Trabalho de Dependência de Cálculo 3

TRABALHO DEPENDÊNCIA DE INVERNO CÁLCULO III NOME RA NOTA 1 valor 20 pontos Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por 2 valor 20 pontos Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e 3 valor 20 pontos Calcule a integral iterada 4 valor 20 pontos Calcule a integral de linha ao longo do caminho e 5 valor 20 pontos Calcule a integral de linha onde a curva C é dada C FÓRMULAS 1 n n n x dx x d 1 1 1 n C n x dx x n n 1 1 1 n C n x dx x n n C x senx dx cos C senx cos x dx 1 valor 20 pontos Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por fxy 2x3 xy2 5x2 y2 Primeiro achando pontos críticos gradiente zero 1 fx 6x2 y2 10x 0 2 fy 2xy 2y 0 y2x 2 0 i Se y 0 em 1 6x2 02 10x 0 x6x 10 0 x0 ou x 106 53 Pontos 00 530 ii Se 2x 2 0 x 1 em 1 612 y2 101 0 6 y2 10 0 y2 4 y 2 Pontos 12 12 Teorema 13 Teste da Segunda Derivada Seja f S ℝ2 ℝ um campo escalar com derivadas de segunda ordem contínuas numa bola aberta que contém um ponto estacionário ab de f Denote o determinante da matriz Hessiana em ab por D ou seja D fxx fxy fyx fyy fxx fyy fxy2 Nesse caso temse Se D 0 e fxxab 0 f tem um mínimo relativo em ab Se D 0 e fxxab 0 f tem um máximo relativo em ab Se D 0 é um ponto de sela de f fxx 12 2 0 Logo 12 é máximo 4 12 D 10 4 4 0 16 0 Logo 12 é ponto de sela 2 valor 20 pontos Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide Z 3x2 y2 e acima da região delimitada por y x e x y2 y Vamos determinar a região y x x y2 y Interseções y y2 y y2 2y 0 y 0 ou y 2 x 0 x 2 Logo Volume 02 y2 yy 3x2 y2 dx dy 02 3x2 y y33 y2 yy dx 02 y6 3y5 4y4 4y3 dy fx 6x2 y2 10x fy 2xy 2y fxx 12x 10 fyy 2x 2 fxy fyx 2y Logo Hessiana H 12x 10 2y 2y 2x 2 Vamos analisar ponto à ponto 1 00 D 10 0 0 2 20 0 fxx00 10 0 00 é mínimo 2 53 0 D 12 53 10 0 0 2 53 2 10 0 0 43 403 0 fxx53 0 12 53 10 10 0 53 0 é máximo 3 1 2 D 12 1 10 4 4 2 1 2 2 4 4 0 16 0 y77 y66 4y55 y4 02 277 262 4255 24 14435 3 valor 20 pontos Calcule a integral iterada 0π2 0y 0x cosx y z dzdxdy Por Fubini basta calcular 1 variável por vez 0π2 0y 0x cosxyz dz dx dy 0π2 0y senxyz0x dx dy 0π2 0y sen2xy senxy dx dy 0π2 cos2xy20y dy 0π2 cosxy0y dy 0π2 cos3y2 cosy2 dy 0π2 cos2y cosy dy sin3y6 siny2 sin2y2 siny0π2 sin3π26 sinπ22 sinπ2 sinπ2 16 12 1 16 12 26 13 4 valor 20 pontos Calcule a integral de linha C x2 dx y2 dy z2 dz ao longo do caminho C C1 C2 C1 000 a 121 e C2 121 a 320 Parametrizando C1 α1t t 2t t 0 t 1 C2 α2t 2t1 2 t1 0 t 1 C F d r C1 F d r C2 F d r I II I αt t 2t t αt 1 2 1 C1 x2 dx y2 dy z2 dz 01 t21 2t22 t21 dt 01 t2 8t2 t2 dt 01 8t2 dt 8 t33 01 83 II α2t 2t1 2 t1 αt 2 0 1 C2 x2 dx y2 dy z2 dz 01 2t122 220 t121 dt 01 8t2 8t 2 t2 2t 1 dt 01 9t2 6t 3 dt 3t3 3t2 3t01 9 Logo C x2 dx y2 dy z2 dz 9 83 353 5 valor 20 pontos Calcule a integral de linha C xy3 ds onde a curva C é dada C xt 4sen t yt 4cost zt 3t 0 t π2 Parametrização αt 4sent 4cost 3t αt 4cost 4sint 3 αt 4cost2 4sint2 32 16 cos2t sin2t 9 16 9 25 5 C x y3 ds 0π2 4 sent 43 cos3t 5 dt 1280 0π2 sent cos3t dt Tome u cost du sent logo 0π2 sent cos3t dt 10 u3 du 01 u3 du u4401 14 C x y3 ds 1280 14 320