Teorema de Green: Uma Perspectiva sobre Integrais de Linha e Dupla

Teorema de Green Apresentação O Teorema de Green fornece uma nova perspectiva a respeito das integrais de linha Nesta Unidade de Aprendizagem conheceremos mais sobre este teorema que expressa a circulação de um campo vetorial F como uma integral dupla Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Enunciar o Teorema de Green Reconhecer a importância do Teorema de Green na análise vetorial Utilizar o Teorema de Green na resolução de problemas Desafio Maria está cursando a disciplina de Cálculo Nesta semana seu professor abordou o Teorema de Green um dos três principais teoremas da Análise Vetorial Ele explicou que este teorema expressa a circulação de um campo vetorial F qualquer como uma integral dupla Ele explicou ainda que a quantidade que aparece na integral dupla é chamada Frotacional escalar Maria compreendeu como calcular essa integral dupla mas sempre que possível gosta de visualizar os conceitos que aprende em aula então questionou seu professor Professor o que representa o rotacional Existe algum tipo de interpretação geométrica para esta quantidade Escreva o que o professor pode ter respondido Infográfico Acompanhe o infográfico com o conteúdo abordado nesta Unidade de Aprendizagem destacando a relação entre a integral em linha e a integral em dupla além de identificar a rotacional Conteúdo do livro O Teorema de Green é um caso específico do Teorema de Stokes Este teorema tem o nome originado do matemárico que o demonstrou pela primeira vez o britânico George Green em 1828 Para conhecer em detalhes este teorema acompanhe um trecho da obra Cálculo Volume 2 de Jon Rogawski Inicie sua leitura pelo título Teorema de Green R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577804115 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 517 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ANÁLISE VETORIAL N este capítulo fi nal estudamos os três teoremas principais da Análise Vetorial os teoremas de Green de Stokes e da Di vergência Esse é um fechamento adequado para o texto porque cada um desses teoremas é uma generalização vetorial do Teo rema Fundamental do Cálculo Assim neste capítulo apresenta mos uma conclusão do nosso esforço para estender os conceitos e métodos do Cálculo a uma variável ao contexto de várias va riáveis Contudo longe de ser um ponto fi nal a Análise Vetorial é um portão de entrada para as teorias de campo da Matemática Física e da Engenharia Essas incluem em primeiríssimo lugar a teoria de eletricidade e magnetismo conforme expressas pe las famosas leis de Maxwell Também incluem a Dinâmica de Fluidos Aerodinâmica Análise de Sólidos e num nível mais avançado teorias físicas fundamentais como a Teoria Geral da Relatividade e a Teoria das Partículas Elementares 181 Teorema de Green O Teorema de Green fornece uma nova perspectiva a respeito das integrais de linha Na Seção 173 provamos que a circulação de um campo vetorial gradiente ao longo de uma curva fechada é igual a zero O Teorema de Green expressa a circulação de um campo vetorial F qualquer como uma integral dupla que não precisa ser nula se o campo F não for gradiente Antes de enunciar o Teorema de Green vamos recordar a notação para integrais de linha introduzida na Seção 172 A integral de linha de ao longo de uma curva orientada C é denotada por A diferencial simbólica Pdx Qdy é interpretada em termos de uma parametrização como segue Se ct xt yt parametriza C no sentido de sua orientação ao longo de então usamos as relações simbólicas para expressar a integral de linha como uma integral simples em relação a t Lembre que circulação é um outro nome para a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada A disputa de um praticante de rafting com o campo vetorial de velocidades de um vórtice turbulento do rio Kananaskis na província de Alberta Canadá 18 988 CÁLCULO O integrando do lado direito é de modo que isso coincide com nossa defi nição anterior da integral de linha Para enunciar o Teorema de Green lembre que uma curva fechada simples é uma curva fechada C que não se intersecta Nesse caso C delimita um domínio D Figura 1 Vamos supor que C tem uma parametrização ct tal que existe e é contínua exceto por no máximo um número fi nito de valores de t nos quais os componentes de podem ter descontinuidades de salto e C pode ter um bico Há duas maneiras de orientar C os sentidos horário e o antihorário Dizemos que o sentido antihorário dá a orientação de fronteira Quando percorremos C no sentido antihorário o domínio D delimitado por C fi ca à nossa esquerda Escrevemos para denotar a fronteira C com a orientação de fronteira TEOREMA 1 Teorema de Green Seja D um domínio cuja fronteira é uma curva fe chada com orientação de fronteira Se Px y e Qx y são diferenciáveis e têm deriva das parciais de primeira ordem contínuas então Lembre que se então Nesse caso o Teorema de Green simplesmente confi rma o que já sabemos que a circulação de um campo gradiente ao longo de uma curva fechada é nula Demonstração Uma prova completa do Teorema de Green para um domínio arbitrário está fora do alcance deste livro Para ilustrar a idéia básica vamos proválo para um domínio D como o da Figura 2 cuja fronteira pode ser descrita tanto pela união de dois gráfi cos y f x e y gx com quanto pela união de dois gráfi cos e com A Equação 1 no Teorema de Green se divide em duas igualdades separadas uma em termos de P e a outra em termos de Q De fato pela aditividade Portanto o Teorema de Green decorre da prova de Para provar a Equação 2 escrevemos a integral de linha como uma soma onde é o gráfi co de y gx e é o gráfi co de y f x orientadas como a Figura 2 Parametrizamos os gráfi cos da esquerda para a direita usando x como parâmetro Como está orientada da direita para a esquerda a integral de linha ao longo de é a diferença das integrais ao longo de e FIGURA 1 A fronteira do domínio D é uma curva fechada simples C orientada no sentido antihorário x y C D D FIGURA 2 A curva de fronteira é a união dos gráfi cos de y gx e y f x orientada no sentido antihorário x y C1 gráfico de y gx C2 gráfico de y fx D a b c d CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 989 Agora temos e assim O passo crucial é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo a como uma função de y com x mantido constante Obtemos a Equação 2 substituindo a integral à direita na Equação 4 A Equação 3 pode ser provada de maneira análoga expressando como a união dos gráfi cos de e EXEMPLO 1 Conferindo o Teorema de Green Verifi que a validade do Teorema de Green para a integral de linha onde C é o círculo unitário orientado no sentido antihorário Figura 3 Solução Passo 1 Calcular a integral de linha Usamos a parametrização padrão do círculo unitário O integrando do lado direito passa a ser FIGURA 3 O campo vetorial x 1 1 y 990 CÁLCULO e Passo 2 Calcular a integral dupla Nesse exemplo e Q x portanto A integral dupla no Teorema de Green é calculada ao longo do domínio delimitado por C que é o disco D defi nido por Por simetria a integral de 2xy em D é nula porque as contribuições de x positivo e negativo se cancelam isso também pode ser verifi cado diretamente Portanto Passo 3 Comparar Ambas a integral de linha e a dupla têm o mesmo valor portanto verifi camos o Teorema de Green nesse caso É conveniente denominar a quantidade que aparece na integral dupla do Teorema de Green de rotacional ou rotacional escalar Para escrevemos Observe o subscrito z em Na próxima seção defi niremos a quantidade vetorial rotF para campos vetoriais em Nossa quantidade escalar é o componente z do vetor rotacional Com essa notação podemos escrever o Teorema de Green como EXEMPLO 2 Calculando uma integral de linha usando o Teorema de Green Use o Teorema de Green para calcular onde C é o caminho triangular da Figura 4 Solução Aplicamos o Teorema de Green a LEMBRETE Para integrar usamos a identidade FIGURA 4 A região D é dada por D C x y 2 2 CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 991 O domínio D delimitado pelo triângulo é dado por e assim Aplicando o Teorema de Green ao campo vetorial chegamos a uma fór mula interessante para a área da região D delimitada por uma curva fechada simples C Figura 5 Nesse caso P y Q x e Obtivemos a fórmula Uma aplicação prática dessa relação é o planímetro que é um instrumento que calcula a área de uma região irregular quando traçamos a fronteira com uma ponta na extremidade de um braço móvel Figura 6 O princípio matemático do planímetro é a Equação 5 Essa extremidade do planímetro está fixada Joelho flexível Essa extremidade do planímetro traça o formato EXEMPLO 3 Calculando uma área com o Teorema de Green Calcule a área da elipse usando uma integral de linha Solução Parametrizamos a fronteira da elipse por e calculamos a área usando a Equação 5 FIGURA 5 A integral de linha é igual ao dobro da área delimitada por C x y D C FIGURA 6 A Equação 5 é a fundamentação do planímetro um instrumento mecânico usado para medir a área de regiões irregulares 992 CÁLCULO Essa é a fórmula conhecida da área de uma elipse ENTENDIMENTO CONCEITUAL O que representa a quantidade Para responder essa questão apliquemos o Teorema de Green a uma pequena região R cuja fronteira seja uma curva fechada simples Como R é pequena e F é contínuo é praticamente constante em R e numa primeira aproximação podemos substituir a função pelo valor constante onde P é um ponto arbitrariamente escolhido em R Figura 7 Pelo Teorema de Green obtemos a aproximação Em outras palavras a circulação numa região R pequena é numa aproximação de primeira ordem igual ao rotacional vezes a área Podemos interpretar como a circulação por unidade de área ENTENDIMENTO GRÁFICO Mais geometricamente podemos pensar no rotacional como uma medida da tendência de girar de um campo vetorial Para tornar precisa essa idéia pen semos em F como o campo de velocidades de um fl uido As partículas do fl uido fl uem ao longo de curvas denominadas curvas integrais ou linhas de fl uxo que são tangentes ao campo vetorial em cada ponto Podemos medir o rotacional num ponto P colocando uma rodinha de pás na corrente em P e observar quão rápido ela gira Figura 8 Para justifi car essa afi rmação suponha que a rodinha de pás tenha raio r e seja o círculo de raio r centrado em P Cada pá na rodinha é forçada a girar ao longo do círcu lo e é empurrada para se mover a uma velocidade igual ao componente tangencial de F Podemos supor que a própria rodinha gire com uma velocidade igual à média dos componentes tangenciais ao longo do círculo A média é igual à circulação dividida pelo comprimento do círculo De acordo com o que vimos no Entendimento Conceitual se r for pequeno então a circulação é aproximadamente igual a vezes a área do círculo Assim obtemos Agora se um objeto se mover num círculo com velocidade sua velocidade angular em radianos por unidade de tempo é Assim a velocidade angu lar da rodinha de pás é aproximadamente igual à metade do rotacional As Figuras 9AC mostram campos vetoriais com rotacional nãonulo O campo vetorial em A tem rotacional positivo e descreve um fl uido girando no sentido antihorá rio em torno da origem O campo vetorial em B tem rotacional negativo e descreve um fl uido espiralando para a origem no sentido horário Contudo um rotacional nãonulo não signifi ca que o fl uido esteja girando mas só que uma rodinha de pás giraria se fosse colo cada no fl uido O fl uido na Figura 9C não gira embora tenha rotacional nãonulo esse é um exemplo de um fl uxo de cisalhamento também conhecido por fl uxo de Couette Compare com os campos vetoriais das Figuras 9D e E que têm rotacional nulo FIGURA 8 O rotacional em P é aproximadamente igual à metade da velocidade angular em radianos por unidade de tempo de uma rodinha de pás colocada em P P r P Velocidade angular Um arco de metros mede radianos num círculo com r metros de raio Portanto um objeto que se mova pelo círculo a uma velocidade de v metros por segundo percorre radianos por segundo Em outras palavras é a velocidade angular do objeto FIGURA 7 A circulação de F ao longo de é aproximadamente R R P y x CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 993 FIGURA 9 x y A F y x rotzF 2 B F y x x y rotzF 2 C F y 0 rotzF 1 D F y x rotzF 0 E F x y rotzF 0 x y x y x y x y A circulação ao longo de uma curva fechada tem uma propriedade aditiva importante se decompusermos um domínio D em dois ou mais domínios e que se intersectem apenas em partes de suas fronteiras como na Figura 10 então Para conferir a validade dessa equação observe inicialmente que com e como na Figura 10 Em seguida observe que o segmento tracejado aparece tanto em quanto em mas com sentido de percurso oposto Com orientado da direia para a esquerda D D Calto Cmeio Cmeio Cbaixo D1 D2 FIGURA 10 994 CÁLCULO Obtemos a Equação 6 somando essas equações Forma mais geral do Teorema de Green O Teorema de Green permanece válido quando D for uma região cuja fronteira consis ta em mais de uma curva fechada simples como na Figura 11 desde que orientemos a fronteira da maneira correta Cada curva de fronteira deve ser orientada de tal modo que a região fi que à nossa esquerda quando percorrermos a curva no sentido especi fi cado Escrevemos para a fronteira de D com essa orientação de fronteira Para os domínios da Figura 11 A curva aparece com um sinal de menos por estar orientada no sentido antihorário quando a orientação de fronteira exige uma orientação horária A A fronteira orientada de D1 é C1 C2 B A fronteira orientada de D2 é C1 C2 C3 D2 C1 C2 C3 D1 C1 C2 FIGURA 11 Com essa defi nição de o Teorema de Green toma a forma Essa forma geral do Teorema de Green pode ser provada usando aditividade Considere a região D na Figura 12 Podemos decompor D em domínios e cada um dos quais é limitado por uma curva fechada simples Então porque as arestas comuns a e ocorrem com orientações opostas que portanto se cancelam Nossa versão anterior do Teorema de Green é aplicável a ambas regiões e e assim As integrais de linha ao longo desses pares de arestas tracejadas se cancelam D D1 D2 D FIGURA 12 A fronteira de é a soma porque as arestas retas se cancelam CAPÍTULO 18 Teoremas Fundamentais da Análise Vetorial 995 EXEMPLO 4 Usando a forma geral do Teorema de Green O domínio D na Figura 13 tem área 8 Calcule onde e é a curva da fronteira exterior de D com orientação antihorária Solução Não podemos calcular a integral de linha ao longo de diretamente porque a curva não foi especifi cada Contudo de modo que pelo Teorema de Green ou Calculamos cada uma das integrais do lado direito Temos e portanto Para calcular a integral de linha ao longo de parametrizamos o círculo por Então As integrais de e ao longo de são ambas nulas logo Assim a Equação 8 fornece 181 RESUMO Temos duas notações para a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva C FIGURA 13 D tem área 8 e é um círculo de raio 1 x y 1 D C2 C1 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor Acompanhe no vídeo a seguir uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem o que pode ajudar na resolução dos exercícios O foco principal está na apresentação de alguns exemplos e considerações relevantes quanto ao desenvolvimento do Teorema de Green Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Exercícios 1 Utilize o teorema de Green e marque a alternativa que contém o valor de Considere C a fronteira do quadrado unitário Use a orientação antihorária A 1 B 0 C 2 D 1 E 3 2 Utilize o teorema de Green e marque a alternativa que contém o valor de Considere C o círculo unitário centrado na origem Use a orientação antihorária A B C D E 3 A partir do Teorema de Green podemos concluir que a área delimitada por um caminho C é igual a Considere C o círculo de raio 3 centrado na origem utilize o Teorema de Green e marque a alternativa que contém a área de C A B C D E 4 Utilize o Teorema de Green e marque a alternativa que contém o valor da integral Considere C a fronteira da região compreendida por y x2 e y x e suponha que C seja orientada no sentido antihorário A B C D E 1 5 Utilize o teorema de Green e marque a alternativa que contém o valor da integral Use a orientação antihorária A 0 B 1 C D Na prática Aplicando o Teorema de Green ao campo vetorial podemos concluir que a área delimitada por um caminho C é igual a A integral de linha é igual ao dobro da área delimitada por C Uma aplicação prática desta relação é um instrumento chamado planímetro Ele calcula a área de uma região irregular quando traçamos a fronteira com uma ponta na extremidade de um braço móvel conforme mostra a figura a seguir Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Cálculo Volume 2 Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Grings Teorema de Green Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar