Funções de Varias Variaveis

4ª Lista de Exercícios FVV Seção 146 Prof Valdecir Marvulle UFABC 1 Determine a derivada direcional de no ponto dado e direção indicada pelo ângulo a b c d 2 Calcule o gradiente de no ponto e determine a taxa de variação de em na direção do versor a b c d e 3 Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor a b c d e f g 4 Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor que vai de até o ponto a b 5 Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre a b c d e f g h 6 Esboce a curva de nível de passando pelo ponto ie a curva de nível e desenhe o vetor gradiente em a b c 7 Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é Suponha que a Determine o valor do campo elétrico em b Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente E em qual direção ele decresce mais rapidamente 8ª Lista de Exercícios FVV Seção 159 Prof Valdecir Marvulle UFABC 1 Determine o Jacobiano da transformação a b c d e f 2 Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada a é o quadrilátero delimitado pelos pontos b é a região delimitada pelas retas e pela parábola c é a região delimitada pelas curvas d é a elipse dada por onde e são constantes 3 Utilize a transformação dada para calcular a integral a onde é a região triangular de vértices b onde é o paralelogramo de vértices c onde é a região limitada pela elipse d onde é a região limitada pela elipse e onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas e e pelas hipérboles e f onde é a região limitada pelas curvas 1 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e direção indicada pelo ângulo θ a fxy x²y³ y⁴ 21 θ π4 b fxy x sinxy 20 θ π3 c fxy 5x 4y 41 θ π6 d fxy xe²ʸ 50 θ π2 1a fxy x²y³ y⁴ ρ 21 θ π4 fxy fx fy gradiente fx fx 2xy³ Derivadas parciais fy fy 3x²y² 4y³ fxy 2xy³ 3x²y² 4y³ No ponto f21 221³ 32²1² 41³ 4 8 Dufxy fx cosθ fy sinθ θ π4 Duf21 4 cosπ4 8 sinπ4 22 22 422 822 1222 62 1b fxy x sinxy ρ 20 θ π3 fx x x sinxy ddxx sinxy x x sinxy 1 sinxy x cosxy y sinxy xy cosxy fy y x sinxy x y sinxy x cosxy y xy x² cosxy fxy fx fy sinxy xy cosxy x² cosxy f20 0 0 2² cos0 0 4 Duf20 fx cosπ3 fy sinπ3 fy sinπ3 432 23 1c fxy 5x 4y 5x 4y¹² ρ 41 θ π6 fx x 5x 4y¹² 12 5x 4y12 x 5x 4y 525x 4y¹² fy y 5x 4y¹² 12 5x 4y12 y 5x 4y 425x 4y¹² 25x 4y fxy 525x 4y 25x 4y 58 12 Duf41 fx cosπ6 fy sinπ6 5832 1212 5316 14 53 416 1d fxy x e2y P 50 θ π2 fx e2y ddx x e2y e2y fy x ddy e2y 2x e2y 2 e2y fxy e2y 2x e2y f50 e0 25e0 1 10 Du f50 fx cosπ2 fy sinπ2 fy 10 Du f50 10 2b fxy y lnx P 13 u 45 35 fx y1x yx fy 1 lnx lnx fxy yx lnx f13 31 ln1 30 f13 dot u 30 dot 45 35 345 0 Du f13 125 2c fxyz x y2 z3 P 121 u 1sqrt3 1sqrt3 1sqrt3 fx ddx x y2 z3 y2 z3 fy ddy x y2 z3 2 x y z3 fz ddz x y2 z3 3 x y2 z2 fxyz y2 z3 2 x y z3 3 x y2 z2 f121 4 4 12 Du f121 4 4 12 dot 1sqrt3 1sqrt3 1sqrt3 4sqrt3 4sqrt3 12sqrt3 12sqrt3 3 4sqrt3 sqrt3 sqrt3 4sqrt3 4 sqrt3 2 Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vensor u a fxy 5xy2 4x3y P 12 u 513 1213 b fxy y ln x P 1 3 u 45 35 c fxyz xy2 z3 P 1 2 1 u 1sqrt3 1sqrt3 1sqrt3 d fxyz xe2yz P 302 u 23 23 13 e fxyz sqrtx yz P 131 u 27 37 67 2a fxy 5xy2 4x3 y P12 u 513 1213 fx ddx 5xy2 4x3 y 5 y2 12 x2 y fy ddy 5xy2 4x3 y 10xy 4x3 fxy 5 y2 12 x2 y 10xy 4x3 f12 20 24 20 4 4 16 Du f12 f12 dot u 416 dot 513 1213 4513 161213 20 19213 17213 17213 2 a fxyz xe2yz P 302 û 23 23 13 fx x xe2yz e2yz fy y xe2yz xe2yz y 2yz 2xze2yz fz z xe2yz xe2yz z 2yz 2xye2yz fxyz e2yz 2xze2yz 2xye2yz f302 e0 232e0 230e0 1 12 0 Duf302 112023 23 13 123 1223 013 2 243 223 2 c fxyz x y2 P 131 û 27 37 67 fx fx x xy212 12 xy212 x xy2 12xy2 fy fy y xy212 12 xy212 y xy2 y2xy2 fz z xy212 12 xy212 z xy2 y2xy2 f131 14 14 34 Duf131 14 14 34 27 37 67 1427 1437 3467 2328 3 Determine a derivada direcional da função no ponto P dado e na direção do vetor v a fxy 1 2xy P 34 v 43 b fxy lnx2 y2 P 21 v 12 c fxyz x2 y2 z2 P 122 v 663 d fxyz xyz P 411 v 123 e fxy x2ey P 20 v i j f fxy sin x cos y P π3 2π3 v 23 g fxyz xyz P 212 v 122 2 a fxy 5xy2 4x3y P 12 û 513 1213 fx x 5xy2 4x3y 5y2 12x2y fy y 5xy2 4x3y 10xy 4x3 fxy 5y2 12x2y 10xy 4x3 f12 20 24 20 4 4 16 Duf12 f12 û 416 513 1213 4513 161213 20 19213 17213 17213 2 b fxy y lnx p 13 û 45 35 fx y 1x yx fy 1 lnx lnx fxy yx lnx f13 31 ln1 3 0 f13 û 3 0 45 35 345 0 Duf13 125 3 c fxyz sqrtx2 y2 z2 x2 y2 z212 fx x x2 y2 z212 12 x2 y2 z212 x x2 y2 z2 xsqrtx2 y2 z2 Analogamente fy ysqrtx2 y2 z2 fz zsqrtx2 y2 z2 f 1sqrtx2 y2 z2 xyz f122 13 122 13 23 23 û FF 663sqrt62 62 32 69 69 39 23 23 13 Duf122 13 23 23 23 23 13 1323 2323 2313 2 4 29 0 3 d fxyz xy z p 411 v 123 fx x xy z 1y z fy x y y z1 x1y z2 y y z xy z2 fz x z y z1 x1y z2 z y z xy z2 û vv 123sqrt12 22 32 1sqrt14 2sqrt14 3sqrt14 fxyz 1y z xy z2 xy z2 f411 12 422 422 12 1 1 Duf411 12 1 1 1sqrt14 2sqrt14 3sqrt14 12sqrt14 2sqrt14 3sqrt14 92sqrt14 3 e fxy x2 ey P 20 v î ĵ 11 fx ey x x2 2x ey fy x2 y ey x2 ey 2x ey fxy 2x ey x2 ey f20 22e0 22 e0 44 v 11 12 12 12 12 Duf20 44 12 12 42 42 82 242 42 3 f fxy sinx cosy P π3 2π3 v 23 fx cosy x sinx cosx cosy cosx fy sinx y cosy sinx siny siny fπ3 2π3 cosπ3 cos2π3 sinπ3 sin2π3 14 34 v 23 22 32 213 313 Duf23 14 34 213 313 1413 2 9 7 413 3 g fxyz x y z x y z12 P 2 1 2 v 1 2 2 v v v 1 2 2 12 22 22 13 23 23 fx x x y z12 12 x y z12 x x y z y z 2 x y z y z 2 x Analogamente fy x z 2 y fz x y 2 z fxyz y z 2 x x z 2 y x y 2 z f212 12 1 12 f212 v Duf212 12 1 12 13 23 23 16 23 26 12 ⒋ b fxyz x2 y2 z2 fx 2x fy 2y fz 2z fxyz 2xyz ū PQ Q P 000 213 213 û 213 22 12 32 214 114 314 f213 2213 426 Du f213 426214 114 314 8 2 1814 2814 21414 214 5 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre a fxy y2x 24 b fpq q ep p eq 00 c fxy sinxy 10 d fxyz x2 y3 z4 111 e fxyz ln x y2 z3 123 f fxyz tanx 2y 3z 511 g fxyz 3x2 y2 4z2 152 h fxyz x y2 z3 222 ⒌ a fxy y2x p 24 fx y2 x 1x y2 1x2 y2x2 fy 1x y y2 1x 2 y 2 yx fxy y2x2 2 yx f24 4222 242 44 Taxa f24 42 42 42 Direção f24 44 4 î 4 ĵ ⒌ b fpq qep peq p 00 fp p q ep p eq q ep eq fq q q ep p eq ep p eq f00 e00 e0 e0 0e0 11 Taxa f00 12 12 2 Direção f00 11 î ĵ ⒌ c fxy sinxy p 10 fx x sinxy cosxy x xy y cosxy fy y sinxy cosxy y xy x cosxy f y cosxy x cosxy f10 01 Taxa f10 02 12 1 Direção f10 01 ĵ 5 d fxyz x²y³z⁴ P 111 fx y³z⁴ xx² 2xy³z⁴ fy x²z⁴ yy³ 3x²y²z⁴ fz x²y³ zz⁴ 4x²y³z³ f111 234 Taxa f111 2² 3² 4² 29 Direção 234 2î 3ĵ 4k 5 e fxyz lnxy²z³ P 123 fx x lnxy²z³ 1xy²z³ xxy²z³ 1x fy 1xy²z³ yxy²z³ 2y fz 1xy²z³ zxy²z³ 3z f123 11 22 33 111 Taxa f123 1² 1² 1² 3 Direção f123 111 î ĵ k 5 f fxyz tanx 2y 3z P 511 fx x tanx2y3z sec² x2y3z x x 2y 3z sec²x 2y 3z fy sec²x 2y 3z y x 2y 3z 2 sec²x 2y 3z fz sec²x 2y 3z z x 2y 3z 3 sec²x 2y 3z fxyz sec²x 2y 3z 1 2 3 f5 1 1 1 2 3 Taxa f5 1 1 1² 2² 3² 14 Direção f5 1 1 1 2 3 î 2ĵ 3k 5 g fxyz 3x² y² 4z² P 152 fx 6x fy 2y fz 8z fxyz 6x 2y 8z f152 6 10 16 Taxa f152 6² 10² 16² 142 Direção f152 6 10 16 6î 10ĵ 16k 5 h fxyz xy²z³ P 222 fx x xy²z³12 12 xy²z³12 x xy²z³ y²z³2xy²z³ yz322x fy 12 xy²z³12 y xy²z³ z²xz z32x fz 12 xy²z³12 zxy²z³ 3yxz 2 fxyz yz322x z32x 3yxz 2 f222 2 4 6 Taxa f222 2² 4² 6² 214 Direção 2 4 6 2î 4ĵ 6k 6 Esboce a curva de nível de fxy passando pelo ponto P ie a curva de nível z fP e desenhe o vetor gradiente em P a fxy xy2 P 22 b fxy x2 4y2 P 20 c fxy x2 y2 P 21 6 a fxy xy2 P 2 2 z fP f2 2 222 24 12 z xy2 12 x y22 6 b fxy x2 4y2 P 2 0 z fP f2 0 22 402 4 z x2 4y2 4 x24 y2 1 6 c fxy x2 y2 P 2 1 z fP f2 1 22 12 3 z x2 y2 3 x23 y23 1 7 Se o potencial elétrico em um ponto x y do plano xy é Vx y então o vetor campo elétrico no ponto x y é E V Suponha que Vx y e2x cos2y a Determine o valor do campo elétrico em π4 0 b Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente E em qual direção ele decresce mais rapidamente Vx y e2x cos2y E V fx fy fx x e2x cos2y cos2y x e2x 2e2x cos2y e2x x 2x 2 fy y e2x cos2y e2x y cos2y 2e2x sin2y sin2y y 2y 2 E fx fy fx fy 2e2x cos2y 2e2x sin2y Eπ4 0 2e2π4 cos0 2e2π4 sin0 2eπ2 0 b Vπ4 0 2eπ2 0 maior crescimento Vπ4 0 2eπ2 0 menor crescimento maior decrescimento 1 Determine o Jacobiano da transformação a x 5u v y u 3v b x uv y uv c x uuv y vuv d x α sin β y α cos β e x uv y vw z uw f x v w2 y w u2 z u v2 J xu xv yu yv 5 1 1 3 53 11 J 15 1 16 J xu xv yu yv v u 1v uv2 vuv2 u1v J uv uv 2uv 2y 1a x α sinβ y α cosβ J xα xβ sinβ α cosβ sinβα sinβ yα yβ cosβ α sinβ cosβ α cosβ J α sin²β α cos²β α sin²β cos²β α 1c x uσ y vω z uω J xu xv xw σ μ 0 yu yv yw 0 w v v wμ 0 zu zv zw w 0 μ u σw 0 0 J v wμ u v w 2 u v w 1f x σ w² y w u² z u σ² J xu xv xw 0 1 2w 0 yu yv yw 2u 0 1 2u zu zv zw 1 2v 0 1 011 11 0 2w2u2v 0 J 1 8 u σ w 1c x uuv y vuv J xu xv vuv² uuv² vuv² uuv² yu yv vuv² uuv² vuv²uuv² J μσ μσ uv² uv² 0 xu ddu uuv u ddu uv uv² 1uv u1uv² vuv² xv ddv uuv u ddv uv uv² u1 uv² uuv² yu ddu vuv v ddu uv uv² v1 uv² vuv² yv ddv vuv v ddv uv uv² 1uv v01 uv² uuv² 2 Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada a S é o quadrilátero delimitado pelos pontos xy 00xy 6 2 xy 63 xy 121 x 2u 3v y u v b S é a região delimitada pelas retas x 0 x 1 y 0 e pela parábola y 1 x2 x v y u1 v2 c S é a região delimitada pelas curvas x 0 y 1 y x2 x u2 y v d S é a elipse dada por xa2 yb2 1 x au y bv onde a e b são constantes 2a 2u 3σ x u v γ 2u 2v 2γ x 2 Vamos isolar 2u nas duas equações 2u x 3σ 2γ 2v x 2γ 5σ v x5 2γ5 Usando u v γ u γ v γ x5 2γ5 u x5 γ1 25 x5 3γ5 55 25 35 Então u x 3γ5 v x 2γ5 x γ 00 u v 00 x γ 6 2 u v 02 x γ 6 3 u v 30 x γ 12 1 u v 3 2 2b x 0 γ 1 02 1 v x 0 u γ1v2 1102 1 x 1 γ 1 12 2 v x 1 u γ1v2 2112 22 1 γ 0 0 γ 1 x2 0 γ u1v2 u1 x2 u 0 1 x2 0 x i v Xa² Yb² 1 elipse X au Y bv aua² bvv² 1 u² v² 1 y circunferencia 3 Utilize a transformação dada para calcular a integral a R x 3y dA onde R é a região triangular de vértices 00 21 12 x 2u v y u 2v b R 4x 8y dA onde R é o paralelogramo de vértices 13 13 31 15 x ¼ u v y ¼ v 3u c R x² dA onde R é a região limitada pela elipse 9x² 4y² 36 x 2u y 3v d R x² xy y² dA onde R é a região limitada pela elipse x² xy y² 2 x 2u 23 v y 2u 23 v e R xy dA onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y x e y 3x e pelas hipérboles xy 1 e xy 3 x uv y v f R y² dA onde R é a região limitada pelas curvas xy 1 xy 2 xy² 1 xy² 2 u xy v xy² 3 a R x3y dA x 2u v y u 2v J xu xv 2 1 22 11 4 1 3 yu yv 1 2 X 3y 2u v 3u 2 v 2u 3u v 6v u 5v Entre 00 e 21 Y Y0 ΔYΔX x X0 Y 0 10 21x 0 Y 12 x u 2v ½ 2u v u 2v u v2 2v v2 v0 Entre 12 e 21 y 1 12 21 x2 y 3 x u 2v 3 2 u v u 2v 3 2 u v u v 1 v 1 u Entre 12 e 00 y 0 2 01 0 x 0 y 2x u 2v 2 2u v u 2v 4u 2v u 0 R x 3y dA 01 01 u u 5σ 5 dσ du 01 01 u 3 u 5σ dσ du 3 01 u u 5σ dσ u 5 σ2 2 01 u 3 01 u 5σ2 2 01 u du 3 01 u1 u 52 1 u2 du R x 3ydA 3 01 52 4u 3u2 2 du 3 5u 2 4u2 2 32 u3 3 01 3 52 2 12 3 1 3 36 J xu xv yu yv 14 14 34 14 1414 3414 J 116 316 14 dA dxdy J dudσ 14 dudσ 4x 8y 4 14 u σ 8 14 σ 3u u σ 2 σ 3u u σ 2σ 6u 5u 3σ x 14 u σ 4x u σ σ 4x u y 14 σ 3u 4y σ 3u σ 4y 3u σ 4x u 4y 3u 4x 4y 4u u x y σ 9x u 4x x y 3x y Pontos xy 13 uσ 40 xy 13 uσ 40 xy 31 uσ 48 xy 15 uσ 48 0 σ 8 4 u 4 R 4x 8y dA 08 44 5u 3σ 14 dudσ 14 08 5 44 u du 3σ 44 du dσ 5 u2 2 44 3σ u 44 52 42 42 3σ 4 4 R 4x 8y dA 14 08 3σ 8 dσ 244 08 σ dσ 244 12 82 02 3 64 192 3c J dxdu dxdv 2 0 23 0 6 dydu dydv 0 3 x2 2u2 4u2 dA dxdy J dudv 6 dudv u r cosθ x2 4u2 y2 9u2 gx2 4y2 36 9x2 4y2 36 g4u2 49 u2 36 36u2 36u2 36 u2 u2 1 r2 0 r 1 0 θ 2 π R x2 dA 4u2 6 dudv dudv rdrdθ 24 u2 dudv 24 r2 cos2θ rdrdθ 24 01 r3 dr 02π cos2θ dθ 24 r44 01 12 θ 12 sin2θ02π 24 14122π 6π 3d J dxdu dxdv 2 23 2 23 223 22 23 J 23 23 43 x2 xy y2 2 u 23 v2 2 u 23 v2 u 23 v 2 u 23 v2 2u2 23 v2 22 23 u v 2u2 23 u2 2 23 u v 23 v2 2u2 23 v2 22 23 u v u2 2 2 2 v2 23 23 23 x2 xy y2 2 u2 v2 Usando para comparar x2 xy y2 2 indica que u2 v2 1 R x2 xy y2dA 2u2 v2 43 dudv dudv rdrdθ u2 v2 1 r2 0 r 1 0 θ 2 π R x2 xy y2dA 83 02π 01 r2 r dr dθ 01 r3 dr r44 01 14 83 14 02π dθ 843 2π 0 4π3 3e x μσ y σ J xu xv 1v μv2 1v1 0μv2 yu yv 0 1 J 1v y x σ μv μ v2 v μ y 3x σ 3μv μ v2 3 v 3μ μ v 3μ xy 1 μv v 1 μ 1 xy 3 μv μ 3 μ 3 1 u 3 R xy dA μvv J dudv μvv2 dudv μv dudv 13 μ μ3μ 1v dv du 13 μ ln3μ lnμ du 12 ln3 13 u du 12 ln3 μ22 13 2 ln3 1 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e direção indicada pelo ângulo θ a fxy x2 y3 y4 21 θ π4 b fxy x sinxy 20 θ π3 c fxy 5x 4y 41 θ π6 d fxy x e2y 50 θ π2 fxy x2 y3 y4 ρ 21 θ π4 fxy fx fy gradiente fx fx 2xy3 fy fy 3x2 y2 4y3 Derivadas parciais fxy 2xy3 3x2 y2 4y3 No ponto f21 2213 32212 413 4 8 Dufxy fx cosθ fy sinθ θ π4 Duf21 4 cosπ4 8 sinπ4 22 22 Duf21 422 822 1222 62 3f J xu xv 2uu μ2u2 2uu1u uu2μ2σ2 yu yv uu2 1u J x u2σ u xy σ xy2 y vu crossed out terms in numerator and denominator J 1u dA dxdy lv dudσ R y2 dA vu2 1u dudσ vμ2 dudσ xy 1 u 1 xy 2 μ 2 xy2 1 v 1 xy2 1 v 2 R y2 dA 12 v 12 1μ2 du dσ 12 12 v2 dv 12 v22 12 1u 12 12 41 12 R y2 dA 14 22 12 34 1 b fxy x sinxy p 20 θ π3 fx x xsinxy ddx x sinxy x x sinxy sinxy x cosxy y sinxy xy cosxy fy y x sinxy x y sinxy x cosxy y xy x2 cosxy fxy fx fy sinxy xy cosxy x2 cosxy f20 0 0 22 cos0 0 4 Duf20 fx cosπ3 fy sinπ3 fy sinπ3 4 32 23 1 c fxy 5x 4y 5x 4y12 p 41 θ π6 fx x 5x 4y12 12 5x 4y12 x 5x 4y 5 25x 4y12 5 25x 4y fy y 5x 4y12 12 5x 4y12 y 5x 4y 4 2 5x 4y12 2 5x 4y fxy 5 25x 4y 2 5x 4y 5 24 24 58 12 Duf41 fx cosπ6 fy sinπ6 5832 1212 53 16 14 53 4 16 1 d fxy x e2y p 50 θ π2 fx e2y ddx x e2y e2y fy x ddy e2y 2x e2y fxy e2y 2x e2y f50 e0 25 e0 1 10 Duf50 fx cosπ2 fy sinπ2 fy 10 Duf50 10 2 Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u a fxy 5xy2 4x3 y P 12 u 513 1213 b fxy y ln x P 13 u 45 35 c fxyz xy2 z3 P 121 u 13 13 13 d fxyz xe2yz P 302 u 23 23 13 e fxyz xyz P 131 u 27 37 67 2 a fxy 5xy2 4x3 y P 12 u 513 1213 fx x 5xy2 4x3 y 5y2 12x2 y fy y 5xy2 4x3 y 10xy 4x3 fxy 5y2 12x2 y 10xy 4x3 f12 20 24 20 4 416 Duf12 f12 û 416 513 1213 4513 161213 20 19213 17213 17213 2 b fxy y lnx P 13 û 45 35 fx y1x yx fy 1 lnx lnx fxy yx lnx f13 31 ln1 30 f13 û 3045 35 345 0 Duf13 125 2 c fxyz xy2 z3 P 121 û 13 13 13 fx x xy2 z3 y2 z3 fy y xy2 z3 2xy z3 fz z xy2 z3 3xy2 z2 fxyz y2 z3 2xy z3 3xy2 z2 f121 4 4 12 Duf121 441213 13 13 43 43 123 123 343 3 3 43 43 3 Determine a derivada direcional da função no ponto P dado e na direção do vetor v a fx y 1 2xy P 34 v 4 3 b fx y lnx² y² P 21 v 12 c fx y z x² y² z² P 12 2 v 66 3 d fx y z x y z P 411 v 123 e fx y x² eʸ P 20 v i j f fx y sin x cos y P π3 2π3 v 23 g fx y z xyz P 2 1 2 v 12 2 2 a fxy 5xy² 4x³ y P 12 û 513 1213 fₓ x 5xy² 4x³ y 5y² 12x² y fᵧ y 5xy² 4x³ y 10xy 4x³ fxy 5y² 12x² y 10xy 4x³ f12 20 24 20 4 4 16 Duf 12 f12 û 4 16 513 1213 4513 161213 20 19213 17213 17213 2 b fxy y lnx P 1 3 û 45 35 fₓ y1x yx fᵧ 1 lnx lnx fxy yx lnx f1 3 31 ln1 3 0 f13 û 3 0 45 35 345 0 Duf 1 3 125 c fxyz x² y² z² x² y² z²12 fₓ x x² y² z²12 12 x² y² z²12 x x² y² z² xx² y² z² Análogamente fy yx² y² z² fz zx² y² z² f 1x² y² z² xyz f122 13 122 13 23 23 û vv 6 6 36² 6² 3² 69 69 39 23 23 13 Duf122 13 23 23 23 23 13 1323 2323 2313 2 4 29 0 d fxyz xyz p 411 v 123 fₓ x xyz 1yz fy x y yz1 x1yz2 y yz xyz² fz x z yz1 x1yz2 z yz xyz² û vv 1231² 2² 3² 114 214 314 fxyz 1yz xyz² xyz² f411 12 42² 42² 12 1 1 Duf411 12 1 1 114 214 314 1214 214 314 9214 e fxy x² ey p 20 v î ĵ 11 fₓ ey x x² 2x ey fy x² y ey x² ey fxy 2x ey x² ey f20 22e⁰ 2² e⁰ 44 û 111² 1² 12 12 Duf20 44 12 12 42 42 82 242 42 f fxy sinxcosy p π3 2π3 v 23 fₓ cosy x sinx cosx cosy fy sinx y cosy sinx siny fπ3 2π3 cosπ3 cos2π3 sinπ3 sin2π3 14 34 û 232² 3² 213 313 Duf23 14 34 213 313 14132 9 7413 3 g fxyz xyz xyz12 p 212 v 122 u vv 122 12 22 22 13 23 23 fx x xyz12 12 xyz12 x xyz yz 2xyz yz 2x Analogamente fy xz 2y fz xy 2z fxyz yz 2x xz 2y xy 2z f212 12 1 12 f212 u Duf212 12 1 12 13 23 23 16 23 26 12 4 Determine a derivada direcional da função no ponto P dado e na direção do vetor que vai de P até o ponto Q a fxy xy P 28 Q 54 b fxyz x2 y2 z2 P 213 Q 000 4 a v PQ Q P 54 28 34 u v v 34 32 42 35 45 fxy xy xy12 fx fx x xy12 12 xy12 x xy y 2x fy y xy12 12 xy12 y xy x 2y f28 1 14 Duf28 1 14 35 45 35 15 25 4 b fxyz x2 y2 z2 fx 2x fy 2y fz 2z fxyz 2xyz v PQ Q P 000 213 213 u 213 22 12 32 214 114 314 f213 2213 426 Duf213 426 214 114 314 8 2 1814 2814 214