Lista de Matemática Fazer

Lista 2 Matematica 4 Professor Mateus Figueira Exercıcio 1 Determine uma equacao para o plano tangente a superfıcie no ponto especificado 1 z 2x2 y2 5y em 1 2 4 2 z x 22 2y 12 5 em 2 3 3 3 z y2ex em 0 3 9 Exercıcio 2 Dado que uma funcao f e diferenciavel f2 5 6 fx2 5 1 e fy2 5 1 use uma aproximacao linear para estimar f22 46 Exercıcio 3 Explique por que a funcao e diferenciavel no ponto dado A seguir encontre a linearizacao Lx y da funcao naquele ponto 1 fx y x3y2 em 2 1 2 fx y y tanx em π4 2 3 fx y y senxy em 0 3 Exercıcio 4 Use a regra da cadeia para achar dzdt 1 z xy3 x2y em que x t2 1 e y t2 1 2 z x y x 2y em que x eπt e y eπt Exercıcio 5 Determine z s e z s de duas maneiras Usando a Regra da cadeia e substituindo as expressoes de x e y de modo que se escreva z como uma funcao de s e t As suas respostas coincidem 1 z x2 y2 em que x 2s 3t e y s t 2 z x2seny em que x s2t e y st Exercıcio 6 Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas a z x4 x2y x s 2t u y stu2 Encontre z s z t z u quando s 4 t 2 e u 1 b T v 2u v u pqr v pqr Encontre T p T q T t quando p 2 q 1 e r 4 Exercıcio 7 Resolva o Exercıcio 55 da secao 147 do Livro J Stewart Calculo vol 2 sobre mınimos quadrados Exercıcio 8 Determine a derivada direcional de fx y xy em P 2 8 na direcao do ponto Q 5 4 Exercıcio 9 Determine a derivada direcional no ponto dado na direcao do vetor v a fx y exseny com P 0 π3 e v 6 8 1 b fx y x x2 y2 com P 1 2 e v 3 5 Exercıcio 10 Determine a derivada direcional de fx y z xy yz zx em P 1 1 3 na direcao do ponto Q 2 4 5 Exercıcio 11 Determine a derivada direcional da funcao no ponto dado na direcao do vetor v a fx y z xey yez zex P 0 0 0 e v 5 1 2 b fx y z xyz P 3 2 6 e v 1 2 2 c hr s t ln3r 6s 9t P 1 1 1 e v 4 12 6 Exercıcio 12 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelao Determine o volume maximo dessa caixa Exercıcio 13 Determine os valores maximos e mınimos locais e pontos de sela da funcao 1 fx y 9 2x 4y x2 4y2 2 fx y x3y 12x2 8y 3 fx y x y1 xy Exercıcio 14 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores maximos e mınimos da funcao sujeita as restricoes dadas a fx y 3x y restricao x2 y2 10 b fx y y2 x2 restricao 1 4x2 y2 1 c fx y exy restricao x3 y3 16 d fx y z xyz restricao x2 2y2 3z2 6 Exercıcio 15 A producao P de certo produto depende da quantidade L de trabalho e da quantidade K de capital investido Anteriormente vimos que o modelo de CobbDouglas P bLαK1α modela a producao a partir de certas suposicoes econˆomicas onde b e α sao constantes positivas e α 1 Se o custo por unidade de trabalho for m e o custo por unidade de capital for n e uma companhia puder gastar somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total entao a maximizacao da producao P estara sujeita a restricao mL nK p Mostre que a producao maxima ocorre quando L αp m e K 1 αp n 2 1 z 2x2 y2 5y em 124 Fxyz 2x2 y2 5y z 0 O gradiente é dado por F Fx Fy Fz Calculamos as derivadas parciais Fx 4x Fy 2y 5 Fz 1 No ponto 124 o gradiente é F124 41 22 5 1 4 1 1 A equação do plano tangente é dada por 4x 1 1y 2 1z 4 0 4x 4 y 2 z 4 0 4x y z 6 0 4x y z 6 2 z x 2 2 2 y 1 2 em 233 Reescrevemos Fxyz x 2 2 2y 1 2 z 0 Calculamos as derivadas parciais Fx 2x 2 Fy 4 y 1 Fz 1 No ponto 233 o gradiente é F233 22 2 4 3 1 1 8 8 1 A equação do plano tangente é dada por 8x 2 8y 3 1z 3 0 8x 16 8y 24 z 3 0 8x 8y z 11 0 Então 8x 8y z 11 3 z y2 ex em 039 Reescrevemos F xyz y2 ex z 0 Calculamos as derivadas parciais Fx y2 ex Fy 2 y ex Fz 1 No ponto 039 o gradiente é F039 32 e0 23 e0 1 9 6 1 A equação do plano tangente 9x 0 6y 3 1z 9 0 9x 6y 18 z 9 0 9x 6y z 9 0 Então 9x 6y z 0 2 A aproximação linear de f xy em torno do ponto ab é dada por fxy fab fxabx a fyaby b Neste caso ab 25 f25 6 fx25 1 e fy25 1 Queremos estimar f2246 f2246 f25 fx252 2 fy2546 5 6 10 1 x 04 f2246 6 02 04 f2246 66 3 Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas naquele ponto Para fxy x3y2 as derivadas parciais são fx 3x2y2 fy 2x3y Ambas as derivadas parciais são polinomiais e portanto contínuas em todos os pontos incluindo 21 Para encontrar a linearização Lxy no ponto 21 f21 2312 8 fx 21 32212 12 fy 21 2231 16 A linearização é dada por Lxy f21 fx 21x 2 fy 21y1 Lxy 8 12x 2 16y 1 Lxy 8 12x 24 16y 16 Lxy 12x 16y 32 Para fxy y tanx as derivadas parciais são fx y sec2x fy tanx Ambas as derivadas parciais são contínuas no ponto π4 2 pois secx e tanx são contínuas em x π4 Assim a função é diferenciável em π4 2 fπ4 2 2 tanπ4 21 2 fx π4 2 2 sec2π4 222 4 fy π4 2 tanπ4 1 A linearização é dada por Lxy fπ4 2 fx π4 2x π4 fy π4 2y2 Lxy 2 4x π4 1y 2 Lxy 2 4x π y 2 Lxy 4x y π fxy y sinxy é diferenciável no ponto 03 As derivadas parciais são fx 1y cosxy fy 1 xy2 cosxy 1 1 z xy3 x2 y onde x t2 1 e y t2 1 Derivadas parciais de z zx y3 2xy zy 3xy2 x2 Derivadas de x e y em relação a t dxdt 2t dydt 2t Usamos a regra da cadeia dzdt zx dxdt zy dydt dzdt y3 2xy2t 3xy2 x22t dzdt 2ty3 2xy 3xy2 x2 dzdt 2ty3 2xy 3xy2 x2 Ambas as derivadas parciais são contínuas no ponto 03 pois kx 03 13 cos0 13 ky 03 1 032 cos0 1 Assim a função é diferenciável em 03 Para encontrar a linearização Lxy no ponto 03 f03 3 sin03 3 0 3 kx 03 13 cos03 13 ky 03 1 032 cos03 1 A linearização é dada por Lxy f03 fx 03x 0 fy 03y 3 Lxy 3 13x 1y 3 Lxy 3 13x y 3 Lxy 13x y 2 z x yx 2y onde x eπt e y eπt Simplificamos z substituímos x e y z eπt eπteπt 2eπt z e2πt 1e2πt 2 Agora derivamos z em relação a t dzdt 2π e2πte2πt 2 e2πt 12π e2πte2πt 22 dzdt 2π e2πte2πt 2 e2πt 1e2πt 22 dzdt 2π e2πt3e2πt 22 dzdt 6π e2πte2πt 22 5 1 Dados z x2 y2 x 2 s 3 t e y s t 1 Calculamos as derivadas parciais zx 2x zy 2y xs 2 xt 3 ys 1 yt 1 2 zs zx xs zy ys 2x2 2y1 4x 2y 3 Substituímos x e y zs 42s 3t 2s t 8s 12t 2s 2t 10s 14t zt zx xt zy yt 2x3 2y1 6x 2y zt 62s 3t 2s t 12s 18t 2s 2t 14s 20t 4 Substituir x e y em z z 2s 3t2 s t2 4s2 12 s t 9 t2 s2 2 s t t2 5 s2 14 s t 10 t2 5 zs 10 s 14 t zt 14 s 20 t 6 a 1 Calcular as Derivadas Parciais zx 4x3 2xy zy x2 xs 1 xt 2 xu 1 ys t u2 yt s u2 yu 2 s t u 2 Aplicando a regra da cadeia zs 4x3 2xy1 x2t u2 zt 4x3 2xy2 x2s u2 zu 4x3 2xy1 x22 s t u 8 1º Calcular o Gradiente de fxy fxxy xxy 12 yx fyxy y xy 12 xy 2º Avaliar o gradiente no ponto P 28 fx28 12 82 12 4 1 fy28 12 28 12 14 14 Portanto f28 1 14 3º Determinar o Vetor direção v v Q P 54 28 34 4º Normalizar o vetor direção v v 32 42 9 16 25 5 û vv 345 35 45 5º Calcular a derivada direcional DᵤfP DᵤfP f28 û 1 14 35 45 1 35 14 45 35 15 25 9 2 1º Calcular o Gradiente de fxy fxxy x ex siny ex siny fyxy y ex siny ex cosy 2º Avaliar o Gradiente no ponto P s 0 π3 fx0 π3 e0 sinπ3 1 32 32 fy0 π3 e0 cosπ3 1 12 12 Portanto f0 π3 32 12 3º Normalizar o Vetor Direção v 68 v 62 82 36 64 100 10 û vv 6810 35 45 4º Calcular a Derivada Direcional DᵤfP DᵤfP f0 π3 û 32 12 35 45 3235 1245 3310 410 4 3310 5 1º Calcular o gradiente de fxy fxxy x x2 y2 2x x2 y21 x2x y2 x2 x2 y22 fyxy y x2 y2 2xy x2 y22 2º Avaliar o gradiente no ponto P s 12 fx 12 22 12 12 222 4 1 1 42 3 25 fy 12 212 12 222 4 1 42 4 25 Portanto f 12 325 425 3º Normalizar o vetor direção v 35 v 32 52 9 25 34 u v v 35 34 334 534 4º Derivada Direcional Dû f P Dû f P f 12 u 325 425 334 534 325 334 425 534 92534 202534 112534 10 1º Calcular o Gradiente de fxyz f xyz fx fy fz fx y z fy x z fz x y f xyz y z x y x y 2º Avaliar o gradiente no ponto P 113 f 113 1 3 1 3 1 1 2 4 0 3º Encontrar o vetor direção v de P para Q v Q P 214 153 1 5 7 1º Normalizar o vetor direção v v 12 52 72 1 25 49 75 v v v 175 575 775 5º Calcular a derivada direcional Dû fP Dû fP f P û 240 130 530 230 Dû fP 2 130 4 530 0 230 230 20 30 2230 6º Simplificar Dû fP 2230 223030 113015 11 2º O gradiente de f é dado por f fx fy fz fx eyx z ex fy x eyx ex fz ey Portanto f xyz eyx z ex x eyx ex ey 2 Calcular o gradiente no ponto P₀ 000 f 000 2⁰ 0⁰ 0⁰ f 000 1 1 1 3 Normalizar o vetor v O vetor de direção V 5 1 2 V 5² 1² 2² 25 1 4 30 u vv 130 512 530 130 230 4 Derivada Direcional Du fP fP u Du fP 1 1 1 530 130 230 Du fP 1 530 1 130 1 230 Du fP 5 1 230 430 b 1 Calcular o gradiente de f A função pode ser escrita como fxyz x y z12 ₓf 12 x y z12 y z y z 2 x y z ᵧf 12 x y z12 x z x z 2 x y z 𝓏f 12 x y z12 x y x y 2 x y z Portanto f xyz y z 2 x y z x z 2 x y z y x 2 x y z 2 Calcular o Gradiente no Ponto P₁ 3 2 6 x y z 3 2 6 36 6 Substituir f 3 2 6 2 6 2 6 3 6 2 6 3 2 2 6 3 Normalizar o Vetor v v 1² 2² 2² 1 4 4 9 3 x vv 13 1 2 2 13 23 23 4 Derivada Direcional Du fP fP u Du fP 12 32 12 13 23 23 Du fP 1 13 3 23 1 23 Du fP 13 1 23 c 1 Calcular o gradiente de h x s t R h x s t hx hs ht hx 3 3x 6s 9t hs 6 3x 6s 9t ht 9 3x 6s 9t Assim 3 3x 6s 9t 6 3x 6s 9t 9 3x 6s 9t 2 Avaliar o Gradiente no ponto P 111 31 6 1 9 1 6 1 9 1 3 1 6 1 9 1 h 1 1 1 318 618 918 16 13 12 3 Normalizar o Vetor v 4 12 6 v 4² 12² 6² 16 144 36 196 14 u vv 414 1214 614 27 67 37 4 Derivada Direcional Duch P Vh P i c 16 13 12 97 67 37 Duch P s 1 267 13 67 12 37 1242 621 37 121 27 321 242 12 9 232 32 12 1 Definição das Variáveis Seja x comprimento de base da caixa Seja y largura da base da caixa Seja z altura da caixa 2 Equações Área da Superfície sem tampa Volume da Caixa V x y z A xy 2xz 2 yz 12 3 Otimizar o Volume rx 2x z 2y z 12 2xz 2yz 12 xy z 2x 2y 12 xy 2x 2y Substituir z Vxy xy 722 xy 12 xy x 2 y 2 2 x 2 y 4 Derivadas Parciais de V em relação a x e y Vx 12y 2xy2 2x 2y 12xy x2 y2 2 2 x 2 y2 Vy 12 x 2 x2y 2x 2y 12 x y x2 y2 2 2 x 2 y2 5 Simplificar 12 y 2 xy2 2 x 2 y 2 12 x y x2 y2 0 12 x 2 x2 y 2 x 2 y 2 12 x y x2 y2 0 24 x y 24 y2 4 x2 y2 4 x y3 2 4 x y 2 x2 y2 0 24 x2 24 x y 4 x3 y 4 x2 y2 24 x y 2 x2 y2 0 Reduzindo 24 y2 2 x2 y2 4 x y3 0 24 x2 4 x3 y 2 x2 y2 0 Dividindo 2 x 2 12 x2 2 x y 0 12 2 x y y2 0 Subtraindo 12 x2 2 x y 12 2 x y y2 0 x2 y2 0 y2 x2 0 yg x 12 x2 2 x x 0 12 x2 2 x2 0 12 3 x2 0 3 x2 12 x2 4 x 4 x 2 Agora yg 12 xy 12 2 2 12 n 8 1 2x 2y 2 2 2 2 4 n 6 Volume Máximo V xyz 2 2 1 4 4 m3 13 1 9 Encontrar as Derivadas Parciais fx 2x 2 2x fy fy 4 8 y 2 Pontos Críticos 2 2x 0 x 1 4 8 y 0 y 12 Pontos Críticos 1 12 Passo 3 fxx ²fx² 2 fyy ²fy² y fxy ²fxy 0 Passo 4 Matriz Hessiana D D fxx fyy fxy² 2y 0² 16 Passo 5 Como D 0 e fxx 0 ponto 1 12 é um máximo local Passo 6 f1 12 9 21 412 1² 412² 9 2 2 1 1 11 2 Passo 1 fx fx 3x²y 24x fy fy x³ y Passo 2 Pontos Críticos x³ y 0 x³ y x 2 3x²y 24x 0 32²y 242 0 12y 48 0 y 4 Ponto Crítico 2 4 Passo 3 fxx ²fx² 6xy 24 fyy ²fy² 0 fxy ²fxy 3x² Passo 4 D fxx fyy fxy² 6xy 240 3x²² 9x4 Passo 5 No ponto 2 4 D 924 916 144 Como D 0 o ponto 2 4 é um ponto de Sela 3 Passo 1 fxy x x²y y xy² fx fx 1 2xy y² fy fy 1 x² 2xy Passo 2 1 2xy y² 0 1 x² 2xy 0 1 2xy y² 1 x² 2xy 0 y² x² 0 y x ou y x Se y x 1 2x² x² 0 1 x² 0 x² 1 x 1 Pontos Críticos 11 e 11 Se y x 1 2x² x² 0 1 3x² 0 Não tem solução Real Passo 3 fxx ²fx² 2y fyy ²fy² 2x fxy ²fxy 2x 2y Passo 4 D fxx fyy fxy² 2y2x 2x 2y² 4xy 4x² 8xy 4y² 4xy 4x² 8xy 4y² 4xy 4x² 4y² Passo 5 No ponto 11 D 411 41² 41² 4 4 4 4 D 0 o ponto 11 é um ponto de Sela L xyλ f xy λ gxy x 3x y λ x² y² 10 Derivadas Parciais e Igualamos a zero Lx 3 2λx 0 Ly 1 2λy 0 Lλ x² y² 10 0 Resolver 3 2λx x 32λ 1 2λy y 12λ x² y² 10 Substituir 32λ² 12λ² 10 94λ² 14λ² 10 104λ² 10 4λ² 1 λ² 14 λ 12 Caso 2 y 0 x² 0² 1 x² 1 x 1 Pontos 20 e 20 f 01 1² 0² 1 f 01 1² 0² 1 f 20 0² 2² 4 f 20 0² 2² 4 Máximo 1 nos Pontos 01 e 01 Mínimo 4 nos Pontos 20 e 20 c Lx y e xy 3λ x² 0 Ly x xy 3λ y² 0 Lλ x³ y³ 16 0 y e xy 3 λ x² x e xy 3 λ y² x³ y³ 16 Dividir a 1ª pela 2ª equação y e xyx xy 3 λ x² 3 λ y² yx x²y² y² x Se 2 12 Se x 12 x 32 12 3 x 32 12 3 y 12 12 1 y 9 12 1 Pontos 3 1 Pontos 3 1 f31 33 1 9 1 10 f 3 1 33 1 9 1 10 b Lx 2x 12 λ x 0 Ly 2 y 2 λ y 0 Lλ 14 x² y² 1 0 2x 12 λ x 0 x 2 12 λ 0 x 0 ou λ 4 2y 2 λ y 0 2 y 1 λ 0 y 0 ou λ 1 14 x² y² 1 Caso 3 x 0 14 0² y² 1 y² 1 y 1 Pontos 01 e 0 1 Igualar 2λ x² 4 λ y² 6 λ z² Se λ 0 x² 2 y² e x² 3 z² x² 2 y² y² x²2 x² 3 z² 0 z² x²3 Substituir x² 2x²2 3x²3 6 x² x² x² 6 3x² 6 x² 2 x 2 Se x 2 y² 22 1 y 1 z² 23 dz 23 Se x 2 y² 22 1 y 1 z² 23 z 23 Pontos críticos 2 1 23 2 1 23 2 1 23 2 1 23 2 1 23 2 1 23 Substituir 2x³ x³ 16 2 x³ 16 x³ 8 x 2 Como y x então y 2 f2 2 e22 e4 Ponto 2 2 Valor da função e4 d Lx yz 2 λ x 0 Ly xz 4 λ y 0 Lz xy 6 λ z 0 Lλ x² 2 y² 3 z² 6 0 yz 2 λ x xz 4 λ y xy 6 λ z x² 2 y² 3 z² 6 Multiplicar xy z 2 λ x² xy z 4 λ y² xy z 6 λ z² fx y z xyz f2 1 23 2 1 23 2 3 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 f2 1 23 2 3 3 Máximo 2 3 3 Mínimo 2 3 3 15 P b lα k1α m l a k p Função de lagrange como ℒL K λ b lα k1α λ m l a k p Derivadas parciais ℒl α b lα1 k1α λ m 0 1 ℒk 1α b lα kα λ n 0 2 cλ 5mL nK p 0 3 De 1 e 2 temos λ αbα1 k1α m λ 1α bα kα n Igualando α bα1 k1α m 1α bα kα n Simplificando α k m 1α n α n k 1α m k k 1α m n k α n 4 Substituir mL n 1α mL α n p mL 1α mL α p mL 1 1α α p mL α 1 α α p mL 1α p L α p m k mn α m α p α n 1α p n tilibra