Prova Funções Varias Variaveis UFABC - Máximos, Mínimos e Aplicações

Universidade Federal do ABC UFABC 2ª Prova de Funções de Várias Variáveis Prof Márcio Silva 1º Quadrim2024 Nome 1 30 pontos Seja f R2 R dada por f x y 3 y y3 3 y x2 Determine os máximos e mínimos globais de f x y em D x y ε R2 x23 y29 1 Solução Primeiramente determinemos os pontos críticos de f x y f x 6 x y e f y 3 3 y2 3 x2 Deste modo os pontos críticos são as soluções do sistema 3 3 x2 3 y2 0 6 x y 0 ou seja x2 y2 1 x y 0 Mas x y 0 se e somente se x 0 ou y 0 Se x 0 então segue de x2 y2 1 que y 1 enquanto que se y 0 segue de x2 y2 1 que x 1 Assim os pontos críticos de f x y são 01 0 1 10 e 10 Como todos estes pontos pertencem ao interior de D passamos a calcular o hessiano neles Temos que 2 f x2 6 y 2 f x y 6 x e 2 f y2 6 y de modo que o hessiano é dado por H x y 6 y 6 x 6 x 6 y 36 y2 36 x2 36 x 2 y 2 como H 10 36 0 então 10 é um ponto de sela de f x y como H 10 36 0 então 10 é um ponto de sela de f x y como H 01 36 0 e 2 f x2 01 6 0 então 01 é um ponto de máximo local de f x y como H 0 1 36 0 e 2 f x2 0 1 6 0 então 0 1 é um ponto de mínimo local de f x y Agora passemos a estudar f x y na fronteira de D que corresponde à elipse x23 y29 1 Isolando x2 nesta equação obtemos x2 3 y23 Na expressão de f x y ficamos com f x y 3 y y3 3 y x2 3 y y3 3 y 3 y23 3 y y3 9 y y3 6 y que corresponde a uma função real g y 6 y com 3 y 3 Como o gráfico de g y 6 y é uma reta decrescente então o máximo de g y ocorre para y 3 enquanto que o mínimo ocorre em y 3 Em x2 3 y23 temos que se y 3 ou se y 3 então x 0 Desta forma os máximos na fronteira de D ocorrem em 0 3 e em 03 Finalmente calculamos f 0 1 3 1 2 f 0 1 3 1 2 f 03 9 27 18 f 0 3 9 27 18 Portanto o máximo global de f x y ocorre em 0 3 enquanto que o mínimo global ocorre em 03 2 Sejam B o subconjunto de R2 definido pelas inequações 3 x 4 5 x y 6 e B a imagem de B pela mudança de variáveis x w e y v w a 15 pontos esboce as regiões B e B nos respectivos sistemas de coordenadas Solução A região B é aquela delimitada pelas retas y x 5 e y x 6 e pelas retas verticais x 3 e x 4 como na Figura 1 abaixo Figura 1 Região R