Integrais de Linha: Uma Introdução ao Estudo em R3

Integrais de linha Apresentação Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar a integração ao longo de curvas em R3 Essas integrais são conhecidas como integrais de linha Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir integrais de linha Reconhecer a diferença entre a integral de linha de uma função escalar e a de um campo vetorial F Resolver problemas envolvendo integrais de linha Infográfico Acompanhe o infográfico com o conteúdo abordado nesta Unidade de Aprendizagem Conteúdo do livro Acompanhe um trecho da obra Cálculo Volume 2 de Jon Rogawski que aborda as integrais de linha Boa leitura R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 930 CÁLCULO a Mostre que as curvas de nível de deveriam ser retas verticais b Mostre que as curvas de nível deveriam se afastar à medida que y cresce c Explique por que as conclusões de a e b são incompatíveis x y 05 1 15 2 1 FIGURA 12 33 Mostre que se para todo x y de um disco em então é constante em Sugestão dados pontos P a b e Q c d em seja R c b Figura 13 Use o Cál culo a uma variável para mostrar que é constante ao longo dos segmentos e e conclua que x y P a b Disco D R c b Q c d FIGURA 13 172 Integrais de linha Nesta seção introduzimos integração ao longo de curvas em Essas integrais são tradicionalmente denominadas integrais de linha embora o nome integrais curvilíne as fosse mais apropriado Como mencionamos na introdução deste capítulo defi nimos integrais de linha tanto de funções quanto de campos vetoriais A integral de linha de uma função f x y z ao longo de uma curva é denominada integral de linha escalar e é denotada por Todas integrais inclusive as integrais de linha são defi nidas como limites de somas de Riemann apropriadas Para defi nir a integral de linha escalar montamos uma soma de Riemann dividindo em N arcos consecutivos Figura 1 Denote por o comprimento do arco Dentro de cada arco escolhemos um ponto amostral e consideramos a soma de Riemann A integral de linha de f ao longo de é o limite se existir dessas somas de Riemann quando o máximo dos comprimentos tende a zero Partição de em N arcos menores C1 C2 Ci CN Escolha de pontos intermediários Pi em cada arco P1 P2 Pi PN FIGURA 1 A curva dividida em N arcos pequenos CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 931 Aqui escrevemos para indicar que o limite é tomado sobre todas somas de Riemann quando o máximo dos comprimentos tende a zero A integral de linha escalar é uma generalização da integral de comprimento de arco discutida na Seção 143 Se tomarmos a função constante f x y z 1 então todas somas de Riemann têm o mesmo valor e assim A defi nição dada na Equação 1 da integral de linha escalar como um limite é usada raramente ou nunca nas contas Como veremos a seguir as integrais de linha podem ser calculadas usando parametrizações da curva Neste capítulo vamos usar a notação ct xt yt zt para denotar um caminho em Essa notação foi utilizada na Seção 155 Pensamos em ct como sendo um ponto em movimento no espaço como uma função do tempo t A derivada é o vetor tangen te também denominado vetor velocidade Lembre que se então é tangente ao caminho aponta no sentido do movi mento e seu comprimento é a velocidade no instante t Agora suponha que tenha uma parametrização ct ao longo de com deri vada contínua Escolhemos uma partição do intervalo a b e seja a porção de parametrizada por ct ao longo de Figura 2 De acordo com a fórmula do comprimento de arco Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais existe um ponto intermediário em tal que Tomando como nosso ponto intermediário em vemos pela Equação 1 que O limite é tomado sobre todas partições quando o máximo dos comprimentos tende a zero Como as somas do lado direito são somas de Riemann para a integral obtemos a Equação 3 do teorema a seguir Além disso nossa prova não depende da es colha da parametrização Segue que podemos usar qualquer parametrização para calcular uma integral de linha escalar ct1 ct0 cti Pi cti ctN FIGURA 2 Uma partição da curva parametrizada ct A fórmula do comprimento de arco da Seção 143 afi rma que o comprimento de ao longo de é dado pela integral 932 CÁLCULO TEOREMA 1 Calculando uma integral de linha escalar Seja ct uma parametrização de uma curva ao longo de Suponha que f x y z e sejam contínuas Então O valor da integral do lado direito não depende da escolha da parametrização Para f x y z 1 obtemos o comprimento de Também observamos que se ct xt yt zt então e a integral de linha escalar pode ser escrita explicitamente como O símbolo ds é usado para sugerir o comprimento de arco s e é muitas vezes denominado elemento de linha ou diferencial de comprimento de arco Quando calculamos a inte gral de linha em termos de uma parametrização trocamos ds por EXEMPLO 1 Integração ao longo de uma hélice Calcule onde é a hélice ct cos t sen t t ao longo de Figura 3 Solução Passo 1 Calcular Temos portanto Passo 2 Escrever f ct e calcular a integral de linha Seja f x y z x y z Então Pela Equação 3 FIGURA 3 A hélice ct cos t sen t t 1 3 2 z x y CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 933 A integral de linha escalar pode ser usada para expressar a massa total de uma curva pense na curva como sendo um arame em termos da densidade de massa dada em unidades de massa por unidade de comprimento Para justifi car essa interpretação dividimos em N arcos de comprimento como antes Se for pequeno então a densidade de massa em é praticamente constante e a massa de é aproximadamente igual a onde é um ponto arbitrariamente escolhido em Figura 4 Assim temos a aproximação seguinte da massa total No limite quando o maior dos comprimentos tender a zero as somas da direita ten dem à integral de linha de e obtemos a Equação 5 EXEMPLO 2 Integral de linha escalar como massa total Um arame no formato da parábo la ao longo de tem densidade de massa em unidades de gramas por centímetro Encontre a massa total do arame Solução O arco de parábola é parametrizado por ao longo de Passo 1 Calcular Passo 2 Escrever f ct e calcular a integral de linha Agora usamos a substituição Então os novos limites de in tegração são u1 5 e u4 65 e A massa total do arame é aproximadamente 427 g A integral de linha vetorial Agora discutimos a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva denotada por Passamos a supor sempre que é liso ou seja os componentes são lisos e a menos de menção explícita ao contrário que a curva é lisa Falando intuitivamente a integral de linha vetorial é a integral do componente tan gencial do campo vetorial ao longo da curva Quando o contexto estiver claro nos refe rimos a uma integral de linha vetorial mais simplesmente como uma integral de linha Contudo existe uma diferença importante entre integrais de linha escalares e vetoriais Massa PiΔsi Δsi Pi y x2 y x FIGURA 4 Defi nimos as integrais de linha para funções de três variáveis A integral de linha para uma função de duas variáveis ao longo de uma curva em é defi nida e calculada de maneira análoga mas não aparece o componente z nas fórmulas 934 CÁLCULO para defi nir uma integral de linha vetorial devemos especifi car um sentido de percurso ao longo da curva Uma curva pode ser percorrida em um de dois sentidos e dizemos que está orientada se um desses sentidos foi especifi cado Esse é o sentido positivo ao longo da curva Figura 5 y x P Q ct x y P ca Q cb ct Caminho orientado de P a Q Um caminho orientado fechado Dada uma curva orientada no plano ou no espaço tridimensional seja T TP o vetor tangente unitário apontando no sentido positivo ao longo da curva Se F é um campo vetorial e P um ponto de então o produto vetorial representa o componen te tangencial de F ao longo de em P ou seja o comprimento da projeção de FP sobre TP Figura 6 Lembre que por ser temos onde é o ângulo entre FP e TP Quando P varia ao longo da curva defi ne uma função escalar em e a integral de linha escalar dessa função é a integral de linha vetorial de F DEFINIÇÃO Integral de linha vetorial Seja uma curva orientada e seja T o vetor tan gente unitário apontando no sentido positivo ao longo de A integral de linha de um campo vetorial F ao longo de é a integral do componente tangencial de F Como no caso escalar calculamos integrais de linha vetoriais usando parametriza ções Contudo no caso vetorial devemos escolher uma parametrização ct que percor ra no sentido positivo Também supomos que ct seja regular ou seja para Nesse caso é um vetor tangente nãonulo apontando no sentido positivo e o vetor tangente unitário é O componente tangencial de F em ct é e assim FIGURA 5 Uma curva orientada é uma curva com um sentido especifi cado O vetor tangente unitário varia de ponto a ponto ao longo da curva Quando for necessário destacar essa dependência escrevemos ou FIGURA 6 A integral de linha é a integral do componente tangencial de F ao longo de x y F T é o comprimento da projeção de F ao longo de T ca cb T T F T F CAPÍTULO 17 Integrais de Linha e de Superfície 935 TEOREMA 2 Calculando uma integral de linha vetorial Seja ct uma parametrização regu lar de uma curva orientada ao longo de A integral de linha de um campo vetorial F ao longo da curva é igual a EXEMPLO 3 Seja Calcule onde é parametrizada por ao longo de Solução Existem duas etapas no cálculo de integrais de linha Passo 1 Calcular o integrando O integrando é o produto escalar Passo 2 Calcular a integral de linha ENTENDIMENTO GRÁFICO Para reforçar o conceito de integral de linha como a integral do componente tangencial considere a integral de linha do campo vetorial em torno da elipse na Figura 7 Observe na parte A que o produto escalar é negativo em cada ponto ao longo da parte superior da elipse porque e o ângulo entre F e T é obtuso Portanto a integral de linha na parte A é negati va Analogamente na Figura 7B é positivo e a integral de linha é positiva A integral de linha em torno de toda a elipse na Figura 7C parece ser negativa porque os componentes tangenciais negativos da parte superior da elipse parecem dominar a contribuição positiva dos componentes tangenciais da parte inferior Isso será verifi ca do no exemplo seguinte Antes de continuar introduzimos mais uma notação padrão para a integral de linha de um campo vetorial É útil ver ds como um elemento vetorial de linha ou uma diferencial vetorial cuja expressão é quando escolhemos uma parametrização A integral de linha vetorial é a integral do produto escalar de F com o diferencial vetorial ds Dica do professor Acompanhe no vídeo a seguir uma síntese dos conceitos de integrais de linha Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Considere fxyz x yz e C o segmento de reta de 000 até 622 parametrizado por ct 6t2t2t ao longo de 0 t 1 O valor de é A B C D D E 3 Uma das aplicações da integral de linha escalar é no cálculo da massa total Marque a alternativa que contém a massa total em gramas de uma peça circular de arame de 4 cm de raio centrado na origem cuja densidade de massa seja A B 4 C D E 64 4 Marque a alternativa que contém A B C D E 5 Marque a alternativa que contém para F x2xy ao longo do segmento de reta de 00 a 22 A B 16 C D E Na prática Uma aplicação importante das integrais de linha em relação a x y e z é o problema de definir o trabalho efetuado por uma força variável movendo uma partícula ao longo de um caminho curvilíneo no espaço bi ou tridimensional Em muitas aplicações as forças variáveis surgem de campos de forças como campos gravitacionais ou eletromagnéticos Assim suponha que uma partícula se mova ao longo de uma curva lisa C sob o efeito de um campo de forças contínuo F e que C esteja orientado no sentido do movimento da partícula Então o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula é dado por Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Integral de Linha de Campo Vetorial Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Grings Integral de linha de função escalar Aula 7 Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar integrais de linha e aplicações Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar