeira ordem em conjunto com uma condição inicial do tipo é dito um Problema de Valor Inicial PVI Vamos tomar gx uma função contínua e conhecida assim a EDO de 1ª or dem pode ser solucionada por meio de uma integração direta Para tal reescrevemos a equação na forma Nesse contexto a solução para a EDO considerada é Observe a seguir Vamos determinar a solução geral da EDO dada por Para tal inicialmente escrevemos a EDO na forma Assim apli camos a integração a ambos os membros sendo no 1º membro com relação à variável y e no 2º membro com relação a x daí De onde segue que denota a solução geral da EDO dada Salientamos que em verdade o procedimento de resolução usado neste mo mento é apenas um caso específico da conceituação a seguir Saiba que uma EDO na forma é chamada equação separável ou tem variáveis separáveis 103 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 4 Vamos caracterizar a solução da EDO Solução com base em fazendo a multiplicação cruzada obtemos que Note que em verdade separamos tudo que tem y no pri meiro membro e tudo que tem x no segundo membro Agora realizamos a integração dos dois membros como segue Ou seja E como é uma constante digamos C resulta que Note que integramos diretamente o primeiro membro com relação a y e ca racterizamos a função y por isolamento Exemplo 5 Vamos solucionar o PVI com condição inicial Solução primeiramente podemos notar que a EDO é de variáveis separáveis Logo podemos reescrevêla na forma ou ainda com base na inte gração escrevemos Ou seja em que C1 é uma constante arbitrária Observe ainda que a solução anterior pode ser escrita na forma para tal basta substituirmos as constantes 2C1 por c2 Gros so modo a solução descreve uma família de círculos concêntricos de mesmo centro Agora vamos visualizar a condição inicial inserida no exemplo Dessa forma quando vem que e portanto interpretamos que o PVI determina Logo concluímos que este é o único círculo da família que passa pelo ponto 4 3 Observe a Figura 4 a seguir 104 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 4 A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO ANTERIOR c 5 x y 5 4 3 5 Fonte Banco de imagens do autor 2019 Na prática quando integramos os dois membros de uma EDO colocamos a constante em um membro somente 54 O MÉTODO DOS FATORES INTEGRANTES Outro método muito usado para a descrição de soluções de EDO de 1ª ordem é o método dos fatores integrantes Em verdade ele se alicerça na descrição a priori de uma função desconhecida que será denotada por que quando multiplicada na equação original a deixa diretamente integrável por conta disso sua denominação O uso de tal método pode ser feito a partir dos passos a seguir Sequência de passos de aplicação do método dos fatores integrantes 1º Passo encontrar o fator integrante pela fórmula 2º Passo multiplicar a equação original pelo fator integrante a fim de escrever o novo primeiro membro como a derivada do produto 105 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 3º Passo efetuar a integração da nova igualdade em relação a t e encontrar a função y solução da equação A Figura 5 a seguir descreve um fluxograma do uso do método FIGURA 5 SEQUÊNCIA DE PASSOS PARA O MÉTODO DOS FATORES INTEGRANTES 1 Passo Encontrar o fator integrante 2 Passo Multiplicar a EDO original pelo fator integrante 3 Passo Integrar a última igualdade com relação a t Fonte Elaborada pelo autor 2019 Vejamos a utilização do método dos fatores integrantes Exemplo 6 Vamos caracterizar a solução do PVI dado por com condição inicial Solução Primeiramente determinemos o fator integrante pela fórmula Assim como segue que De outra forma pegamos a EDO inicial e a multiplicamos por de onde obtemos Ou seja reescrevemos a igualdade anterior com base no Passo 2 da metodologia dos fatores integrantes como 106 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Dessa maneira realizando a integração da igualdade anterior em t vem que dt d E portanto escrevemos que em que C é uma constante arbitrária Ou ainda Para identificarmos a função y bas ta passarmos o termo dividindo ou equivalentemente multiplicarmos a equação anterior por e t 2 de onde resulta que Que descreve a solução geral da EDO Para encontrarmos a solução do PVI dado na solução geral trocamos a condição inicial ou seja a fim de caracterizarmos o valor da constante C Logo temos que Ou seja de modo que a solução do PVI é escrita como Portanto concluímos que solução geral e solução do PVI 55 EQUAÇÕES EXATAS O nosso objetivo aqui é descrever a metodologia de resolução de EDOs de 1ª ordem por meio das equações exatas todavia para tal é necessário conceitu armos o significado de diferencial exata como segue Uma expressão diferencial é dita diferencial exata em uma região R do plano xy se ela equivale a diferencial total de alguma função f x y 107 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Logo definimos uma equação exata como segue Uma EDO com a tipologia é denominada de equa ção exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata Observe o exemplo ilustrativo a seguir Exemplo 7 notemos que a EDO dada por é exata já que O teorema na sequência nos dá um teste para caracterizarmos uma diferen cial exata Teorema 1 critério para uma diferencial exata Consideremos Mx y e Nx y funções contínuas com derivadas parciais con tínuas em uma região retangular R descrita por Assim uma condição necessária e suficiente para que seja uma dife rencial exata é que tenhamos a igualdade CENGEL 2014 A justificativa de que a condição do Teorema 1 é suficiente consiste em de monstrar que existe uma função f tal que e Comen tamos ainda que a construção de tal função na verdade nos dá um procedi mento específico para solução de EDOs por meio das equações exatas Agora vamos apresentar uma sequência de passos a serem seguidos para a resolução de EDOs por intermédio a noção de equações exatas De acordo com Cengel 2014 dada a equação I devemos comprovar inicialmente que Na sequência efetuamos a suposição de que 108 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Daí podemos caracterizar f integrando Mx y com relação a x tomando y constante Escrevemos em que a função arbitrária gy é a constante de integração Agora derivamos a Equação I com relação à variável y e supomos obtendo Logo vem que Vejamos um exemplo ilustrativo acerca das equações exatas Exemplo 8 Vamos caracterizar a solução da EDO Solução primeiramente observe que como e temos que Assim sendo a equação dada é exata e pelo Teore ma 1 existe uma função f x y satisfazendo e Da primeira dessas equações obtemos depois de integrarmos que Agora derivando a última expressão com relação à y e igualando o resultado a Nx y temos que de onde se gue que e Note que a constante de integração não preci sa ser incluída pois a solução é 109 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Qualquer EDO admite solução Sim ou não A resposta para tal indagação é NÃO já que exemplificando a EDO não possui solução pois nenhum quadrado pode ser equivalente a um número negativo se tomarmos 56 APLICAÇÕES ENVOLVENDO AS EDOS DE PRIMEIRA ORDEM Já deixamos evidente com base nas exposições teóricas anteriores que uma EDO é rotineiramente utilizada como mecanismo para descrevermos o com portamento de alguns sistemas reais físicos sociológicos ou mesmo econô micos o qual é denominado de modelo matemático sendo a célula funda mental da modelagem matemática Particularmente falando de modelos matemáticos para fenômenos como de crescimento de substâncias crescimento populacional reações químicas res friamento de corpos velocidade de um corpo em queda livre taxa de memo rização ou corrente em um circuito em série são algumas situações em que as EDOs de 1ª ordem são fundamentais Dessa forma aqui estaremos interessados na resolução de algumas EDOs line ares e não lineares que aparecem no dia a dia 110 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 6 MODELAGEM MATEMÁTICA VIA EDOS DE PRIMEIRA ORDEM Aplicações cotidianas Modelagem matemática EDO de Primeira Ordem Problemas Práticos na Engenharia Fonte Banco de imagens do autor 2019 Vejamos uma aplicação das EDOs de 1ª ordem a seguir Aplicação 1 crescimento e decrescimento CENGEL 2014 O PVI dado por em que k é uma constante de propor cionalidade comparece em diversas teorias fisicas relacionadas a crescimen to eou decrescimento De acordo com Cengel 2014 p 34 tal PVI alicerça um modelo para o cálculo aproximado da quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada por meio da radioatividade De outra forma a EDO anterior pode ainda caracteirzar a temperatura de um corpo em resfriamento Vamos tomar de modo específico a seguinte situação problema o isótopo ra dioativo de chumbo Pb209 decai a uma taxa proporcional à quantidade pre sente em qualquer tempo t Sua meia vida é 24 horas Segundo Cengel 2014 p 33 a meia vida é uma medida de estabilidade de uma dada substância radioativa Em outras palavras a meia vida compreende o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial A se desin tegrar ou se converter em átomos de outro elemento 111 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Se 20 gramas de chumbo estão presentes inicialmente quanto tempo levará para 90 de chumbo desaparecer Solução vamos considerar como parâmetros Mt quantidade presente no instante t M0 M0 quantidade no instante k constante de proporcio nalidade Para a nossa aplicação com base no enunciado para a substância sendo sua meia vida no período de 24 horas podemos escrever que ke t M t M 0 4 2 0 0 2 1 ke M M 112 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Assim sendo a massa inicial temos que Logo para identificarmos quanto tempo levará para 90 da massa de chumbo desapa recer devemos considerar a massa final igual a 2 gramas ou seja t e t M 0 2888811325 20 horas Portanto concluímos que 90 de chumbo irá desaparecer em aproximada mente 797 horas 113 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III CONCLUSÃO Esta unidade objetivouse na descrição formal das EDOs de 1ª ordem Vimos que vários problemas importantes e relevantes do mundo da Matemática Fí sica e da Engenharia matematicamente formulados necessitam da descrição de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais deri vadas ordinárias de uma função a priori desconhecida Nesse sentido torna se fundamental o estudo das EDOs assim inicialmente trabalhamos com os seus conceitos preliminares desde a sua classificação quanto ao tipo à ordem e à linearidade passando pela descrição de outas terminologias e conceitos pertinentes Assim sendo a partir da classificação das EDOs vimos em termos formais a ca racterização e interpretação algébrica de uma solução ou seja visualizamos o significado de encontrarmos a solução de uma EDO que em verdade traduz se na determinação de uma função incógnita que faz com que ela se torne uma identidade Note que neste momento você já sabe como preencher a necessidade de criar modelos que permitam explicar e compreender o mun do físico que tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática Física e Engenharia que dependem do contexto de equações diferenciais ordinárias sejam elas de primeira ordem ou de ordem superior OBJETIVO Ao final desta unidade esperamos que possa 114 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III UNIDADE 6 Reconhecer as particularidades e resultados fundamentais envolvendo as equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes 115 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE SEGUNDA ORDEM E APLICAÇÕES INTRODUÇÃO DA UNIDADE Vamos dar sequência ao estudo das equações diferenciais ordinárias traba lhando agora com as equações de segunda ordem Assim sendo por exemplo você saberia especificar a EDO que descreve a situação de um corpo ligado a uma mola Conseguiria caracterizar a equação que simula as oscilações de um eixo acoplado a um volante Ou ainda saberia fundamentar a corrente elétrica em um circuito simples em série A partir de perguntas como essas é que se torna relevante a compreensão das EDOs de 2ª ordem Salientamos que uma EDO de 2ª ordem nada mais é do que uma função que relaciona a derivada ordinária de segunda ordem de uma função em função de sua derivada primeira bem como de y e de x ou ainda quando escrevemos como segue A representação geral de uma EDO de 2ª ordem é dada por f t y Em verdade podese afirmar que as EDOs de 2ª ordem são de extrema rele vância para todo estudo relacionado à mecânica dos fluidos da condução do calor do movimento ondulatório ou dos fenômenos eletromagnéticos que são problemas essenciais no contexto das Ciências Exatas Vejamos a Figura 1 116 CÁLCULO III MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 FIGURA 1 IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM NO CONTEXTO DA ENGENHARIA Rica estrutura teórica Importantes para problemas clássicos da Engenharia Solução de problemas de oscilações mecâncias e elétricas Equações diferenciais de segunda ordem Fonte Elaborada pelo autor 2019 Assim convido você para participar dessa generalização Vamos lá 61 INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Você saberia iniciar a resolução de EDOs de 2ª ordem Saberia diferenciar as principais subclasses de EDOs de 2ª ordem Conseguiria utilizar uma EDO de 2ª ordem em uma situação simples do contexto de oscilações mecânicas E a interpretação de um sistema massa mola Diante disso entramos no mo mento de interpretarmos formalmente uma EDO de 2ª ordem com coeficien tes constantes a partir da sua equação característica Primeiramente ressal tamos que em linhas gerais uma EDO de 2ª ordem pode ser vista na forma em que f é uma função conhecida 117 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Linearidade Dizemos que a equação f t y é linear quando a função f é linear em y e suas derivadas isto é quando conseguirmos escrever onde gt pt e qt são funções conhecidas da variável independente t Desta forma podese ainda escrever Dada uma equação se ela não tem a forma descrita anterior mente então ela é dita não linear De outra forma nesse contexto o conceito de Problema de Valor Inicial PVI similar ao das EDOs de 1ª ordem é importante e dado a seguir Problema de Valor Inicial PVI um Problema de Valor Inicial PVI é composto por uma EDO de 2ª ordem com condições iniciais com 0y e dois números reais conhecidos Além disso segundo Cengel 2014 p 134 uma EDO linear de 2ª ordem é ho mogênea se o termo gt for nulo para todo t isto é Nesse senti do vamos estudar em primeiro lugar as equações em que os coeficientes são constantes ou seja funções do tipo com a b e c constan tes reais Vejamos um exemplo introdutório 118 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 1 Considere a equação Note que para solucionarmos tal equação é necessário encontrar uma função cuja sua derivada segunda seja ela mesma dessa maneira é solução da equação já que é solução da equação já que é solução da equação já que é solução da equação já que Evidentemente percebese também que as funções e também são soluções independentemente das constantes c1 e c2 Pensando assim ou seja indo um pouco mais longe notamos também que também é solução da EDO dada Observe que qualquer soma de soluções de também é a sua solução Particularmente comentando uma vez que e são soluções de então concluímos que a função também consti tui uma solução em geral como as constantes c1 e c2 são quaisquer a expressão anterior caracteriza uma família duplamente infinita de soluções da EDO dada Com o intuito de generalizarmos sendo com a b e c quais quer similarmente buscamos funções do tipo que sejam sua solução em que r é um parâmetro a priori desconhecido Assim e de onde segue que ou seja temos que Como sabemos para todo r e para todo t deve mos ter 119 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Tal equação do segundo grau recebe o nome de equação característica da EDO Para Cengel 2014 p 136 o significado da equação característica é que se r for uma raiz da equação quadrática então é solução da EDO com a b e c constantes De outro modo como a equação característica é uma equação do 2º grau com coeficientes reais apresenta duas raízes que podem ser reais e diferentes ou reais e iguais ou complexas conjugadas Vejamos a Figura 2 a seguir FIGURA 2 POSSIBILIDADES PARA AS RAÍZES DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA Raízes reais e diferentes Raízes reais e iguais Raízes complexas conjugadas Fonte Elaborada pelo autor 2019 62 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES RAÍZES REAIS E DISTINTAS De acordo com Cengel 2014 p 141 Supondo que a equação característica tenha raízes reais e distintas r1 e r2 com então as funções e são duas soluções da equação e desta maneira a solução geral é dada por Vejamos alguns exemplos a seguir envolvendo a caracterização da solução ge ral e de um PVI de uma EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes em que a equação característica admite duas raízes reais e distintas 120 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 2 Vamos caracterizar a solução geral da EDO dada por Solução note que nesse caso temos que e logo admitindo que seja a solução da equação com r a raiz da equação característica segue que e Portanto a solução geral da equação anterior é dada por Exemplo 3 Vamos caracterizar a solução do PVI e Solução do exemplo anterior já sabemos da solução geral para essa EDO Des sa maneira com base nas condições iniciais e obtemos o siste ma linear e resolvendoo por qualquer um dos métodos ele mentares concluímos que e ou ainda a solução do PVI é dada por Exemplo 4 Vamos determinar a solução geral da EDO de 2ª ordem com coeficientes cons tantes Solução nesse caso temos que e Logo admitindo que seja a solução da equação com r a raiz da equação característica dada por Segue que e e portanto a solução geral da equação anterior é dada por 63 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUÇÕES WRONSKIANO E INDEPENDÊNCIA LINEAR Como podemos compreender metodologias de resolução de EDOs de 2ª or dem que caracterizem todas as soluções das mesmas Sendo assim aqui es taremos interessados em caracterizar um conjunto fundamental de soluções cfs para uma EDO de 2ª ordem Além disso apresentaremos a noção de wronskiano entre duas funções e in dependência linear entre elas que constitui uma importante ferramenta na obtenção de cfs O importante é ressaltar que a partir de resultados relacio nados estaremos ampliando a visualização e percepção com relação às equa ções homogêneas de 2ª ordem 121 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Teorema de Existência e Unicidade é de acordo com Cengel 2014 p 144 o PVI dado por com condições iniciais e em que p q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I Então existe somente uma solução desse PVI e a solução existe em todo intervalo I Em outras palavras o resultado anterior nos remete a O PVI possui uma solução ie existe solução do problema O PVI tem uma só solução ie a solução é única Solução A solução é uma função pelo menos duplamente derivável em todo o intervalo I no qual os coeficientes sejam funções contínuas 122 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 3 INTERPRETANDO O TEOREMA DA EXISTÊNCIA E UNICIDADE 1 Obs Existe uma solução do PVI 2 Obs A solução do PVI é única 3 Obs A solução está em todo intervalo I desde que os coefcientes sejam duas vezes deriváveis Fonte Elaborada pelo autor 2019 Por outro lado quando já caracterizadas as soluções y1 e y2 podese gerar mais soluções a partir da combinação linear de y1 e y2 Sobre o Teorema da Superposição Cengel 2014 p 145 nos diz que sejam y1 e y2 duas soluções da equação diferencial ordinária então a combinação linear também é uma solução para quaisquer valores das constantes c1 e c2 O determinante é chamado de determinante wronskiano ou wronskiano das soluções y1 e y2 123 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Teorema da Escolha Suponhamos que y1 e y2 sejam duas soluções da equação diferencial ordinária e que o wronskiano não seja nulo no ponto t em que ficam as condições iniciais e então existe uma escolha das constantes c1 e c2 para a qual satisfaz à EDO e às condições iniciais e Considerando 1y e 2y duas soluções da EDO e se tivermos um ponto 0t no qual o Wronskiano de 1y e 2y for não nulo então a família de soluções dada por 1 1 2 2 y c y c y com os coeficientes quaisquer 1c e 2c inclui qualquer solução da EDO CENGEL 2014 p 147 As soluções 1y e 2y com o wronskiano não nulo constituem um conjunto fun damental de soluções cfs da equação Exemplo 5 Vamos mostrar que e formam um con junto fundamental de soluções para a equação diferencial Para tal salientamos inicialmente que deve mos mostrar que e são soluções da equação diferen cial dada Dessa forma temos que e Substituindo os cálculos anteriores na equa ção diferencial dada segue que e 124 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Note que até o presente momento mostramos que y1t e y2t são soluções da equação diferencial dada Agora vamos determinar o wronskiano entre y1 e y2 ou seja vamos encontrar Wy1 y2 Observemos que para sendo assim concluímos que as fun ções e constituem um conjunto fundamental de soluções para a equação dada Os determinantes wronskianos recebem esse nome por conta de Jósef Maria HoëneWronski 1776 1853 matemático nascido na Polônia que viveu praticamente toda a sua vida na França Falamos que duas funções f1 e f2 são linearmente dependentes LD em um dado intervalo I se existirem constantes k e k2 ambas nãonulas simultanea mente tais que para todo t De outro modo temos que Duas funções f1 e f2 são linearmente independentes LI se não forem linear mente dependentes ou seja se a equação 7 anterior for válida parta todo t no intervalo I se 125 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Exemplo 6 Vamos averiguar se as funções e são LI ou LD em um intervalo qualquer I da reta real Aqui sabemos que e são LD em qualquer intervalo I já que a igualdade é verificada para todo t real Ilustrando se tomarmos e como e assim teríamos ou seja Verdadeiro 64 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES RAÍZES COMPLEXAS CONJUGADAS Suponhamos que seja negativo isto é que portanto as raízes a equação característica são números complexos conjugados que denotaremos por e onde e são duas constantes reais Dessa ma neira caracterizamos as soluções y dadas por e Qual o significado de elevarmos a Constante de Euler e a uma potência que é um número complexo A resposta para tal indagação foi dada pelo próprio Euler conhecida como Fórmula de Euler que utilizaremos na forma assim para o nosso contexto as tomaremos na forma Assim as soluções y1 e y2 como podemos observar são funções complexas definidas em C e como estamos acostumados com o conjunto dos números reais gostaríamos que elas fossem reais Pelo Teorema do Princípio da Superposição vimos que se y1 e y2 forem so luções da equação diferencial então qualquer uma de sua combinação linear é também uma solução Em particular vamos efetuar a soma e a diferença entre y1 e y2 de onde obtemos e 126 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Sem perda de generalidade vamos desprezar os fatores 2 e 2i em cada ex pressão anterior obtendo de forma clara um par de soluções reais dado por e Notemos que ut e vt são simplesmente a parte real e a parte imaginária de Além disso percebemos que o wronskiano entre ut e vt é dado por e dessa forma se então o wronskiano Wuv é não nulo e ut e vt formam um conjunto fundamental de soluções Portanto a solução geral da EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes e equação característica com é com c1 e c2 números reais quaisquer Exemplo 7 Vamos determinar a solução geral da EDO de 2ª ordem dada por Solução primeiramente observe que a equação característica associada é dada por já que e Daí computamos o discrimi nante como segue ou ou ou E assim as raízes são dadas por Aqui temos e e portanto a solução geral da equação diferencial anterior é Exemplo 8 Vamos caracterizar a solução geral de Solução aqui a equação característica associada à equação é dada por pois e Logo as raízes são caracterizadas por ou seja nesse caso temos e Dessa maneira a solução geral da EDO é 127 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III 65 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES RAÍZES REAIS E IGUAIS REDUÇÃO DE ORDEM Vamos agora discutir o caso em que as raízes r1 e r2 da equação característica associada a EDO são iguais ou ainda Aqui de forma natural surge a dificuldade das duas raízes sendo iguais nos levarem à mesma solução Vejamos um exemplo inicial Exemplo 9 Vamos resolver a EDO Solução inicialmente notemos que a equação caraterística da equação dada é Desse modo segue que as raízes são isto é são iguais Portanto temos que uma solução para a EDO dada é Logo percebemos que para encontrarmos a solução geral da EDO dada ne cessitamos de uma outra solução y2t que não seja múltipla de y1t já que se isto ocorrer teremos Vejamos a Figura 4 a seguir FIGURA 4 AS DUAS SOLUÇÕES NÃO PODEM SER LD Não podem ser linearmente dependentes Soluções y1 e y2 Fonte Elaborada pelo autor 2019 Para solucionarmos o nosso exemplo usamos o método do matemático francês Jean dAlembert que tem como ideia básica generalizar o fato e que se y1t é solução então cy1t também é uma solução para toda constante c trocando c por uma função vt de tal forma que o produto seja solução da EDO A fim de aplicarmos tal raciocínio inicialmente substituímos y pela fun ção na equação e encontramos a função vt Dessa forma e assim sendo e então Agora vamos substituir às expressões de y1 128 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III e na equação diferencial ordinária A partir de uma or denação dos termos obtemos o que se simplifica para ou ainda e portanto em que c1 e c2 são constantes arbitrárias Por fim substituindo vt em vem que Note que as soluções e não são proporcionais e assim sendo concluímos que as duas são LI já que Portanto as funções e constituem um conjunto fundamental de soluções para a equação do exem plo Exemplo 10 Vamos resolver o PVI Note que a equação característica aqui é de onde e portanto a solução geral é dada por A primeira condição inicial nos leva a De outra forma derivando a solução geral e utilizando a se gunda condição inicial obtemos que Assim sendo e Portanto a solução do PVI proposto é dada por 66 O MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Aqui será de nosso interesse a discussão acerca da EDO de 2ª ordem não ho mogênea 1 em que pt qt e gt são fun ções conhecidas e contínuas no intervalo aberto I Observe que a EDO 2 com e pt qt são as mesmas funções da equação 1 é a equação homogênea correspondente à Equação 1 Grosso modo as duas afirmações a seguir descrevem a estrutura as soluções das equações não homogêneas 1 e proporcionam a base para a construção da solução geral 129 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III Afirmação 1 se Y1 e Y2 são duas soluções da equação nãohomogênea 1 então a diferença é uma solução a equação correspondente 2 Se além disso 1y e 2y constituem um conjunto fundamental de soluções da Equação 2 en tão em que c1 e c2 são constantes determinadas Afirmação 2 a solução geral da equação nãohomogênea 1 pode ser escrita na forma em que y1 e y2 constituem um con junto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente 2 c1 e c2 são números quaisquer e Y é uma solução particular da equação não homogênea 1 Em verdade de acordo com Cengel 2014 salientamos que a Afirmação 2 as sinala que para resolvermos a equação não homogênea 1 devemos proceder ao longo dos três passos descritos a seguir Passo 1 caracterizar a solução geral da equação homogênea correspondente Essa solução é chamada de solução complementar a qual denotaremos por yct Passo 2 descrever uma solução qualquer Yt da equação nãohomogênea Geralmente essa solução recebe o nome de solução particular Passo 3 adicionar as duas funções encontradas nas duas etapas anteriores Para aprofundarmos a nossa discussão com relação às equações não homo gêneas estaremos agora interessados em detalhar um método de busca para a solução particular Yt da equação não homogênea 1 que é chamado de método dos coeficientes indeterminados Veja a Figura 5 a seguir 130 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III FIGURA 5 MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Equações homogêneas Equações não homogêneas associadas Método dos coefcientes indeterminados Fonte Elaborada pelo autor 2019 Exemplo 11 Vamos caracterizar uma solução particular para a EDO nãohomogênea Solução em verdade estamos procurando uma função Y tal que Seja igual a 3e2t Sabemos que a função exponencial se reproduz na operação de derivação dessa forma é natural e razoável pensarmos em admitir que a função Yt seja um múltiplo de 3e2t ou seja que tenha a forma Em que devemos determinar o coeficiente A A fim de encontrarmos A te mos que e Daí substituindo na EDO dada obtemos Então de modo que Portanto uma solução particular para a EDO é dada por 131 MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 CÁLCULO III CONCLUSÃO Esta Unidade 6 objetivouse na descrição formal das EDOs de 2ª ordem Es tudamos que tais equações são usadas em modelos para caracterização de oscilações e vibrações bem como para a descrição da corrente elétrica em circuitos elétricos Inicialmente trabalhamos com os conceitos preliminares das EDOs de 2ª or dem desde a sua descrição com relação à linearidade à homogeneidade e com coeficientes constantes De outro modo para a resolução das equações de segunda ordem trabalha mos nas entrelinhas com as equações homogêneas com coeficientes cons tantes que se traduz com um simples aparato que relaciona uma equação matemática do segundo grau a qual é a equação característica Nessa direção temos três casos a considerar com base na equação característica duas raízes reais e distintas raízes complexas conjugadas e raízes reais e iguais cada uma traduzindo a solução geral com suas peculiaridades Além disso comentamos acerca do método dos coeficientes indeterminados que trabalham com a descrição de soluções de equações diferenciais de se gunda ordem não homogêneas EADMULTIVIXEDUBR CONHEÇA TAMBÉM NOSSOS CURSOS DE PÓSGRADUAÇÃO A DISTÂNCIA NAS ÁREAS DE SAÚDE EDUCAÇÃO DIREITO GESTÃO E NEGÓCIOS 132 LITERATURA BRASILEIRA I MULTIVIX EAD Credenciada pela portaria MEC nº 767 de 22062017 Publicada no DOU em 23062017 REFERÊNCIAS BARBONI Ayrton Cálculo e análise Cálculo diferencial e integral a uma variável Rio de Janeiro LTC 2013 CENGEL Y A Equações diferenciais Porto Alegre AMGH 2014 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v 3 HUGHESHALLETT D G et al Cálculo a uma e a várias variáveis volume 2 Rio de Janeiro LTC 2011 MORETTIN Pedro Alberto Cálculo funções de uma e várias variáveis 3 ed São Paulo Saraiva 2016 SILVA Paulo Sergio Dias da Cálculo diferencial integral 1 ed Rio de Janeiro LTC 2017 EADMULTIVIXEDUBR CONHEÇA TAMBÉM NOSSOS CURSOS DE PÓSGRADUAÇÃO A DISTÂNCIA NAS ÁREAS DE SAÚDE EDUCAÇÃO DIREITO GESTÃO E NEGÓCIOS