Funções Vetoriais: Análise e Aplicações

Funções Vetoriais Apresentação Nesta unidade você vai conhecer as Funções vetoriais Neste tipo de função variam a magnitude a direção e o sentido e a taxa de variação é um vetor Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever curvas e suas projeções em planos coordenados Definir os parâmetros de interseções de superfícies Parametrizar círculos de raio r em um plano qualquer Desafio Dois caminhos r1 t e r2 t se intersectam se existe um ponto P qualquer pertencente às duas curvas E duas curvas r1 t e r2 t colidem se r1 t0 r2 t0 em algum instante t0 Determine se r1 e r2 colidem ou se intersectam r1 t t t2 t3 r2 t 4t 6 4t2 7 t Dica para encontrar soluções de equações de terceiro grau é possível usar aplicativos disponíveis na web Infográfico Muitas vezes dizse que as funções f x com valores reais são escalares para distinguilas das Funções vetoriais Acompanhe o conteúdo desta unidade de aprendizagem Conteúdo do livro Embora muitas técnicas do Cálculo a uma variável transportem para o contexto vetorial há um aspecto novo importante na derivada Uma função real ƒx só pode variar de uma de duas maneiras crescer ou decrescer Acompanhe um trecho da livro Cálculo de Rogawski base teórica desta unidade de aprendizagem Inicie sua leitura a partir do capítulo 14 Cálculo de Funções Vetoriais Boa leitura CÁLCULO JON ROGAWSKI VOLUME 2 R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 CÁLCULO DE FUNÇÕES VETORIAIS N este capítulo estudamos funções vetoriais e suas derivadas e as utilizamos para analisar curvas e movimento no espaço tri dimensional Embora muitas técnicas do Cálculo a uma variável transportem para o contexto vetorial há um aspecto novo impor tante na derivada Uma função real f x só pode variar de uma de duas maneiras crescer ou decrescer Diferentemente disso uma função vetorial pode variar não só na magnitude mas também na direção e no sentido e a taxa de variação não é só um número mas é ela mesma um vetor Para desenvolver esses novos con ceitos começamos com uma introdução a funções vetoriais 141 Funções vetoriais Considere uma partícula em movimento no e suponha que suas coordenadas no instante t sejam xt yt zt É conve niente representar a trajetória da partícula pela função vetorial O vetor rt aponta da origem à posição da partícula no instante t Figura 1 FIGURA 1 z y rt xt yt zt Trajetória da partícula x Mais geralmente uma função vetorial é qualquer função rt da forma 1 cujo domí nio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores posição A variável t é denominada parâmetro e as funções xt yt e zt são denominadas funções componentes ou coordenadas Em geral o domínio é simplesmente o conjunto de todos os valores de t para os quais rt está defi nida ou sejam todos valores de t que pertencem ao domínio das três funções coordenadas xt yt e zt Por exemplo Muitas vezes dizemos que as funções f x com valores reais são escalares para distinguilas das funções vetoriais A letra t é uma escolha conveniente de parâmetro e muitas vezes representa o tempo mas temos liberdade de escolher qualquer outra variável tal como s ou É melhor não escrever rx ou ry para evitar confusão com os componentes x e y de r A Matemática dos vôos espaciais é baseada no Cálculo Vetorial Nessa foto os astronautas Piers Sellers e Michael Fossum trabalham no sistema de manipulação remota do ônibus espacial 14 CAPÍTULO 14 Cálculo de Funções Vetoriais 721 Se os componentes de rt forem funções contínuas então à medida que variar t o ponto fi nal de rt traça um caminho em Dizemos que rt é uma parametrização ve torial desse caminho já o conjunto de todos os pontos xt yt zt com t no domínio de r é uma curva espacial A descrição de um caminho por uma função vetorial rt xt yt é equiva lente à descrição por uma curva parametrizada ct xt yt que foi estudada no Capítulo 12 A única diferença consiste em visualizar o caminho como sendo traçado por um vetor rt em movimento ou um ponto ct em movimento A forma ve torial rt é mais natural no contexto de derivadas vetoriais e por isso neste capítulo será usada em vez de ct Um caso especial de funções vetoriais foi tratado no Capítulo 13 quando estudamos parametrizações vetoriais de retas Lembre que a reta por de vetor dire tor tem a parametrização vetorial Em alguns casos é útil considerar as projeções sobre os planos coordenados A proje ção de sobre o plano xy é o caminho Figura 1 Analogamente as projeções sobre os planos yz e xz são os caminhos e respectivamente EXEMPLO 1 Hélice A curva traçada por é uma hélice Des creva essa curva e sua projeção sobre os planos coordenados Solução A projeção sobre o plano xy é o caminho que descreve um ponto em movimento antihorário em torno do círculo unitário A própria função rt descreve um ponto cuja projeção percorre o círculo enquanto a altura z t cresce line FIGURA 2 As projeções da hélice B A projeção sobre o plano xy A projeção sobre o plano xz A C A projeção sobre o plano yz z y pt rt 722 CÁLCULO armente com o tempo resultando na hélice da Figura 2 A projeção sobre o plano xz é o caminho que é uma onda em movimento ao longo do sentido z positivo Analogamente a projeção sobre o plano yz é a onda É importante distinguir entre o caminho rt e a curva espacial subjacente O caminho é uma maneira particular de percorrer a curva pode percorrer várias vezes a curva trocar de sentido de percurso ir para frente e para trás etc Por exemplo à medida que t varia de a o caminho percorre infi nitas vezes o círculo unitário à altura z 1 Figura 3 Em geral as curvas espaciais podem ser bem complicadas e difíceis de esboçar à mão Entretanto os computadores fornecem bons gráfi cos de perspectivas diferentes Figura 4 É conveniente traçar uma curva engordada para auxiliar a visualização como nas Figuras 4 e 5 mas não esqueça que as curvas espaciais são unidimensionais e não têm espessura y y y x x x z z z Lembre que qualquer curva pode ser parametrizada de infi nitas maneiras No exem plo seguinte descrevemos duas parametrizações bem diferentes da mesma curva EXEMPLO 2 Parametrização de interseção de superfícies Parametrize a interseção das superfícies e Figura 5 z z z y y y x z y x x x FIGURA 5 A interseção das superfícies e Solução Nosso objetivo é expressar as coordenadas de um ponto da curva como funções de um parâmetro t Resolvemos de duas maneiras esse problema Inicialmente resolve rt z y x 1 FIGURA 3 O caminho FIGURA 4 A curva com CAPÍTULO 14 Cálculo de Funções Vetoriais 723 mos y e z em termos de x As duas equações podem ser reescritas como e Assim Tomando t x como parâmetro obtemos Os dois sinais da raiz quadrada correspondem às duas metades da curva em que y 0 e y 0 Figura 6 Portanto precisamos de duas funções vetoriais para parametrizar toda a curva A parte da curva em que A parte da curva em que Obtemos uma segunda parametrização que é possivelmente melhor observando que a equação tem uma parametrização trigonométrica x 2 cos t y sen t A segunda equação fornece Assim podemos parametrizar toda a curva por meio de uma única função vetorial EXEMPLO 3 Parametrize o círculo de raio 3 centrado em P 2 6 8 situado num plano a paralelo ao plano xy b paralelo ao plano xz Solução Um círculo de raio R no plano xy centrado na origem tem parametrização Para colocar o círculo no espaço tridimensional usamos a parametriza ção a O círculo de raio 3 centrado na origem no plano xy tem uma parametrização Para mover esse círculo de maneira paralela até ter seu centro em P 2 6 8 transladamos pelo vetor b A parametrização nos dá um círculo de raio 3 centrado na origem no plano xz Para mover esse círculo de maneira paralela até ter seu centro em 2 6 8 transladamos pelo vetor Esses dois círculos aparecem na Figura 7 FIGURA 6 As duas metades da curva de interseção do Exemplo 2 724 CÁLCULO 2 6 8 2 6 8 y P x z 2 B A 6 8 y P x z 2 6 8 141 RESUMO Uma função vetorial é uma função da forma Costumamos pensar no parâmetro t como sendo o tempo e em rt como um vetor em movimento cujo ponto fi nal traça um caminho como função do tempo Dizemos que rt é uma parametrização vetorial do caminho Se os componentes xt yt e zt forem contínuos então o conjunto constituído dos pontos xt yt zt de com t no domínio de rt é denominado curva espacial Cada curva espacial pode ser parametrizada de infi nitas maneiras A projeção de rt sobre o plano xy é a curva traçada por A projeção sobre o plano xz é e a projeção sobre o plano yz é FIGURA 7 Os círculos horizontal e vertical de raio 3 e centro P 2 6 8 obtidos por translação Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor O vídeo a seguir traz informações sobre parametrizações trigonométricas comuns para resolução de problemas vinculados às Funções vetoriais Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Na prática Após o lançamento de um veículo espacial o acompanhamento externo do seu voo é realizado por estações de rastreamento localizadas em alguns pontos da Terra Os dados coletados são enviados a centros para análise No Brasil as estações de rastreio estão localizadas em Cuiabá MT e Alcântara MA que estão vinculadas ao Centro de Controle de Satélites CCS localizado em São José dos Campos Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Astronautas americanos fazem reparos na ISS Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Rastreio e controle de satélites do INPE Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar