Cálculo de Funções de Várias Variáveis - UFABC - Exercícios Resolvidos

BC 0407 Funções de várias variavel Prof Vladislav Kupriyanov CMCCUFABC 1 25 pt Calcule se existir ou prove que não existe lim xy 00 x 3y x² y² 2 25 pt Calcule as derivadas parciais Lx e Ly da função fx xy 00 z² y⁴ z² y² xy 00 0 no ponto 00 3 25 pt A temperatura em graus de um ponto xy do plano XY é descrita pela função Txy 3e²ˉˣ²ʸ² Encontre e mostre graficamente a a taxa de variação da temperatura no ponto 11 na direção da origem b a direção da variação máxima da temperatura no ponto 11 c a taxa da variação máxima da temperatura neste ponto 4 25 pt Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva formada pela interseção do paraboloide z x² y² com o elipsoide 4x² y² z² 9 no ponto 1 1 2 1 25 pt Calcule se existir ou prove que não existe lim xy00 x 3y x² y² Aproximando da origem pelo eixo x ou seja x0 fx0 x 30 x² 0 x x² x x 1 lim x0 1 1 Aproximando agora pelo eixo y ou seja 0y f0y 0 3y 0 y² 3y y² 3y y 3 lim y0 3 3 Como 1 3 os limites não se encontram na origem logo o limite da nossa fxy não existe em 00 2 25 pt Calcule as derivadas parciais Lx e Ly da função fx xy 00 z² y⁴ z² y² xy 00 0 no ponto 00 fx 3x²x² y² x³ y⁴2x x² y²² 3x² 3x² y² 2x⁴ 2x² y⁴ x² y²² 4x³ 3x² y² 2x y⁴ x² y²² fx 00 0 300 200 0 0 0 indefinido fy 4y³x² y² x³ y⁴2y x² y²² 4y³ x² 4y⁵ 2x³ y 2y⁵ x² y²² 2y⁵ 4x² y³ 2x³ y x² y²² fy 00 20 400 200 0 0 0 indefinido 3 25 pt A temperatura em graus de um ponto xy do plano XY é descrita pela função Txy 3e²ˉˣ²ʸ² Encontre e mostre graficamente a a taxa de variação da temperatura no ponto 11 na direção da origem Vetor gradiente Txy Tx Ty Tx 2x3e²ˉˣ²ʸ² 6xe²ˉˣ²ʸ² Ty 2y3e²ˉˣ²ʸ² 6ye²ˉˣ²ʸ² Txy 6xe²ˉˣ²ʸ² 6ye²ˉˣ²ʸ² Derivada direcional Tu ab Tab vet unitário T11 6e² 6e² 6 6 Ty 11 6 6 1 1 61 6 1 6 6 0 b a direção da variação máxima da temperatura no ponto 11 Variação máxima Tu T11 cos α para o valor máximo esse ângulo α deve ser 0 A direção da variação máxima é a mesma do vetor gradiente T11 6 6 vetor unitário de T11 Tu 672 672 672 672 T11 672 672 c a taxa da variação máxima da temperatura neste ponto A taxa de variação maxíma na direção de vetor gradiente ou seja cos α 0 portanto Tu 11 T11 cos² α T11 6² 6² 72 4 25 pt Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva formada pela interseção do paraboloide z x² y² com o elipsoide 4x² y² z² 9 no ponto 1 1 2 v N₁ v N₂ v N₁ x N₂ v vetor normal curva 1 vetor normal curva 2 z x² y² 4x² y² z² 9 fxyz x² y² z fxyz N₁ gxyz 4x² y² z² 9 gxyz N₂ fxyz 2x 2y 2z f112 224 N₁ gxyz 8x 2y 2z g112 8 2 4 N₂ v N₁ x N₂ i j k 2 2 4 832j 416k 40j 12k 9 2 4 ou v 16 40 12 v 4 10 3 As equações paramétricas da reta tangente no ponto 112 x x₀ a t y y₀ b t t R z z₀ c t x 1 4 t y 1 10 t z 2 3 t