Linearização Regra da Cadeia e Diferenciação em Funções de Duas Variáveis

3ª Lista de Exercícios FVV Seções 144 e 145 Prof Valdecir Marvulle UFABC 1 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado a no ponto b no ponto c d e 2 Explique porque a função é diferenciável no ponto dado Faça então a linearização da função no ponto a b c d 3 Encontre o ponto onde o plano tangente à superfície de equação no ponto corta o eixo 4 Determine a aproximação linear da função em e usea para calcular aproximadamente 5 Encontre uma aproximação linear para a b c 6 Use a regra da cadeia para determinar ou a b c d e 7 Utilize a regra da cadeia para determinar e a b c d 8 Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas a e quando e b e quando e c e d e e quando e 9 Use diferenciação implícita para determinar e a b c e Para a função z ex lny no ponto 3 1 0 Primeiro calculamos as derivadas parciais zx ex lny zy ex y Agora avaliamos essas derivadas no ponto 3 1 zx 31 e3 ln1 0 zy 31 e3 1 e3 Portanto a equação do plano tangente é z 0 0x 3 e3 y 1 Simplificando z e3 y 1 Questão 2 Para verificar se uma função é diferenciável em um ponto dado verificamos se as derivadas parciais da função existem e são contínuas naquele ponto Se essas condições forem satisfeitas a função é diferenciável no ponto A linearização Lxy da função no ponto é a aproximação linear da função em torno desse ponto dada por Lxy fx0y0 fx x0y0 x x0 fy x0y0 y y0 a Para a função fxy xy no ponto 1 4 Primeiro calculamos as derivadas parciais fx y fy x 2y Agora avaliamos essas derivadas no ponto 1 4 fx 14 4 2 fy 14 124 14 Como as derivadas parciais existem e são contínuas a função é diferenciável no ponto 1 4 A linearização é Lxy f14 2x 1 14 y 4 Lxy 2 2x 1 14 y 4 Lxy 2x 14 y 54 Questão 1 Para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície do tipo z fxy em um ponto específico x0y0z0 utilizamos as seguintes etapas 1 Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y zx fx xy zy fy xy 2 Avaliamos essas derivadas no ponto x0y0 zx x0y0 fx x0y0 zy x0y0 fy x0y0 3 Utilizamos as derivadas parciais para escrever a equação do plano tangente z z0 fx x0y0x x0 fy x0y0y y0 a Para a função z9x2 y2 6x 3y 5 no ponto 1218 Primeiro calculamos as derivadas parciais zx 18x 6 zy 2y 3 Agora avaliamos essas derivadas no ponto 12 zx 12 181 6 24 zy 12 22 3 1 Portanto a equação do plano tangente é z 18 24x 1 1y 2 Simplificando z 24x y 28 b Para a função z 4 x2 2y2 no ponto 1 1 1 Primeiro calculamos as derivadas parciais zx x 4 x2 2y2 zy 2y 4 x2 2y2 Agora avaliamos essas derivadas no ponto 1 1 zx 11 14 1 2 1 zy 11 211 2 Portanto a equação do plano tangente é z 1 1x 1 2y 1 Simplificando z x 2y 4 c Para a função z sinx y no ponto 1 1 0 Primeiro calculamos as derivadas parciais zx cosx y zy cosx y Agora avaliamos essas derivadas no ponto 1 1 zx 11 cos1 1 cos0 1 zy 11 cos1 1 cos0 1 Portanto a equação do plano tangente é z 0 1x 1 1y 1 Simplificando z x y d Para a função z ln2x y no ponto 1 3 0 Primeiro calculamos as derivadas parciais zx 22x y zy 12x y Agora avaliamos essas derivadas no ponto 1 3 zx 13 221 3 21 2 zy 13 11 1 Portanto a equação do plano tangente é z 0 2x 1 1y 3 Simplificando z 2x y 4 b Para a função f xy ex cosxy no ponto 00 Primeiro calculamos as derivadas parciais fx ex cosxy xyex sinxy fy xex sinxy Agora avaliamos essas derivadas no ponto 00 fx00 e0 cos0 0 1 fy00 0 Como as derivadas parciais existem e são contínuas a função é diferenciável no ponto 00 A linearizacão é Lxy f 00 1x0 0y0 Lxy 1 c Para a função f xy arctanx 2y no ponto 10 Primeiro calculamos as derivadas parciais fx 11x2 fy 2 Agora avaliamos essas derivadas no ponto 10 fx10 12 fy10 2 Como as derivadas parciais existem e são contínuas a função é diferenciável no ponto 10 A linearização é Lxy f10 12 x 1 2y0 Lxy π4 12 x 1 2y Lxy 12 x 2y π4 12 d Para a função f xy y lnx no ponto 21 Primeiro calculamos as derivadas parciais fx yx fy lnx Agora avaliamos essas derivadas no ponto 21 fx21 12 fy21 ln2 Como as derivadas parciais existem e são contínuas a função é diferenciável no ponto 21 A linearização é Lxy f21 12 x2 ln2y1 Lxy ln2 12 x2 ln2y1 Lxy 12 x ln2 y 1 Questão 3 Encontre o ponto onde o plano tangente à superfície de equação z exy no ponto 111 corta o eixo z Seja z fxy onde f xy exy Queremos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto 111 A equação do plano tangente a uma superfície z f xy em um ponto x0y0z0 é dada por z z0 fxx0y0xx0 fyx0y0yy0 Calculamos as derivadas parciais de f fxxy x exy exy fyxy y exy exy Avaliando as derivadas parciais no ponto 11 fx 11 e11 e0 1 fy 11 e11 e0 1 Agora substituímos esses valores na equação do plano tangente z 1 1 x1 1 y1 Simplificando z 1 x1 y1 z 1 x 1 y 1 z x y 1 Para encontrar o ponto onde este plano corta o eixo z definimos x 0 e y 0 z 0 0 1 z 1 Assim o ponto onde o plano tangente à superfície z exy no ponto 111 corta o eixo z é dado por 001 Questão 4 Determine a aproximação linear da função f xy 20 x2 7y2 em 21 e usea para calcular aproximadamente f 195106 Para determinar a aproximação linear de f xy em torno do ponto x0y0 usamos a fórmula Lxy fx0y0 fxx0y0x x0 fyx0y0y y0 E sim a aproximação linear é basicamente o plano tangente só que com o z isolado Primeiro calculamos f21 f21 20 22 7 12 20 4 7 9 3 Agora calculamos as derivadas parciais de f xy fx xy x 20 x2 7y2 12 20 x2 7y2 2x x 20 x2 7y2 fy xy y 20 x2 7y2 12 20 x2 7y2 14y 7y 20 x2 7y2 Avaliando as derivadas parciais no ponto 21 fx 21 2 20 4 7 2 9 23 fy 21 7 1 20 4 7 7 9 73 Agora substituímos esses valores na fórmula da aproximação linear Lxy 3 23x 2 73y 1 Simplificando Lxy 3 23 x 2 73 y 1 Lxy 3 23 x 43 73 y 73 Lxy 3 43 73 23 x 73 y Lx y 9 4 7 3 2 3x 7 3y Lx y 20 3 2 3x 7 3y Para calcular aproximadamente f195 106 usamos a aproximacao linear L195 106 20 3 2 3195 7 3106 L195 106 20 3 2 195 3 7 106 3 L195 106 20 3 39 3 742 3 L195 106 20 39 742 3 L195 106 868 3 L195 106 289 Assim a aproximacao linear de f195 106 e aproximadamente 289 Questao 5 Encontre uma aproximacao linear para a 099e0028 Seja fx xey8 com x 099 e y 002 Para encontrar a aproximacao linear calculamos a derivada parcial em torno de x 1 e y 0 fx y xey8 Primeiro calculamos f1 0 f1 0 1 e08 18 1 Agora as derivadas parciais fxx y 8xey7 ey fx1 0 8 17 e0 8 fyx y 8xey7 x ey fy1 0 8 17 1 e0 8 A aproximacao linear Lx y e Lx y f1 0 fx1 0x 1 fy1 0y 0 7 Lx y 1 8x 1 8y Substituindo x 099 e y 002 L099 002 1 8099 1 8 002 L099 002 1 8001 016 L099 002 1 008 016 L099 002 108 Assim a aproximacao linear de 099e0028 e aproximadamente 108 b 0993 2013 6099201 Seja fx y x3 y3 6xy com x 099 e y 201 Para encontrar a aproximacao linear calculamos as derivadas parciais em torno de x 1 e y 2 Primeiro calculamos f1 2 f1 2 13 23 612 1 8 12 3 Agora as derivadas parciais fxx y 3x2 6y fx1 2 312 62 3 12 9 fyx y 3y2 6x fy1 2 322 61 12 6 6 A aproximacao linear Lx y e Lx y f1 2 fx1 2x 1 fy1 2y 2 Lx y 3 9x 1 6y 2 Substituindo x 099 e y 201 L099 201 3 9099 1 6201 2 L099 201 3 9001 6001 L099 201 3 009 006 L099 201 285 Assim a aproximacao linear de 0993 2013 6099201 e aproximadamente 285 8 c 401² 308² 202² Seja fxyz x² y² z² com x 401 y 308 e z 202 Para encontrar a aproximação linear calculamos as derivadas parciais em torno de x 4 y 3 e z 2 Primeiro calculamos f432 f432 4² 3² 2² 16 9 4 29 Agora as derivadas parciais fxxyz xx² y² z² fx432 429 fyxyz yx² y² z² fy432 329 fzxyz zx² y² z² fz432 229 A aproximação linear Lxyz é Lxyz f432 fx432x 4 fy432y 3 fz432z 2 Substituindo x 401 y 308 e z 202 L401 308 202 29 429 401 4 329 308 3 229 202 2 L401 308 202 29 429 001 329 008 229 002 L401 308 202 29 4 00129 3 00829 2 00229 L401 308 202 29 00429 02429 00429 L401 308 202 29 03229 29 5385 L401 308 202 5385 0325385 0325385 0059 L401 308 202 5385 0059 L401 308 202 5444 Assim a aproximação linear de 401² 308² 202² é aproximadamente 5444 Questao 6 Use a regra da cadeia para determinar dz dt e dw dt a z x2y xy2 x 2 t4 y 1 t3 Para encontrar dz dt precisamos aplicar a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relacao a x e y z x2y xy2 z x 2xy y2 z y x2 2xy Agora encontramos as derivadas de x e y em relacao a t x 2 t4 dx dt 4t3 y 1 t3 dy dt 3t2 Usando a regra da cadeia temos dz dt z x dx dt z y dy dt Substituımos z x z y dx dt e dy dt dz dt 2xy y2 4t3 x2 2xy 3t2 Substituımos x e y em termos de t x 2 t4 y 1 t3 Entao dz dt 22 t41 t3 1 t32 4t3 2 t42 22 t41 t3 3t2 Simplificamos cada termo individualmente para encontrar dz dt 22 t41 t3 22 2t3 t4 t7 4 4t3 2t4 2t7 1 t32 1 2t3 t6 2 t42 4 4t4 t8 22 t41 t3 22 2t3 t4 t7 4 4t3 2t4 2t7 Substituindo novamente na expressao 10 dz dt 4 4t3 2t4 2t7 1 2t3 t6 4t3 4 4t4 t8 4 4t3 2t4 2t7 3t2 Simplificando dz dt 5 6t3 2t4 t6 2t7 4t3 8 6t4 4t3 t8 2t7 3t2 Distributiva dz dt 20t3 24t6 8t7 4t9 8t10 24t2 18t6 12t5 3t10 6t9 Juntando os termos semelhantes dz dt 20t3 24t2 12t5 42t6 14t7 10t9 11t10 Assim dz dt 20t3 24t2 12t5 42t6 14t7 10t9 11t10 b z sinx cosy x πt y t Para encontrar dz dt aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relacao a x e y z sinx cosy z x cosx cosy z y sinx siny Agora encontramos as derivadas de x e y em relacao a t x πt dx dt π y t dy dt 1 2 t Usando a regra da cadeia temos dz dt z x dx dt z y dy dt Substituımos z x z y dx dt e dy dt dz dt cosx cosy π sinx siny 1 2 t Substituımos x e y em termos de t x πt y t Entao 11 dz dt cosπt cos t π sinπt sin t 1 2 t Simplificando dz dt π cosπt cos t sinπt sin t 2 t Assim a derivada de z em relacao a t e dz dt π cosπt cos t sinπt sin t 2 t c z x lnx 2y x sint y cost Para encontrar dz dt aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relacao a x e y z x lnx 2y z x lnx 1 z y 2 Agora encontramos as derivadas de x e y em relacao a t x sint dx dt cost y cost dy dt sint Usando a regra da cadeia temos dz dt z x dx dt z y dy dt Substituımos z x z y dx dt e dy dt dz dt lnx 1 dx dt 2 dy dt Substituımos x e y em termos de t x sint y cost Entao dz dt lnsint 1 cost 2 sint Simplificando dz dt lnsint 1 cost 2 sint 12 Assim a derivada de z em relacao a t e dz dt lnsint 1 cost 2 sint d w xy yz2 x et y et sint z et cost Para encontrar dw dt aplicamos a regra da cadeia considerando que w depende de x y e z e que x y e z dependem de t Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relacao a x y e z w xy yz2 w x y w y x z2 w z 2yz Agora encontramos as derivadas de x y e z em relacao a t x et dx dt et y et sint dy dt et sint et cost z et cost dz dt et cost et sint Usando a regra da cadeia temos dw dt w x dx dt w y dy dt w z dz dt Substituımos w x w y w z dx dt dy dt e dz dt dw dt y et x z2 et sint et cost 2yz et cost et sint Substituımos x y e z em termos de t x et y et sint z et cost Entao dw dt et sint et et et cost2 et sint et cost 2et sintet cost et cost et sint Simplificando 13 dwdt e2t sint et e2t cos²t et sint et cost 2e2t sint cost et cost et sint e2t sint et sintet et coste2t cos²t et sint e2t cos²tet cost 2e3t sint cost cost 2e3t sint cost sint e2t sint e2t sint e2t cost e2t cos²t sint e2t cos²t cost 2e3t cos²t sint 2e3t sint cost sint Simplificando os termos semelhantes dwdt 2e2t sint e2t cost e2t cos²t sint e2t cos²t cost 2e3t cos²t sint 2e3t sin²t cost Assim a derivada de w em relação a t é dwdt 2e2t sint e2t cost e2t cos²t sint e2t cos²t cost 2e3t cos²t sint 2e3t sin²t cost e w 2yex lnz x lnt² 1 y arctant z et Para encontrar dwdt aplicamos a regra da cadeia considerando que w depende de x y e z e que x y e z dependem de t Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relação a x y e z w 2yex lnz wx 2yex wy 2ex wz 1z Agora encontramos as derivadas de x y e z em relação a t x lnt² 1 dxdt 2tt² 1 y arctant dydt 11 t² z et dzdt et Usando a regra da cadeia temos dwdt wx dxdt wy dydt wz dzdt Substituímos wx wy wz dxdt dydt e dzdt dwdt 2yex dxdt 2ex dydt 1z dzdt Substituímos x y e z em termos de t x lnt² 1 y arctant z et Então dwdt 2 arctant elnt²1 2tt² 1 2elnt²1 11 t² 1et et Simplificando elnt²1 elnt²1 t² 1 Portanto dwdt 2 arctantt² 1 2tt² 1 2t² 1 11 t² 1 Simplificando dwdt 2 arctant 2t 2 1 1 dwdt 4t arctant 2 1 dwdt 4t arctant 3 Assim a derivada de w em relação a t é dwdt 4t arctant 3 1 Questão 7 a z xy x set y 1 set Para encontrar zs e zt aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de s e t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y z xy zx 1y zy xy² Agora encontramos as derivadas de x e y em relação a s e t x set xs et e xt set y 1 set implies fracpartial ypartial s et e fracpartial ypartial t set Usando a regra da cadeia temos fracpartial zpartial s fracpartial zpartial xfracpartial xpartial s fracpartial zpartial yfracpartial ypartial s Substituímos fracpartial zpartial x fracpartial zpartial y fracpartial xpartial s e fracpartial ypartial s fracpartial zpartial s frac1y cdot et left fracxy2 right cdot et Substituímos x e y em termos de s e t fracpartial zpartial s frac11 set cdot et fracset1 set2 cdot et Simplificando fracpartial zpartial s fracet1 set fracset1 set2 Agora para fracpartial zpartial t fracpartial zpartial t fracpartial zpartial xfracpartial xpartial t fracpartial zpartial yfracpartial ypartial t Substituímos fracpartial zpartial x fracpartial zpartial y fracpartial xpartial t e fracpartial ypartial t fracpartial zpartial t frac1y cdot set left fracxy2 right cdot set Substituímos x e y em termos de s e t fracpartial zpartial t fracset1 set fracset cdot set1 set2 Simplificando fracpartial zpartial t fracset1 set fracs2tetet1 set2 fracpartial zpartial t fracset1 set fracs21 set2 Assim as derivadas parciais de z em relação a s e t são fracpartial zpartial s fracet1 set fracset1 set2 fracpartial zpartial t fracset1 set fracs21 set2 b z arctan2x y x s2t y s lnt Para encontrar z s e z t aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de s e t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relacao a x e y z arctan2x y z x 2 1 2x y2 z y 1 1 2x y2 Agora encontramos as derivadas de x e y em relacao a s e t x s2t x s 2st e x t s2 y s lnt y s lnt e y t s t Usando a regra da cadeia temos z s z x x s z y y s Substituımos z x z y x s e y s z s 2 1 2x y2 2st 1 1 2x y2 lnt Substituımos x e y em termos de s e t z s 2 2st 1 2s2t s lnt2 lnt 1 2s2t s lnt2 Simplificando z s 4st lnt 1 2s2t s lnt2 Agora para z t z t z x x t z y y t Substituımos z x z y x t e y t z t 2 1 2x y2 s2 1 1 2x y2 s t Substituımos x e y em termos de s e t z t 2s2 1 2s2t s lnt2 s t 1 2s2t s lnt2 Simplificando z t 2s2 s t 1 2s2t s lnt2 Assim as derivadas parciais de z em relacao a s e t sao 17 fracpartial zpartial s frac4st ln t1 2s2t s lnt2 fracpartial zpartial t frac2s2 fracst1 2s2t s lnt2 c z exy any x s 2t y fracst Para encontrar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de s e t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y z exy any fracpartial zpartial x yexy any fracpartial zpartial y exy leftx any sec2y right Agora encontramos as derivadas de x e y em relação a s e t x s 2t implies fracpartial xpartial s 1 e fracpartial xpartial t 2 y fracst implies fracpartial ypartial s frac1t e fracpartial ypartial t fracst2 Usando a regra da cadeia temos fracpartial zpartial s fracpartial zpartial xfracpartial xpartial s fracpartial zpartial yfracpartial ypartial s Substituímos fracpartial zpartial x fracpartial zpartial y fracpartial xpartial s e fracpartial ypartial s fracpartial zpartial s yexy any cdot 1 leftexy leftx any sec2y right right cdot frac1t Substituímos x e y em termos de s e t fracpartial zpartial s leftfracst es2tfracst an leftfracst right right left es2tfracst lefts2t an leftfracstright sec2 leftfracstright right right cdot frac1t Simplificando fracpartial zpartial s fracst es2tfracst an leftfracstright fraces2tfracstt lefts2t an leftfracstright sec2 leftfracstright right Agora para fracpartial zpartial t fracpartial zpartial t fracpartial zpartial x fracpartial xpartial t fracpartial zpartial y fracpartial ypartial t Substituímos fracpartial zpartial x fracpartial zpartial y fracpartial xpartial t e fracpartial ypartial t fracpartial zpartial t yexy any cdot 2 leftexy leftx any sec2y right right cdot left fracst2 right Substituímos x e y em termos de s e t fracpartial zpartial t 2leftfracst es2tfracst an leftfracst rightright fracses2tfracstt2 lefts2t an leftfracstright sec2 leftfracstright right 18 Simplificando fracpartial zpartial t 2 fracst es2t fracst an leftfracstright fracses2t fracstt2 lefts2t an leftfracstright sec2 leftfracstright right Assim as derivadas parciais de z em relação a s e t são fracpartial zpartial s fracst es2tfracst an leftfracstright fraces2t fracstt lefts2t an leftfracstright sec2 leftfracstright right fracpartial zpartial t 2 fracst es2tfracst an leftfracstright fracses2t fracstt2 lefts2t an leftfracstright sec2 leftfracstright right d z sinx any x 3s t y s t Para encontrar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de s e t Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y z sinx any fracpartial zpartial x cosx any fracpartial zpartial y sinx sec2y Agora encontramos as derivadas de x e y em relação a s e t x 3s t implies fracpartial xpartial s 3 e fracpartial xpartial t 1 y s t implies fracpartial ypartial s 1 e fracpartial ypartial t 1 Usando a regra da cadeia temos fracpartial zpartial s fracpartial zpartial x fracpartial xpartial s fracpartial zpartial y fracpartial ypartial s Substituímos fracpartial zpartial x fracpartial zpartial y fracpartial xpartial s e fracpartial ypartial s fracpartial zpartial s cosx any cdot 3 sinx sec2y cdot 1 Substituímos x e y em termos de s e t fracpartial zpartial s cos3s t ans t cdot 3 sin3s t sec2s t Agora para fracpartial zpartial t fracpartial zpartial t fracpartial zpartial x fracpartial xpartial t fracpartial zpartial y fracpartial ypartial t Substituímos fracpartial zpartial x fracpartial zpartial y fracpartial xpartial t e fracpartial ypartial t fracpartial zpartial t cosx any cdot 1 sinx sec2y cdot 1 Substituímos x e y em termos de s e t 19 z t cos3s t tans t sin3s t sec2s t Assim as derivadas parciais de z em relacao a s e t sao z s 3 cos3s t tans t sin3s t sec2s t z t cos3s t tans t sin3s t sec2s t Questao 8 a w x2 y2 z2 x st y s cost z s sint Para encontrar w s e w t aplicamos a regra da cadeia considerando que w depende de x y e z e que x y e z dependem de s e t Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relacao a x y e z w x2 y2 z2 w x 2x w y 2y w z 2z Agora encontramos as derivadas de x y e z em relacao a s e t x st x s t e x t s y s cost y s cost e y t s sint z s sint z s sint e z t s cost Usando a regra da cadeia temos w s w x x s w y y s w z z s Substituımos w x w y w z x s y s e z s w s 2x t 2y cost 2z sint Substituımos x y e z em termos de s e t w s 2st t 2s cost cost 2s sint sint Simplificando w s 2st2 2s cos2t 2s sin2t 20 ws 2st² 2scos²t sin²t ws 2st² 2s Agora para wt wt wx xt wy yt wz zt Substituímos wx wy wz xt yt e zt wt 2x s 2y s sint 2z s cost Substituímos x y e z em termos de s e t wt 2st s 2s cost s sint 2s sint s cost Simplificando wt 2s²t 2s² cost sint 2s² sint cost wt 2s²t Finalmente avaliando em s 1 e t 0 wss1t0 2 1 0² 2 1 2 wts1t0 2 1² 0 0 Portanto as derivadas parciais são ws 2 wt 0 b z y² tanx x t²uv y u tv² Para encontrar zt zu e zv aplicamos a regra da cadeia considerando que z depende de x e y e que x e y dependem de t u e v Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y z y² tanx zx y² sec²x zy 2y tanx Agora encontramos as derivadas de x e y em relação a t u e v x t²uv xt 2tuv e xu t²v e xv t²u y u tv² yt v² e yu 1 e yv 2tv Usando a regra da cadeia temos zt zx xt zy yt Substituímos zx zy xt e yt zt y² sec²x 2tuv 2y tanx v² Substituímos x e y em termos de t u e v zt u tv²² sec²t²uv 2tuv 2u tv² tant²uv v² Simplificando zt 2tuvu tv²² sec²t²uv 2v²u tv² tant²uv Agora para zu zu zx xu zy yu Substituímos zx zy xu e yu zu y² sec²x t²v 2y tanx 1 Substituímos x e y em termos de t u e v zu u tv²² sec²t²uv t²v 2u tv² tant²uv Simplificando zu t²vu tv²² sec²t²uv 2u tv² tant²uv Finalmente para zv zv zx xv zy yv Substituímos zx zy xv e yv zv y² sec²x t²u 2y tanx 2tv Substituímos x e y em termos de t u e v zv u tv²² sec²t²uv t²u 2u tv² tant²uv 2tv Simplificando zv t²uu tv²² sec²t²uv 4tvu tv² tant²uv Agora avaliando em t 2 u 1 e v 0 x t²uv 2² 1 0 0 y u tv² 1 2 0² 1 sec²x sec²0 1 e tanx tan0 0 ztt2u1v0 2 2 1 1² 1 2 0² 1 0 4 zut2u1v0 2² 0 1² 1 2 1 0 0 zvt2u1v0 2² 1 1² 1 4 0 1 0 4 Portanto as derivadas parciais são zt 4 zu 0 zv 4 c t z secxy x uv y vw z wu Para encontrar tu tv e tw aplicamos a regra da cadeia considerando que t depende de x y e z e que x y e z dependem de u v e w Primeiro calculamos as derivadas parciais de t em relação a x y e z t z secxy tx z secxy tanxy y ty z secxy tanxy x tz secxy Agora encontramos as derivadas de x y e z em relação a u v e w x uv xu v e xv u e xw 0 y vw yu 0 e yv w e yw v z wu zu w e zv 0 e zw u Usando a regra da cadeia temos t u t x x u t y y u t z z u Substituımos t x t y t z x u y u e z u t u z secxy tanxy y v z secxy tanxy x 0 secxy w t u v z secxy tanxy y secxy w Substituımos x y e z em termos de u v e w t u v wu secuvvw tanuvvw vw secuvvw w t u wu v secuv2w tanuv2w vw secuv2w w Agora para t v t v t x x v t y y v t z z v Substituımos t x t y t z x v y v e z v t v z secxy tanxy y u z secxy tanxy x w secxy 0 t v u z secxy tanxy y w z secxy tanxy x Substituımos x y e z em termos de u v e w t v u wu secuvvw tanuvvw vw w wu secuvvw tanuvvw uv t v wu2 secuv2w tanuv2w vw wu w secuv2w tanuv2w uv Finalmente para t w t w t x x w t y y w t z z w Substituımos t x t y t z x w y w e z w t w z secxy tanxy y 0 z secxy tanxy x v secxy u t w v z secxy tanxy x secxy u Substituımos x y e z em termos de u v e w t w v wu secuvvw tanuvvw uv secuvvw u t w uvw2 secuv2w tanuv2w u secuv2w u 24 φθ 2r cosθr sinθ r sinθ3 r sinθ r cosθ2 3r cosθr sinθ2 r cosθ φθ 2r2 cosθ sinθ r3 sin3θ r sinθ r2 cos2θ 3r3 cosθ sin2θ r cosθ Simplificando φθ 2r3 cosθ sin2θ r4 sin4θ r3 cos3θ 3r4 cos2θ sin2θ φθ 2r3 cosθ sin2θ r4 sin4θ r3 cos3θ 3r4 cos2θ sin2θ φθ r3 cos3θ 2r3 cosθ sin2θ r4 sin4θ 3r4 cos2θ sin2θ e fxy x2 y2 x 2y x u y uv3 Para encontrar fu e fv aplicamos a regra da cadeia considerando que f depende de x e y e que x e y dependem de u e v Primeiro calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y fxy x2 y2 x 2y fx 2xy2 1 fy 2x2 y 2 Agora encontramos as derivadas de x e y em relação a u e v x u xu 12u e xv 0 y uv3 yu v3 e yv 3uv2 Usando a regra da cadeia temos fu fx xu fy yu Substituímos fx fy xu e yu fu 2xy2 1 12u 2x2 y 2 v3 Substituímos x e y em termos de u e v fu 2uuv32 1 12u 2u2 uv3 2 v3 fu 2u u2 v6 1 12u 2u uv3 2 v3 Questao 9 Use diferenciacao implıcita para determinar z x e z y a xy yz xz Para encontrar z x e z y aplicamos a diferenciacao implıcita a equacao dada xy yz xz Diferenciamos ambos os lados da equacao em relacao a x considerando z como uma funcao implıcita de x xxy xyz xxz Aplicamos a regra do produto e a diferenciacao implıcita xy x y x z x yz x z y x y z x y z x pois y x 0 xz x z x z x Entao y x z x y z x z x z x Rearranjamos para resolver z x y x y z x z x z x y x y z x x z x z y y z x z z x z y y Agora diferenciamos ambos os lados da equacao em relacao a y y xy y yz y xz Aplicamos a regra do produto e a diferenciacao implıcita xy y x yz y z y z y xz y xz y Entao 28 x z y z y xz y Rearranjamos para resolver z y x z y z y xz y x z xz y y z y x z x yz y z y x z x y b x2 y2 z2 2xy z Para encontrar z x e z y aplicamos a diferenciacao implıcita a equacao dada x2 y2 z2 2xy z Diferenciamos ambos os lados da equacao em relacao a x considerando z como uma funcao implıcita de x xx2 xy2 xz2 x2xy z Aplicamos a regra do produto e a diferenciacao implıcita x2 x 2x y2 x 0 pois y e constante em relacao a x z2 x 2z z x 2xy z x 2y z 2x z x Entao 2x 0 2z z x 2y z 2x z x Rearranjamos para resolver z x 2x 2z z x 2y z 2x z x 2x 2z z x 2x z x 2y z 2x 2z z x 2x z x 2y 2z 2x 2x z x 2z z x 2y 2z 29 2x 2y 2x zx 2z zx 2x 2y 2x 2z zx zx 2x 2y 2x 2z Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação a y y x2 y y2 y z2 y 2xy z Aplicamos a regra do produto e a diferenciação implícita x2y 0 pois x é constante em relação a y y2y 2y z2y 2z zy 2xy zy 2x y zy 2x 1 zy Então 0 2y 2z zy 2x 1 zy Rearranjamos para resolver zy 2y 2z zy 2x 2x zy 2y 2x 2x zy 2z zy 2y 2x 2x 2z zy zy 2y 2x 2x 2z c xyz cosx y z Para encontrar zx e zy aplicamos a diferenciação implícita à equação dada xyz cosx y z Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x considerando z como uma função implícita de x x xyz x cosx y z Aplicamos a regra do produto e a diferenciação implícita xyzx yz x yzx yz x y zx z yx yz xy zx pois yx 0 x cosx y z sinx y z 1 zx Então yz xy zx sinx y z 1 zx Rearranjamos para resolver zx yz xy zx sinx y z sinx y z zx yz xy zx sinx y z zx sinx y z yz xy sinx y z zx sinx y z zx sinx y z yz xy sinx y z Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação a y y xyz y cosx y z Aplicamos a regra do produto e a diferenciação implícita xyzy xz y xzy xz y x zy z xy xz yx zy pois xy 0 y cosx y z sinx y z 1 zy Então xz yx zy sinx y z 1 zy Rearranjamos para resolver zy xz yx zy sinx y z sinx y z zy xz yx zy sinx y z zy sinx y z xz yx sinx y z zy sinx y z zy sinx y z xz yx sinx y z