Integrais Múltiplas: Conceitos e Aplicações

Integração em várias variáveis Apresentação As aplicações das integrais simples são estendidas para as integrais de funções em várias variáveis as integrais múltiplas Estas facilitam o cálculo de várias grandezas como volumes áreas de superfícies centros de massa probabilidades e valores médios Nesta Unidade de Aprendizagem você irá estudar integrais múltiplas seus significados e o princípio de seus cálculos Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir integrais duplas e estender esse conceito para integrais múltiplas Descrever áreas de regiões planas e volumes de sólidos por integrais múltiplas Modelar matematicamente situaçõesproblema que possam ser expressas por integrais múltiplas Infográfico Existem muitas semelhanças entre as integrais duplas e as integrais simples Podemos mencionar algumas delas i as integrais duplas são definidas como limites de somas e ii as integrais duplas são calculadas usando o teorema fundamental do cálculo mas é necessário aplicálo duas vezes No entanto uma diferença importante é o fato de que o domínio de integração é potencialmente mais complicado no caso de várias variáveis Neste Infográfico você vai conhecer o caso mais simples em que o domínio é um retângulo Conteúdo do livro Todo corpo pode ser parametrizado por suas coordenadas do sistema em que está imerso Uma lâmina plana por exemplo pode ser parametrizada por suas coordenadas xy do sistema cartesiano ortogonal Um ponto xy muito importante dessa lâmina é o seu centro de massa Seu significado físico é que essa lâmina se comporta como se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa Dessa forma é possível mantêla em equilíbrio horizontal enquanto esta se encontra apoiada somente pelo seu centro de massa O conceito de centro de massa estendese para corpos parametrizados no espaço tridimensional e é possível calculálo com o auxílio das integrais múltiplas O trecho selecionado do livro Cálculo possibilita o estudo da integração de funções em muitas variáveis apresenta um método para seu cálculo e também algumas aplicações Inicie sua leitura a no tópico Integração em várias variáveis Boa leitura R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA A integral de uma função de várias variáveis é denomina da integral múltipla Neste capítulo defi nimos integrais múltiplas e desenvolvemos técnicas para calculálas Também discutimos algumas de suas aplicações Assim como a integral defi nida em uma variável as integrais múltiplas são usadas para calcular muitas quantidades importantes e variadas tais como volumes áreas de superfície centros de massa proba bilidades e valores médios 161 Integração em várias variáveis Nas três primeiras seções deste capítulo estudamos integração de funções f x y de duas variáveis Uma integral de f x y é denominada integral dupla Há muitas semelhanças entre integrais duplas e as integrais simples com que nos acostumamos Integrais duplas e simples são ambas defi nidas como li mites de somas de Riemann Uma integral dupla representa volume com sinal exatamente como uma integral simples representa área com sinal Calculamos integrais duplas usando o Teorema Fundamental do Cálculo TFC mas precisamos aplicálo duas vezes ver a discussão de integrais iteradas adiante Integrais duplas podem ser aproximadas usando métodos numéricos análogos aos das regras de aproximação de integrais simples pela esquerda direita e ponto médio Uma característica importante no caso de várias variáveis é que o domínio de inte gração desempenha um papel mais destacado O domínio de integração de uma integral simples é um intervalo a b mas em duas variáveis o domínio é uma região do plano com uma curva de fronteira mais geral Figura 1 Nesta seção restringimos nossa atenção ao caso mais simples em que é um retân gulo deixando os domínios mais gerais para discutir na Seção 162 A notação denota o retângulo Figura 2 consistindo em todos os pontos x y tais que Conforme já mencionamos a integral dupla é um limite de somas de Riemann Para formar uma soma de Riemann escolhemos inteiros positivos N e M e partições dos inter valos a b e c d Sejam e as larguras dos subintervalos defi nidos por essas partições Então subdividimos em NM subretângulos cuja área denotamos por Figura 3B No contexto de integração múltipla costumamos nos referir à integral defi nida de uma função f x de uma variável como uma integral simples FIGURA 1 O volume de uma região entre o gráfi co de z f x y e seu domínio A mina de urânio Ranger no Parque Nacional Kakadu na Austrália O volume de minério removido é um tipo de quantidade que é expressa por uma integral múltipla 16 856 CÁLCULO Dizemos que a partição é regular se ambos intervalos a b e c d estiverem subdivi didos em subintervalos de mesma largura Em outras palavras a partição é regular se e onde O retângulo R a b c d x y c d a b R Criamos uma grade N M de subretângulos M linhas N colunas Δx Δy y c d a xi 1 yj 1 xi yj b Rij Escolhemos um ponto amostral Pij em cada subretângulo Pij xij yij y c d a b FIGURA 3 Em seguida escolhemos um ponto amostral em cada subretângulo Figura 3C e construímos uma caixa de altura acima de como na Figura 4B Essa caixa tem um volume com sinal A Em uma variável uma soma de Riemann aproxima a área debaixo da curva por uma soma de áreas de retângulos C A soma de Riemann é a soma dos volumes das caixas B O volume da caixa é onde FIGURA 4 Aqui por defi nição o volume com sinal de uma região é positivo se fi car acima do plano xy e negativo se fi car abaixo do plano xy Se a caixa se estende abaixo do pla FIGURA 2 CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 857 no xy e o volume com sinal é negativo A soma de Riemann é a soma dos volumes com sinal das caixas Figura 4C Esse somatório duplo deve ser tomado sobre todos i e j tais que e num total de NM parcelas As somas de Riemann fornecem aproximações do volume com sinal da região entre o gráfi co de z f x y e o plano xy Elas são uma generalização natural das apro ximações retangulares da área dadas pelas somas de Riemann no caso de uma variável Figura 4A Sejam o conjunto de extremidades da partição e o máximo dos comprimentos Quando tende a zero as caixas fi cam mais fi nas e aproxi mam melhor os volumes com sinal Figura 5 Portanto é de se esperar que quando tender a zero convirja ao volume com sinal debaixo do gráfi co Observe que ambos N e M tendem a quando A defi nição precisa do limite é como segue As somas de Riemann tendem a um limite L quando se para cada existir um tal que para qualquer partição satisfazendo e quaisquer escolhas de pontos amostrais C A Nesse caso escrevemos Esse limite L se existir é denominado a integral dupla de f x y ao longo de Fi gura 6 e é denotado por DEFINIÇÃO Integral dupla num retângulo A integral dupla de f x y ao longo do retângu lo é defi nida como o limite Se existir esse limite dizemos que f x y é integrável em Lembre que uma soma de Riemann depende da escolha da partição e dos pontos amostrais Seria mais correto escrever mas escrevemos para simplifi car a notação FIGURA 5 As aproximações pelo ponto médio do volume debaixo de FIGURA 6 A integral dupla é o volume com sinal entre a superfície z f x y e o plano xy ao longo do retângulo R 858 CÁLCULO EXEMPLO 1 Obtendo uma estimativa de uma integral dupla Calcule para a integral onde Figura 7 Use a partição regular e as escolhas de pontos amostrais seguintes a vértice inferior esquerdo b ponto médio do retângulo Solução As Figuras 8 e 9 mostram uma grade 3 2 de subretângulos do retângulo Como usamos a partição regular cada subretângulo tem lados de comprimento e área A soma de Riemann correspondente é a Se usarmos os vértices inferiores à esquerda mostrados na Figura 8 a soma de Riemann é FIGURA 8 Os pontos amostrais são os vértices inferiores à esquerda de cada quadrado x 1 15 2 25 1 15 2 y FIGURA 9 Os pontos amostrais são os centros de cada quadrado x y 5 4 7 4 9 4 5 4 7 4 b Usando os pontos médios dos retângulos mostrados na Figura 9 obtemos EXEMPLO 2 Calcule onde Solução O gráfi co de z 8 2y é o plano mostrado na Figura 10 A integral dupla repre senta o volume V de um sólido de comprimento cuja seção transversal vertical é um triângulo de altura 8 e base 4 portanto área O volume desse sólido é Portanto FIGURA 7 O gráfi co de z xy R 25 FIGURA 10 O gráfi co de z 8 2y CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 859 O teorema seguinte afi rma que funções contínuas são integráveis A demonstração é análoga ao caso de uma variável e a omitimos TEOREMA 1 Funções contínuas são integráveis Se f x y é contínua num retângulo então f x y é integrável em Como no caso de uma variável muitas vezes utilizamos as propriedades de lineari dade da integral dupla Essas propriedades decorrem da defi nição da integral dupla como um limite de somas de Riemann TEOREMA 2 Linearidade da integral dupla Suponha que f x y e gx y sejam integrá veis num retângulo Então i ii para qualquer constante C Se f x y C for uma função constante então Nesse caso a integral dupla é o volume com sinal da caixa de base e altura C Figura 11 EXEMPLO 3 Usando a simetria Use simetria para justifi car onde Solução A integral dupla é o volume com sinal da região entre o gráfi co de e o plano xy Nossa função satisfaz portanto a região abaixo do plano xy em que cancela a região acima do plano xy onde Figura 12 Integrais iteradas Nossa principal técnica para calcular integrais duplas tem por base o TFC como no caso de uma variável Para usar o TFC precisamos primeiro expressar a integral dupla como uma integral iterada Uma integral iterada é uma expressão do tipo Ela é calculada em duas etapas Primeiro mantemos x constante e calculamos a integral de dentro em relação a y Em seguida integramos a função Sx resultante em relação a x FIGURA 11 A integral dupla de f x y C no retângulo é FIGURA 12 Observe que a integral de dentro especifi ca os limites de integração da variável y enquanto que a integral de fora especifi ca os limites da variável x 860 CÁLCULO EXEMPLO 4 Calcule Solução Primeiro calculamos a integral de dentro tratando x como uma constante Então integramos Sx em relação a x Se uma integral iterada for escrita com dx precedendo dy então integramos primeiro em relação a x Aqui para deixar claro incluímos as variáveis nos limites de integração da integral itera da do lado direito EXEMPLO 5 Calcule Solução Calculamos a integral de dentro tratando y como uma constante EXEMPLO 6 Invertendo a ordem de integração Verifi que que Solução Ambas integrais têm o valor 20 Muitas vezes omitimos os parênteses na notação de uma integral iterada A ordem das variáveis em dydx nos diz para integrar primeiro em relação a y entre os limites y c e y d CAPÍTULO 16 Integração Múltipla 861 O exemplo precedente ilustra um fato geral o valor de uma integral iterada não de pende da ordem em que efetuamos a integração Isso é parte do Teorema de Fubini Mais importante do que isso o Teorema de Fubini garante que uma integral dupla ao longo de um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor A integração em várias variáveis está presente em diversas situações cotidianas É importante que além de dominar a definição desse tipo de integração você também consiga visualizar a sua aplicabilidade Para tanto é essencial retomar conceitos anteriores como o estudo das coordenadas polares e da integração simples Nesta Dica do Professor você vai verificar uma aplicação detalhada da integração em várias variáveis o cálculo de uma massa de lâminas Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Na prática Muitas vezes estudamos os procedimentos de cálculos necessários para trabalhar com integrais múltiplas duplas e triplas sem evidenciar um aspecto muito importante que são as aplicações possíveis para esses dispositivos de cálculo e análise Entre as aplicações estão o cálculo da massa de um corpo e sua respectiva densidade o centro de massa o momento de inércia e cargas elétricas Neste Na Prática veja a aplicabilidade das integrais múltiplas em situaçõesproblema envolvendo minérios como o ferro o ouro e a prata A mineração sempre foi uma atividade exercida pela humanidade Minérios como o ferro o ouro e a prata sempre foram alvo de interesses comerciais trazendo muito lucro aos seus proprietários Nesta situação as integrais múltiplas auxiliam no cálculo de várias grandezas tais como probabilidade de certa região possuir ouro o volume de minério encontrado e o valor médio da produção Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Cálculo No Capítulo 14 desta obra você vai estudar o conceito de integral definida para funções de duas e três variáveis Conhecidos os métodos básicos para integrar funções de duas e três variáveis você vai ver como essas integrais podem ser usadas para determinar massas e centros de gravidade de chapas planas e sólidos tridimensionais além de diversas outras aplicações Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Área como integral dupla Neste vídeo o professor apresenta a área como integral dupla explicando como encontrar a área de regiões planas usando integrais duplas Você vai acompanhar a explicação por meio da sua representação gráfica de modo que possa visualizar a região de interesse e ver como a integral é construída Diversos conceitos são retomados e são dadas dicas importantes para facilitar a compreensão do conteúdo em discussão Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Integrais duplas Neste vídeo você vai ver como resolver uma integral dupla por meio de um exemplo detalhado São dadas dicas importantes de modo que você consiga resolver o problema com os conhecimentos mais básicos de integração Por meio de representações gráficas conceitos fundamentais para o seu desenvolvimento são retomados e o passo a passo de sua resolução vai sendo explicitado a cada etapa A proposta é que você consiga visualizar o que deve ser feito e a motivação da forma de resolução Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar