Introdução as Equações Diferenciais - Conceitos e Soluções

Equações Diferenciais Introdução Equações Diferenciais Uma equação diferencial é uma equação envolvendo uma função desconhecida y fx e uma ou mais de suas derivadas A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que aparece na equação Equações Diferenciais Denominamos uma função f uma solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita verificada ao substituirmos y fx e suas derivadas na equação Resolver uma equação diferencial significa achar todas as possíveis soluções da equação que constituem uma família de soluções que denominamos solução geral da equação Equações Diferenciais Ordinárias são equações que envolvem funções de uma variável Exemplos 1 A solução geral da equação y 3x2 1 é y x3 x k k constante o que se constata facilmente derivando esta função 2 A solução geral da equação y y é a família de funções y kex k constante De fato a derivada dessa função é y kex y 3 A solução geral da equação y y 0 é a família de funções y csenx kcosx c k constantes Derivando a função temos y ccosx ksenx Derivando novamente y csenx kcosx csenx kcosx y y y 0 Equações Diferenciais Lineares Forma geral das Equações Diferenciais Lineares de 1a ordem y Pxy Qx Forma geral das Equações Diferenciais Lineares de 2a ordem y f1xy f2xy Qx Forma geral das Equações Diferenciais Lineares de ordem n yn f1xyn1 f2xyn2 fn1xy fnxy Qx Se Qx 0 as equações diferenciais lineares são denominadas Equações Diferenciais Lineares Homogêneas Equações separáveis Uma equação de 1ª ordem separável tem a forma y gxhy da equação geral a solução temos as integrais Calculando gx dx k k constante dy hy 1 obtemos já integrando e com a variável x na direita os termos e com a variável y na esquerda os termos deixando as variáveis dx separamos partir de dy A gxhy dx dy como os a equação Reescrevem a Resolva a equação diferencial fx 15x² 8x 7 Resposta Fx 5x³ 4x² 7x C b Resolva a equação diferencial fx 6x² x 5 sujeita à condição inicial f2 5 Resposta Fx 2x³ x²2 5x 3 Exemplo 1 Exemplo 1 a Resolve a equação diferencial fx 15x2 8x 7 Resolução fx 15x2 8x 7 dydx 15x2 8x 7 dy 15x2 8x 7 dx dy 15x2 8x 7 dx yo dy 15x2 8x 7xo dx yo101 C1 15x2121 8x1111 7x0101 C2 y11 C1 15x33 8x22 7x C2 y C1 5x3 4x2 7x C2 y 5x3 4x2 7x C2 C1 y 5x3 4x2 7x C3 FUNÇÃO CONTROLE y 5x3 4x2 7x K Portanto a solução geral da EDO fx 15x2 8x 7 é fx 5x3 4x2 7x K b Resolva a equação diferencial fx 6x2 x 5 sujeita à condição inicial f2 5 Resolução dydx 6x2 x 5 dy 6x2 x 5 dx dy 6x2 x 5 dx y 2x3 x22 5x k Solução geral da EDO f2 5 x2 y5 5 223 222 52 k 5 16 2 10 k 5 8 k 3 k K 3 y 2x3 x22 5x 3 Solução particular da EDO sujeito à condição f2 5 MRUV Movimento Retilíneo Uniformemente Variado aceleração constante MRUV 2 ²t a V t S t S ta V t V Δt ΔV a o o o Equação Horária da Velocidade no MRUV Equação Horária do Espaço no MRUV a aceleração t tempo V t velocidade da partícula no instante t Vo velocidade da partícula no instante t 0 velocidade inicial S posição da partícula no instante t So posição da partícula no instante t 0 posição inicial Obter a derivada parcial de 1a ordem na variável t das seguintes funções Exemplo 2 at V Vt b 2t² a V t S St a o o o a t V dt dV Vt b ta V V t ta V t S dt dS St a Respostas o o Exemplo 2 Obter a derivada parcial de 1a ordem na variável t das seguintes funções a St So Vot a2 t2 b Vt Vo at Resolver as seguintes equações diferenciais na variável t Exemplo 3 V t ta V t S dt dS St b a t V dt dV Vt a o 2t² a V t S St b at V a Vt Respostas o o o Exemplo 3 Resolver as seguintes equações diferenciais na variável t a Vt dVdt Vt a bSt dSdt St Vo at Vt b Vt Vo at ΔSΔt dSdt Vo at ds Vo at dt ds Vo at dt So ds Vo t0 a t1 dt S Vo t a t22 k St Vo t a2 t2 k solução geral da EDO Para t 0 temos S0 Vo 0 a2 02 k S0 k k So St Vo t a2 t2 So St So Vo t a2 t2 Uma partícula em MRUV com aceleração de 6ms² inicia seu movimento com velocidade de 25ms na posição 10m do percurso Utilizando a técnica da diferenciação uso de equações diferenciais determine a a equação horária da velocidade b a equação horário do espaço Exemplo 4 3t² 25t 10 St b 6t 25 a Vt Respostas Exemplo 4 Uma partícula em MRUV com aceleração de 6ms² inicia seu movimento com velocidade de 25ms na posição 10m do percurso Utilizando a técnica da diferenciação uso de equações diferenciais determine a a equação horária da velocidade b a equação horária do espaço Resolução 1º MODO a VtV₀ at Vt 25 6t Vt 6t 25 b St vo sot ½ a t² St 25 10t ½ 6t² St 25 10t 3t² Resolução a Equação horária da velocidade a6ms² a6 ΔvΔt6 Δt0 dVdt6 dV6dt dV6dt V6tk Notamos que kV0 De acordo com o enunciado V025 ms Portanto kV025 ms Assim Vt 6t 25 b Equação horária do espaço a6ms² a6 ΔvΔt6 Δt0 dVdt6 dV6dt dV6dt V6tk e kV025 ms Vt 6t 25 ΔsΔt 6t 25 Δt0 dsdt 6t 25 ds 6t 25 dt ds 6t 25 dt S 63 t³ 25t c e c S0 10m St 3t³ 25t 10 Um fabricante de componentes eletrônicos para computadores constata que o custo marginal R da produção de n unidades do componente é dado por 30 002n Se o custo da produção de uma unidade é R 3500 determine a a função Custo b o custo de produção de 1000 unidades Exemplo 5 R 2000501 b 501 30n 001n² a Cn Respostas Exemplo 5 Limitenatamente de componentes eléctricos para componentes consumíveis tem o seu custo marginal RS da produção de n unidades de componentes é dado por Cₘ 30 002n Se o custo da produção de uma unidade é RS 3500 determine a a função Cₙ b o custo da produção de 1000 unidades Resolução a 1º Cₘ ΔCΔn 30 002n Δn0 dCdn 30 002n dC 30 002n dn dC 30 002n dn CdC 30n 002n² dn Cₙ1 k₁ 30nₙ1ₙ1 002nₙ1²ₙ1 k₂ C 1 30n¹1 002n²2 k₂ k₁ Cn 30n 001n² k SOLUÇÃO GERAL EDO 2º C1 35 n1 CR 3500 Cn 30n 001n² k C1 301 0011² k 35 30 001 k k 501 Cn 30n 001n² 501 Cn 001n² 30n 501 Solução particular de EDO sujeito à condição C1 35 b C1000 0011000² 301000 501 C1000 R 2000501 Exemplo 6 anos 1962 Resposta As 10 maiores reservas nacionais de gás natural Rússia Irã Catar Turquemenistão Estados Unidos Arabia Saudita Emirados Árabes Venezuela Nigéria e Argélia No ranking geral de reservas provadas de gás natural o Brasil ocupa o 31º lugar A Nigéria estima sua reserva em 100 bilhões de metros cúbicos de gás natural atualmente Se Ct denota o total de gás consumido após t anos então dCdt é a taxa de consumo O modelo matemático que projeta a taxa de consumo é 5 001t bilhões de metros cúbicos por ano Nesse caso qual o tempo aproximado em anos em que as reservas estarão esgotadas Exemplo 6 As 10 maiores reservas nacionais de gás natural Rússia Irã Catar Turquemenistão Estados Unidos Arábia Saudita Emirados Árabes Venezuela Nigéria e Argélia No ranking geral de reservas provadas de gás natural o Brasil ocupa o 31º lugar A Nigéria estima sua reserva em 100 bilhões de metros cúbicos de gás natural atualmente Se Ct denota o total de gás consumido após t anos então dCdt é a taxa de consumo O modelo matemático que projeta a taxa de consumo é 5 001 t bilhões de metros cúbicos por ano Nesse caso qual o tempo aproximado em anos em que as reservas estarão esgotadas Resolução 1º ΔCΔt Δt0 dCdt 5 001t Taxa de consumo no tempo dc 5 001t dt dc 5 001t dt Cdc 5t¹ 001t² dt CI k1 5tI 001 t²2 k2 C 5t 0005t² k2 k1 Ct 0005t² 5t k Consumo no tempo Solução geral da EDO 2º t 0 C 100 bilhões de m³ 100 00050² 50 k k 100 Ct 0005t 5t 100 Solução particular da EDO sujeita à condição C0 100 3º t C 0 0 0005t² 5t 100 0005t² 5t 100 0 Δ b² 4ac 5² 4 0005 100 25 2 27 t b Δ 2a 5 27 2 0005 5 51961 001 t 1019 62 não convém t 1962 anos FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS wwwfiapcombr Um minifoguete SPACE CUP é lançado para cima de um ponto situado 45m acima do solo e com velocidade inicial de 30ms Desprezando a resistência do ar determine por meio da diferenciação aceleração gravitacional 98ms² a a distância do foguete ao solo após t segundos b o intervalo de tempo durante o qual o foguete sobe c o instante em que o foguete atinge o solo e a velocidade do foguete nesse instante Exercício 1 Resolução a St 49t2 30t 45 b Vt 98t 30 0 98t 30 98t 30 t 306 c St 49t2 30t 45 0 49t2 30t 45 49t2 30t 45 0 Δ 302 44945 900 882 1782 t 30 1782 249 30 4221 98 t 125 não convém t 737 Vt 98t 30 V737 98737 30 V737 4223 ms Uma indústria fornecedora de componentes para o setor automobilístico estima que o custo marginal de fabricação de x unidades é dado por 20 0015x Se o custo de fabricação de uma unidade é de US 2500 determine a a função Custo b o custo de produção de 500 unidades Exercício 2 Resolução a 19 CM 20 0015x ΔCΔx 20 0015x Δx 0 Podemos iniciar aqui dCdx 20 0015x dC 20 0015xdx dC 20 0015xdx C 20x 0015x22 k Cx 00075x2 20x k SG da EDO 2º C1 25 25 0007512 201 k k 50075 Cx 00075x2 20x 50075 SP da EDO b C500 000755002 20500 50075 C500 U 813001 Com base em estatísticas do Departamento de Energia dos EUA a taxa de consumo de gasolina nos EUA em bilhões de galões por ano é modelada por dAdt 274 011t 001t² com t 0 correspondente ao ano 2010 At representa o consumo no momento t Estime a variação do consumo de gasolina em galões entre 2017 e 2020 Exercício 3 Resolução 19 dCdt 274 011t 001t2 dC 274 011t 001t2dt dC 274 011t 001t2dt C 274t 011t22 001t33 k Ct 0013t3 0112t2 274t k Solução geral da EDO 2º 2017 t 7 C7 001373 011272 2747 k C7 153416 k bilhões de galões de gasolina 2020 t 10 C10 0013103 0112102 27410 k C10 1856 k bilhões de galões de gasolina VARIAÇÃO DE CONSUMO ENTRE 2017 e 2020 ΔA A10 A7 1856 k 153416 k 1856 k 153416 k RESPOSTA 323 bilhões de galões de gasolina A aceleração gravitacional próximo da superfície da Lua é de cerca de 162ms² a Se um astronauta joga uma pedra a 15m do solo diretamente para cima com uma velocidade inicial de 20ms determine a altura máxima atingida b Se após sua volta à Terra o astronauta lança a mesma pedra a 15m do solo diretamente para cima com a mesma velocidade inicial determine a altura máxima atingida Exercício 4 FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA wwwfiapcombr Respostas 4213m s V736 736s t c 3s t b 49t² 30t 45 St a 1 US 813001 b a Cx 50075 20x 00075x² 2 de gasolina de galões bilhões 323 em do consumo Aumento 3