Integração em Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas

Integração em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Apresentação A mudança de variáveis além de utilizada no cálculo integral de funções de uma variável é também muito útil no cálculo integral de funções de várias variáveis a valores reais Contudo há uma pequena diferença na ênfase de sua aplicação no caso de funções de uma variável o objetivo da mudança é simplificar o integrando ao passo que para as funções de várias variáveis o objetivo é simplificar o domínio de integração Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar mudanças de variáveis especiais úteis na integração de funções de várias variáveis São as coordenadas polares as coordenadas cilíndricas e as esféricas utilizadas respectivamente em um disco um cilindro e uma esfera por exemplo Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar as melhores variáveis para o desenvolvimento de uma integral múltipla se as coordenadas cartesianas se as polares as esféricas ou as cilíndricas Descrever o domínio de integração nas novas coordenadas escolhidas Desenvolver a integral nas novas coordenadas Desafio Algumas vezes nos deparamos com integrais duplas nas quais o integrando e a região de integração são expressos em coordenadas polares Algumas dessas integrais são mais fáceis de calcular em coordenadas polares do que em coordenadas retangulares De modo análogo algumas integrais triplas são mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas ou esféricas do que em coordenadas retangulares Neste Desafio você vai encontrar uma situaçãoproblema envolvendo esses sistemas de coordenadas Leandro e Luciano estão cursando a disciplina de cálculo Em uma das aulas o professor abordou as integrais múltiplas em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Porém ele sentiu dificuldades e então perguntou a Leandro Como é que eu sei quando posso calcular a integral direto e quando preciso usar mudança de variáveis Se eu optar pela mudança como é que eu sei qual devo usar se as polares as cilíndricas ou as esféricas Qual deve ser a resposta de Leandro supondo que ele respondeu corretamente as indagações de Luciano Infográfico As coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional em que cada ponto no plano é determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto fixo de referência que é chamado de polo No caso do espaço R3 há um esforço algébrico adicional ao tratamento geral da mudança de variáveis em integrais triplas Neste Infográfico você vai conhecer os três sistemas para integração em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Conteúdo do livro As coordenadas polares deformam um setor circular em um retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados Já as coordenadas esféricas deformam parte de uma esfera em um prisma com faces paralelas aos planos coordenados Para ambos os casos as integrais múltiplas tornamse triviais Acompanhe o trecho selecionado do livro Cálculo que aborda mudanças de coordenadas especiais em integrações múltiplas a mudança para as coordenadas polares as cilíndricas e as esféricas Inicie sua leitura no tópico Integração em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Bons estudos CÁLCULO 3ª EDIÇÃO VOLUME 2 R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski Colin Adams tradução Claus Ivo Doering 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 v 2 Editado também como livro impresso em 2018 ISBN 9788582604588 1 Matemática 2 Cálculo I Adams Colin II Título CDU 513 856 Cálculo ver Figura 16 Expresse W fx y z dV como uma integral iterada na ordem dz dy dx com uma função arbitrária Integrais duplas em coordenadas polares As coordenadas polares são convenientes quando o domínio de integração for um setor angular Capítulo 15 Integração múltipla 857 Cálculo 858 Capítulo 15 Integração múltipla 859 Expressando a integral em D em coordenadas polares obtemos a fórmula da mudança de variáveis seguinte Integrais triplas em coordenadas esféricas Vimos que a fórmula da mudança de variáveis em coordenadas cilíndricas é resumida pela equação simbólica dV r dr dθ dz Em coordenadas esféricas ρ θ φ introduzidas na Seção 127 o análogo é a fórmula dV ρ² sen φ dρ dφ dθ Resumimos a Equação 8 na expressão simbólica do elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas dV r dz dr dθ EXEMPLO 6 Integre fx y z z no sólido W da Figura 17 em forma de casquinha de sorte que fica acima do cone e abaixo da esfera Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor Para cada problema de integração devese analisar qual é o sistema de coordenadas mais adequado para a sua resolução porque em alguns casos será recomendado o uso das coordenadas polares mas em outros será mais adequado o uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas Para tanto é essencial analisar o domínio de integração e ver se se trata de uma integral dupla ou tripla Nesta Dica do Professor você vai acompanhar uma síntese das mudanças de coordenadas para integrais múltiplas e alguns exemplos Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 As coordenadas polares são convenientes quando o domínio de integração for um setor angular ou um retângulo polar Marque a alternativa que representa a integral de fxy x2 y2 no círculo unitário centro na origem e raio 1 A B C D E As integrais duplas polares também são chamadas de integrais duplas em coordenadas polares para distinguilas das integrais duplas em regiões no plano xy que são chamadas de integrais duplas em coordenadas retangulares 2 A B C D E As integrais duplas em coordenadas polares têm as propriedades usuais das integrais Às vezes uma integral dupla difícil de calcular em coordenadas retangulares pode ser calculada mais facilmente em coordenadas polares fazendo a substituição x r cos θ y r sen θ e expressando a região de integração em forma polar 3 A 8π B 4π C 4π D 2π E 0 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante ele pode ser usado para simplificar os estudos sobre integração múltipla Esse sistema surgiu da definição das coordenadas polares O sistema de coordenadas cilíndricas é utilizado para o espaço tridimensional Suas coordenadas são ρφz 4 A B C D E No cálculo integral o sistema de coordenadas esféricas é utilizado para fazer mudança de variáveis alterando o sistema de coordenadas cartesianas de xyz para rφθ Uma das aplicações da integração múltipla é no cálculo da massa total de sólidos 5 A 0 B 8π C 3π D 6π E 6π Na prática Muitas vezes é conveniente fazer uma mudança nas variáveis de integração de uma integral dupla ou tripla para facilitar o seu cálculo No caso das integrais triplas duas mudanças de variáveis são muito importantes e correspondem aos sistema de coordenadas cilíndrico e sistema de coordenadas esférico Este Na Prática apresenta a aplicabilidade das coordenadas esféricas em integrais triplas considerando que vários problemas têm simetrias e o uso destas coordenadas com certas simetrias pode simplificar muito a expressão do problema e a sua resolução Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Cálculo Sugerese a leitura do capítulo 14 de ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo recurso eletrônico Tradução Claus Ivo Doering 10 ed v 2 Porto Alegre Bookman 2014 Nele você estudará desde o conceito de integral definida para funções de duas e três variáveis até como essas integrais podem ser utilizadas para calcular áreas de superfícies e volumes de sólidos Você estudará a integração no espaço bidimensional e tridimensional identificandoa como uma ferramenta poderosa para resolver problemas práticos Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Integral tripla em coordenadas cilíndricas Neste vídeo o professor inicia com uma rápida revisão sobre o sistema de coordenadas cilíndricas para em seguida explicar como calcular integrais utilizando esse sistema de coordenadas Resgata como se dá a mudança de variáveis em integrais triplas de cartesianas para cilíndricas Você acompanhará a explicação por meio de diversos exemplos sempre visualizando a figura tridimensional no plano Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Integrais duplas em coordenadas polares Neste vídeo o professor inicia com uma rápida revisão sobre o sistema de coordenadas polares para em seguida explicar como calcular integrais utilizando esse sistema de coordenadas O professor traz algumas curiosidades sobre Carl Jacobi que em um de seus trabalhos estudou como se comportam as integrais em diferentes sistemas de coordenadas Você acompanhará a explicação de vários exemplos por meio da sua representação gráfica para que possa visualizar a região de interesse e como ocorre o cálculo da integral Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para 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