Área de Superfície de Revolução - Cálculo Integral e Aplicações

Integral Definida Área de uma Superfície de Revolução Área de Superfície de Revolução Introdução Quando rotacionamos uma região plana em torno de um determinado eixo nós obtemos um sólido de revolução A figura abaixo ilustra um sólido desse tipo A superfície desse sólido é também chamada de superfície de revolução Área de Superfície de Revolução Introdução Antes de calcular a área de uma superfície de revolução genérica vamos analisar a área de uma superfície conhecida Considere um cone circular reto ilustrado na figura abaixo Área de Superfície de Revolução Introdução Se planificamos a superfície desse cone encontramos algo como ilustra a figura abaixo Dos conhecimentos de Geometria Espacial sabemos que a área lateral desse cone será dada por A πrg Área de Superfície de Revolução Introdução Vamos agora considerar um tronco de cone de raio maior R e raio menor r Sabemos que a área lateral desse tronco de cone é dada por A π r R g Área de Superfície de Revolução Introdução Façamos então a divisão do sólido de revolução genérico em pequenos troncos de cone como ilustra a figura abaixo Do triângulo retângulo em destaque segue que tg α g² Δx² Δx Área de Superfície de Revolução Introdução Lembrando que tg α fx podemos escrever que tg α g² Δx² Δx 1 fx² Δx g Sendo assim a área lateral desse tronco de cone será dada por Ā 2πfx 1 fx² Δx Área de Superfície de Revolução Introdução Vamos dividir o intervalo a b no qual o sólido está posicionado em n partes de modo que x₀ a e xₙ b Em cada subintervalo xᵢ xᵢ₁ de comprimento Δxᵢ xᵢ₁ xᵢ vamos tomar xᵢ o seu ponto médio A área de cada tronco de cone será dada por Aᵢ 2πfxᵢ1 fxᵢ²Δxᵢ Somandose todas essas áreas teremos uma aproximação para a área da superfície do sólido No limite quando o maior Δxᵢ tende para zero essa soma tenderá para a área da superfície do sólido desejado A lim max Δxᵢ 0 ⁿ¹ᵢ₀ 2πfxᵢ1 fxᵢ²Δxᵢ ₐᵇ 2πfx1 fx² dx Área de Superfície de Revolução Procedimento Considere um sólido S obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada entre o gráfico da função f e o eixo x no intervalo a b sendo fx 0 nesse intervalo e f possuindo derivada contínua A área da superfície de S será dada por A ₐᵇ 2πfx1 fx² dx Área de Superfície de Revolução Exercício Exemplo 1 Calcule a área da superfície de uma esfera de raio 2 uc Podemos enxergar essa esfera como sendo o resultado da rotação em torno do eixo x da circunferência dada pela equação x² y² 4 Área de Superfície de Revolução Exercício Considerando apenas o primeiro quadrante podemos escrever que y 4 x² com 0 x 2 Fazendo y fx a área da superfície dessa esfera pode ser calculada por A 2 ₀² 2π fx 1 fx² dx Calculando a derivada de fx obtemos que fx x 4 x² Área de Superfície de Revolução Exercício Desse modo temos que A 2 ₀² 2π 4 x² 1 x 4 x²² dx 4π ₀² 4 x² 4 4 x² dx 4π ₀² 2 dx 4π 2x₀² 16π ua unidade de área Área de Superfície de Revolução Exercício Exemplo 2 Calcule a área da superfície do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada entre o gráfico de fx x² e o eixo x no intervalo 0 12 Área de Superfície de Revolução Exercício A área da superfície será dada A ₀¹₂ 2π fx 1 fx² dx 2π ₀¹₂ x² 1 2x² dx Faremos a substituição trigonométrica tg u 2x e sec² u 2 dx Para x 0 temos que u 0 Por outro lado para x 12 temos que u π4 Desse modo podemos escrever que A 2π ₀π4 18 tg² u sec³ u du π4 ₀π4 sec⁵ u sec³ u du Área de Superfície de Revolução Exercício Desse modo podemos escrever que A π4 sec³ u tg u 4 18sec u tg u ln sec u tg u₀π4 π32 32 ln 2 1 ua unidade de área Área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y fx com a x b em torno do eixo x Área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva x gy com c y d em torno do eixo y Resumo Área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva x gy com c y d em torno do eixo y Área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y fx com a x b em torno do eixo x Exemplo 1 Calcular o valor da área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y x em torno do eixo x com 0 x 1 wwwfiapcombr RESOLUÇÃO Para calcular a área de uma superfície de revolução com rotação em torno do eixo x aplicamos a fórmula A 2π ab fx 1 fx2 dx 1º Obtemos fx derivamos fx y x fx x12 fx 12 x12 1 12 x12 12 1x12 12x Portanto fx x e fx 12x 2º Calculamos a área da superfície de revolução A 2π ab fx 1 fx2 dx A 2π 01 x 1 12x2 dx A 2π 01 x 1 14x dx A 2π 01 x 4x 14x dx A 2π 01 x 4x 14x dx A 2π 01 x 4x 14 x dx MN MN MN M N A π 01 4x 112 dx Preparação para a substituição Integração por substituição u 4x 1 u dudx 4 du 4dx dx du4 derivamos isolamos dx Para x 0 temos u 40 1 u 1 Para x 1 temos u 41 1 u 5 Assim A π 0 to 1 4x112 dx π4 1 to 5 u12 du4 π4 1 to 5 u12 du π4 u1211211 to 5 π4 u32321 to 5 π4 23 u321 to 5 π6 u23 u131 to 5 π6 u u 1 to 5 π6 5 5 1 1 π6 55 1 Resposta A π6 55 1 ua 533 ua FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA Exemplo 2 A curva y 4 x² é um arco do círculo x² y² 4 Calcular o valor da área da superfície de revolução gerada pela rotação desse arco em torno do eixo x para 1 x 1 wwwfiapcombr RESOLUÇÃO A 2π a to b fx 1 fx² dx 1º Obtemos fx fx 4 x² fx 4 x²12 f un f nun1u fx 124 x²12 14 x² fx 124 x²120 2x fx 12 14 x²12 2x fx x 4 x² fx xn f nxn1 fx kx f k fx K f 0 zero 2º A 2π a to b fx 1 fx² dx 2π 1 to 1 4 x² 1 x4 x²² dx 2π 1 to 1 4 x² 1 x²4 x² dx 2π 1 to 1 4 x² 4 x²4 x² dx 2π 1 to 1 4 x² 44 x² dx 2π 1 to 1 4 x² 44 x² dx 2π 1 to 1 2 dx 2π 1 to 1 2 x0 dx 4π 1 to 1 x0 dx 4π x0101 from 1 to 1 4π x from 1 to 1 4π 1 1 4π 2 8π Área 8π ua 2513 ua un du un1n1 c n 1 FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA Exercícios wwwfiapcombr 1 Determine área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do eixo dos x da curva dada por 4 x 4 4 x 1 y 2 Determine a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do eixo Oy da curva dada por x y³ 0 x 1 3 Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva y 2x³ com 0 x 2 em torno do eixo Ox 4 Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva x y com 1 y 4 em torno do eixo Oy 5 Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva com 0 x 1 em torno do eixo Ox x2 4 y 6 Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva y 4x com 0 x 2 ao redor a do eixo Ox b do eixo Oy Respostas 1 2 3 4 5 6 ua 17 17 3 128 2 2π ua 1 27 10 10 π ua 1 54 577 577 π ua 5 5 6 17 17 π 17π ua 4 b 16 17π ua a 4 ua