Integrais Duplas em Regiões Mais Gerais: Definições e Aplicações

Integrais duplas em regiões mais gerais Apresentação As integrais duplas em regiões mais gerais são aquelas que ocorrem em domínios cujas fronteiras sejam curvas fechadas simples É importante destacar que uma curva é dita simples se não se autointersecta Nesta Unidade de Aprendizagem será abordado o cálculo destes tipos de integrais duplas Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir curvas fechadas simples e superfícies lisas Utilizar somas de Riemann para aproximar integrais cujos domínios sejam curvas simples fechadas e lisas Resolver integrais que necessitam troca da ordem de integração Desafio Marcelo é um aluno de Engenharia e está cursando a disciplina de Cálculo Nesta semana seu professor abordou as integrais duplas em regiões mais gerais Ele explicou que quando um domínio é simples tanto horizontal quanto verticalmente podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada de duas maneiras Em alguns casos uma integral iterada é mais fácil de calcular do que a outra Assim podemos trocar a ordem de integração e calcular o valor da integral Marcelo ficou confuso e questionou seu professor Escreva o que o professor pode ter respondido Infográfico No infográfico a seguir fica bastante clara a divisão dos domínios quando se fala em integrais duplas os horizontalmente simples e os verticalmente simples Conteúdo do livro A integral dupla de uma função fxy num domínio D geral pode ser definida em termos de integração de retângulos Para conhecer mais informações como esta acompanhe um trecho da obra Cálculo volume 2 de Jon Rogawski Inicie a leitura pelo item integrais duplas em regiões mais gerais Boa leitura CÁLCULO JON ROGAWSKI VOLUME 2 R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 867 47 Prove a extensão seguinte do TFC para duas variáveis se então onde 48 Seja Mostre que e então use o resultado do Exercício 47 para calcular no retân gulo 49 Encontre uma função Fx y satisfazendo e use o resultado do Exercício 47 para calcular no retân gulo 50 Neste exercício usamos integração dupla para calcular a integral imprópria seguinte em que a 0 é uma constante positiva a Use a regra de lHôpital para mostrar que mesmo não estando defi nida em x 0 a função pode ser torna da contínua associando o valor f 0 a 1 Em seguida use o teorema da comparação Teorema 5 da Seção 52 para mostrar que Ia converge Sugestão para x 1 b Mostre que c Prove trocando a ordem de integração que d Use o teorema da comparação para mostrar que o limite na Equação 4 é zero Sugestão se use para e se a 1 use para Conclua que Ia ln a Figura 21 FIGURA 21 4 x y 1 2 y ex e5x x Compreensão adicional e desafi os 162 Integrais duplas em regiões mais gerais Na seção precedente restringimos nossa atenção a domínios retangulares Agora tratamos de integrais duplas em domínios mais gerais cujas fronteiras sejam curvas fechadas simples uma curva é dita simples se não se autointersecta Vamos supor que seja fechado ou seja que contenha sua fronteira e que a fronteira seja lisa como na Figura 1A ou que tenha no máximo um número fi nito de pontos de nãodiferenciabilidade como na Figura 1B Uma curva de fronteira desse tipo é dita lisa por partes FIGURA 1 Curva de fronteira 868 CÁLCULO Defi niremos a integral dupla de uma função f x y num domínio geral em termos de integração em retângulos Escolha um retângulo contendo e defi na uma nova fun ção que coincida com f x y em e que seja zero fora de Figura 2 Então defi nimos a integral dupla em como a integral de em Dizemos que f é integrável em se existir a integral de em O valor da integral não depende da escolha de porque se anula fora de Essa defi nição parece razoável porque a integral de só pega os valores de f em No entanto existe uma possível difi culdade A função costuma ser descontínua na fron teira de porque seus valores pulam subitamente para zero quando cruzamos a fronteira O teorema seguinte que enunciamos sem prova nos diz que essas possíveis descontinui dades não afetam a integrabilidade de se f for contínua TEOREMA 1 Seja um domínio cuja fronteira seja uma curva simples fechada e lisa por partes Se f x y for contínua em então existe Podemos aproximar a integral dupla de f x y num domínio nãoretangular com somas de Riemann Escolhemos um retângulo contendo e subdividimos em MN subretângulos de tamanho usando uma partição regular como na Seção 161 Em seguida escolhemos um ponto amostral em cada Como a menos que esteja em a soma de Riemann reduz a uma soma daqueles pontos amos trais que estão em EXEMPLO 1 Sejam a região destacada na Figura 3 e f x y x y Aproxime calculando para usando a partição regular e os vértices superiores direitos dos quadrados como pontos amostrais Solução Os subretângulos na Figura 3 têm lados de comprimento e área Dos 16 pontos amostrais na Figura 3 somente sete estão em portanto FIGURA 2 A função é nula fora de FIGURA 3 x 05 1 15 2 05 1 15 2 y CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 869 As propriedades de linearidade da integral dupla permanecem válidas em domínios gerais Se f x y e gx y forem integráveis e C uma constante então Defi nimos a área de um domínio como a integral dupla da função constante f x y 1 Mais geralmente para qualquer constante C ENTENDIMENTO CONCEITUAL De acordo com a Equação 3 a área de um domínio é igual ao limite de somas de Riemann da função f x y 1 Pela Equação 2 tais somas de Riemann são obtidas cobrindo com uma grade de retângulos Figura 4 e somando as áreas daqueles retângulos que intersectam os retângulos na fronteira só são incluídos se o seu ponto amostral estiver em No Exercício 35 mostramos que no caso de uma região entre dois gráfi cos a Equação 3 fornece o mesmo valor para a área que uma integral simples FIGURA 4 A área de é aproximada pela soma das áreas dos retângulos que intersectam x y Δy Δx D Regiões entre curvas Quando o domínio for a região entre duas curvas podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada Uma região desse tipo é denominada simples Mais preci samente dizemos que é verticalmente simples se for a região entre os gráfi cos de funções contínuas e Figura 5 Analogamente é horizontalmente simples se x y x y y x x y y x A Uma região verticalmente simples a x b x y x y y x x a x b x y B Uma região horizontalmente simples c y d y x y c y d FIGURA 5 870 CÁLCULO TEOREMA 2 Se for uma região verticalmente simples descrita por em que e são contínuas então Se for uma região horizontalmente simples descrita por então Demonstração Vamos dar um esboço da prova Suponha que seja verticalmente sim ples o caso horizontalmente simples é análogo Seja um retângulo contendo Então Por defi nição é zero fora de portanto para x fi xado é nula a menos que y satisfaça Desse modo Substituindo na Equação 5 obtemos a igualdade procurada A integração numa região simples é análoga à integração num retângulo com uma diferença os limites da integral de dentro podem ser funções em vez de constantes EXEMPLO 2 Calcule onde é a região na Figura 6 Solução Podemos descrever como uma região verticalmente simples Passo 1 Montar a integral iterada Embora possa não ser contínua podemos justifi car o uso do Teorema de Fubini na Equação 5 Em particular existe a integral e é uma função contínua de x FIGURA 6 A região A integral de dentro na Equação 6 é a integral de ao longo do segmento vertical entre as curvas em x D x y y 6 x2 y 2 x2 1 x 3 O segmento vertical 2 x2 y 6 x2 2 6 CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 871 Passo 2 Calcular a integral de dentro Como de costume calculamos a integral de dentro tratando x como constante só que agora os limites de integração dependem de x Passo 3 Concluir o cálculo EXEMPLO 3 Integração numa parte do círculo Calcule onde é a região destacada do semicírculo de raio 2 na Figura 7 Solução O domínio pode ser descrito como uma região horizontalmente simples Essas desigualdades nos dão os limites de integração Calculamos a integral de dentro tratando y como uma constante A integral dupla é igual a EXEMPLO 4 Calculando um volume Encontre o volume V da região entre o plano z 2x 3y e o plano xy que fi ca acima do triângulo destacado na Figura 8 Solução A base triangular é a região horizontalmente simples O volume v é a integral de z 2x 3y em FIGURA 7 x y 0 x 4 y2 2 1 y 2 FIGURA 8 872 CÁLCULO Quando um domínio é simples tanto horizontal quanto verticalmente podemos ex pressar a integral dupla como uma integral iterada de duas maneiras Em alguns casos uma integral iterada é mais fácil de calcular do que a outra EXEMPLO 5 Escolhendo a melhor integral iterada Calcule com dado na Figura 9 D D é um domínio verticalmente simples 0 x 4 x2 y 2 B A y 2 y 2 y 2 x x 4 D D é um domínio horizontalmente simples 0 y 2 0 x 2y 0 x 2y x 2y y y 2 x x 4 y x 2 x 2 Solução Primeiro tentemos descrever como um domínio verticalmente simples Usan do a Figura 9A obtemos A integral de dentro não pode ser calculada porque não temos antiderivada explícita para Portanto tentamos descrever como horizontalmente simples Figura 9B Isso nos leva a uma integral iterada que sabemos calcular EXEMPLO 6 Trocando a ordem de integração Esboce o domínio de integração que corresponde a Em seguida troque a ordem de integração e calcule o valor da integral Solução Os limites de integração nos dão as desigualdades que descrevem o domínio Pelo esboço de na Figura 10 vemos que também pode ser expresso como uma região verticalmente simples FIGURA 9 A região é horizontal e verticalmente simples FIGURA 10 Descrevendo como uma região horizontal ou verticalmente simples y x2 ou x y y x 3 1 y x2 y y 9 1 x x 1 3 CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 873 portanto podemos reescrever a integral e calcular O valor médio de uma função f x y num domínio é defi nido por Observe que a integral de f x y em tem o mesmo valor que a integral da função cons tante Figura 11 FIGURA 11 EXEMPLO 7 Calculando o valor médio Um arquiteto precisa saber a altura média do teto de um pagode cuja base é o quadrado e o teto é o gráfi co de Figura 12 Sendo as distâncias medidas em pés encontre essa altura média Solução Primeiro calculamos a integral de Hx y em LEMBRETE A Equação 7 é análoga à defi nição de um valor médio em uma variável FIGURA 12 Um pagode de teto 874 CÁLCULO A área de é 8 8 64 portanto a altura média do teto do pagode é No exemplo precedente a média fi cou entre a altura mínima H 0 e a altura máxima H 32 De acordo com a primeira parte do teorema seguinte é válido em geral que o valor médio fi que entre os valores mínimo e máximo da função em seu domínio A segunda parte nos diz que a integração preserva a ordem de funções f e g tais que em TEOREMA 3 Sejam f x y e gx y funções integráveis em Suponha que para cada Então Se para cada então Demonstração Primeiro provamos 9 Se então cada soma de Rie mann para f x y é menor do que ou igual à soma de Riemann de g correspondente Obtemos 9 tomando o limite Agora suponha que e aplique 9 com gx y M Isso prova uma metade da Equação 8 A outra metade decorre analogamente De acordo com o Teorema do Valor Médio para Integrais Seção 62 se f x for uma função contínua com valor médio em a b então existe tal que Uma afi rmação análoga é válida para funções de duas ou mais variáveis num domínio desde que seja fechado limitado e conexo Por defi nição dizemos que um domínio é conexo se dois quaisquer de seus pontos podem ser ligados por uma curva inteiramente contida em Figura 13A O domínio na Figura 13B é desconexo Ver o Exercício 72 para uma prova do TVM para integrais duplas TEOREMA 4 Teorema do valor médio para integrais duplas Se f x y for contínua e for fechado limitado e conexo então existe um ponto tal que Equivalentemente onde é o valor médio de f em Se for um domínio desconexo consistindo em dois ou mais subdomínios delimitados por curvas fechadas simples como na Figura 13B então a integral é defi nida como a soma das integrais nos subdomínios FIGURA 13 Domínio conexo quaisquer dois pontos podem ser ligados por uma curva inteiramente contida em D A B Domínio desconexo P Q P Q D CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 875 Decomposição de um domínio em domínios menores As integrais duplas são aditivas em relação ao domínio se for uma união de domínios que não se intersectam exceto possivelmente em curvas de fronteira Figura 14 então A aditividade pode ser usada para calcular integrais duplas em domínios que não sejam simples mas que possam ser decompostos num número fi nito de domínios simples Terminamos essa seção com uma observação elementar que será útil adiante Se f x y for uma função contínua num domínio pequeno então em que P é um ponto amostral qualquer em De fato pelo TVM para integrais é pos sível escolher P de tal maneira que 11 valha com igualdade Se for pequeno então f é quase constante em e 11 vale como uma boa aproximação para todo Se o domínio não for pequeno podemos particionálo em N subdomínios menores e escolher pontos amostrais em Pela aditividade e assim obtemos a aproximação Observe que a Equação 12 é uma generalização da aproximação por soma de Riemann No caso de somas de Riemann os são retângulos de área EXEMPLO 8 Dê uma estimativa de para o domínio da Figura 15 usando as áreas e os valores funcionais dados ali e na tabela seguinte Solução 162 RESUMO Seja um domínio cuja fronteira seja uma curva fechada simples que é lisa ou tem um número fi nito de bicos Para defi nir a integral de f x y em escolhemos um retângulo contendo e defi nimos FIGURA 14 A região é uma união de domínios menores D1 D2 D3 DN Em geral a aproximação 11 só é útil se for pequeno em termos de largura e comprimento ou seja se couber num círculo de raio pequeno Se tiver área pequena mas for muito comprido e fi no então pode ser que f esteja longe de ser constante FIGURA 15 D1 D2 D4 D3 P1 P2 P4 P3 Dica do professor Acompanhe no vídeo a seguir uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem o que pode ajudar na resolução dos exercícios já que aborda alguns exemplos do cálculo de forma detalhada Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Calcule as somas de Riemann para fxy x y e o domínio D da figura abaixo escolhendo os pontos como pontos amostrais e marque a alternativa que contém a aproximação da integral de f em D A 3 B 3 C 1 D 2 E 4 2 As integrais múltiplas são utilizadas para calcular muitas quantidades importantes tais como volumes áreas de superfície centros de massa entre outros Suponha que uma lâmina na forma da região delimitada por y x1 e y 0 ao longo de 1 x 4 tem densidade de massa ρ xy yx Marque a alternativa que contem a massa total da lâmina A 164 B 1564 C 1564 D 14 E 154 3 Seja D o domínio definido por 0 x 1 x2 y 4 x2 Marque a alternativa que contém o resultado da integral A 403 B 203 C 103 D 203 E 43 4 Em alguns cálculos envolvendo integrais duplas é necessário esboçar o domínio D e trocar a ordem de integração para que tenhamos uma integral iterada que sabemos calcular Considere a integral troque a ordem de integração e marque a alternativa que contém o valor da integral A B C D e1 E 5 Considere a região D representada na figura abaixo Marque a alternativa que contém o valor da integral dupla na região D dada na figura A cos1 cos2 B cos1 cos2 C cos1 cos2 D sen1 sen2 E cos2 Na prática O cálculo das áreas sempre foi um problema presente na matemática No entanto figuras irregulares exigem cálculos mais complexos para determinar suas áreas Assim o método mais indicado é o das integrais duplas em regiões mais gerais Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Me Salva ITD03 Integral Dupla Regiões não retangulares exemplo 1 Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo 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