Lista de Matemática

Lista 2 Matematica 4 Professor Mateus Figueira Exercıcio 1 Determine uma equacao para o plano tangente a superfıcie no ponto especificado 1 z 2x2 y2 5y em 1 2 4 2 z x 22 2y 12 5 em 2 3 3 3 z y2ex em 0 3 9 Exercıcio 2 Dado que uma funcao f e diferenciavel f2 5 6 fx2 5 1 e fy2 5 1 use uma aproximacao linear para estimar f22 46 Exercıcio 3 Explique por que a funcao e diferenciavel no ponto dado A seguir encontre a linearizacao Lx y da funcao naquele ponto 1 fx y x3y2 em 2 1 2 fx y y tanx em π4 2 3 fx y y senxy em 0 3 Exercıcio 4 Use a regra da cadeia para achar dzdt 1 z xy3 x2y em que x t2 1 e y t2 1 2 z x y x 2y em que x eπt e y eπt Exercıcio 5 Determine z s e z s de duas maneiras Usando a Regra da cadeia e substituindo as expressoes de x e y de modo que se escreva z como uma funcao de s e t As suas respostas coincidem 1 z x2 y2 em que x 2s 3t e y s t 2 z x2seny em que x s2t e y st Exercıcio 6 Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas a z x4 x2y x s 2t u y stu2 Encontre z s z t z u quando s 4 t 2 e u 1 b T v 2u v u pqr v pqr Encontre T p T q T t quando p 2 q 1 e r 4 Exercıcio 7 Resolva o Exercıcio 55 da secao 147 do Livro J Stewart Calculo vol 2 sobre mınimos quadrados Exercıcio 8 Determine a derivada direcional de fx y xy em P 2 8 na direcao do ponto Q 5 4 Exercıcio 9 Determine a derivada direcional no ponto dado na direcao do vetor v a fx y exseny com P 0 π3 e v 6 8 1 b fx y x x2 y2 com P 1 2 e v 3 5 Exercıcio 10 Determine a derivada direcional de fx y z xy yz zx em P 1 1 3 na direcao do ponto Q 2 4 5 Exercıcio 11 Determine a derivada direcional da funcao no ponto dado na direcao do vetor v a fx y z xey yez zex P 0 0 0 e v 5 1 2 b fx y z xyz P 3 2 6 e v 1 2 2 c hr s t ln3r 6s 9t P 1 1 1 e v 4 12 6 Exercıcio 12 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelao Determine o volume maximo dessa caixa Exercıcio 13 Determine os valores maximos e mınimos locais e pontos de sela da funcao 1 fx y 9 2x 4y x2 4y2 2 fx y x3y 12x2 8y 3 fx y x y1 xy Exercıcio 14 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores maximos e mınimos da funcao sujeita as restricoes dadas a fx y 3x y restricao x2 y2 10 b fx y y2 x2 restricao 1 4x2 y2 1 c fx y exy restricao x3 y3 16 d fx y z xyz restricao x2 2y2 3z2 6 Exercıcio 15 A producao P de certo produto depende da quantidade L de trabalho e da quantidade K de capital investido Anteriormente vimos que o modelo de CobbDouglas P bLαK1α modela a producao a partir de certas suposicoes econˆomicas onde b e α sao constantes positivas e α 1 Se o custo por unidade de trabalho for m e o custo por unidade de capital for n e uma companhia puder gastar somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total entao a maximizacao da producao P estara sujeita a restricao mL nK p Mostre que a producao maxima ocorre quando L αp m e K 1 αp n 2