Funções de Varias Variaveis

6ª Lista de Exercícios FVV Seções 151 a 154 Prof Valdecir Marvulle UFABC 1 Calcule a integral iterada a b c d e f g h i j k 2 Calcule a integral dupla a b c d e f g h i é limitada por e j é região triangular com vértices e k l m onde é a região delimitada por e n onde é a região delimitada por e o é região triangular limitada pela reta e os eixos coordenados 3 Determine o volume do sólido que é limitado acima pelo plano e abaixo pelo retângulo 4 Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide circular e acima do retângulo 5 Determine o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos e 6 Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pela parábola e pelo plano 7 Determine o volume do sólido abaixo do parabolóide e acima da região limitada por e 8 Determine o volume do sólido abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices e 9 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e no primeiro octante 10 Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies e 11 Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies e 12 Calcule a área da elipse 13 Determine a área de região delimitada pelas curvas e 14 Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas a b c 15 Calcule a integral trocando a ordem de integração a b 16 Calcule a integral dada colocandoa em coordenadas polares a onde é o disco com centro na origem e raio 5 b onde é a região do primeiro quadrante compreendido entre os círculos e c onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo d onde e f onde é a região delimitada por e g onde é a região delimitada por h onde é a região delimitada por i onde é a região delimitada por j onde é a região delimitada por Interprete geometricamente 17 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado a Abaixo do parabolóide e acima do disco b Uma esfera de raio c Limitado pelo parabolóide e pelo plano 7ª Lista de Exercícios FVV Seções 156 a 158 Prof Valdecir Marvulle UFABC 1 Calcule a integral iterada a b c d 2 Calcule a integral tripla a onde b onde está abaixo do plano e acima do plano limitado pelas curvas e c onde é o tetraedro com vértices e d onde é limitado pelos planos e e onde é limitado pelos planos e f onde é limitado pelo cilindro e pelos planos e no primeiro octante 3 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado a O sólido limitado pelo cilindro elíptico e os planos e b O sólido limitado pelo cilindro e os planos e 4 O valor médio de uma função sobre uma região sólida é definido como onde é o volume de Determine o valor médio da função sobre o tetraedro com vértices e 5 Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as seguintes integrais a onde é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e b onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide c onde é o sólido que está entre os cilindros e acima do plano e abaixo do plano d onde é o sólido que está dentro do cilindro acima do plano e abaixo do cone e f onde está delimitada pelos planos e e pelos cilindros e 6 Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais a onde é a bola unitária b onde está contido entre as esferas e no primeiro octante c onde está contido entre as esferas e no primeiro octante d onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera e onde está entre as esferas e e acima do cone f g onde é a região hemisférica que está acima do plano e abaixo da esfera h onde está delimitado pela esfera no primeiro octante 7 Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pelas integrais abaixo e calcule tais integrais a b 8 Determine o volume do sólido que está dentro da esfera acima do plano e abaixo do cone 9 Determine o volume do sólido que está dentro da esfera e entre os cones e 10 Determine o volume do sólido que está dentro da esfera e fora do cilindro 1 a ₁³ ₀¹ 14xy dx dy ₁³ x 4y x²2 ₀¹ dy ₁³ 12y dy y y² ₁³ 3 3² 1 1² 10 b ₂⁴ ₁¹ x² y² dy dx ₂⁴ x² y y³3 ₁¹ dx ₂⁴ 2x² 23 dx 2 x³3 23 x ₂⁴ 23 x³ x ₂⁴ 23 68 10 1163 c ₀π2 ₀π2 sen x cos y dy dx ₀π2 sen x sen y ₀π2 dx ₀π2 sen x dx cos x ₀π2 cos π2 cos 0 1 d ₁⁴ ₀² x y dx dy ₁⁴ x²2 y x ₀² dy ₁⁴ 2 2y dy 2y 2 y32 32₁⁴ 2y 43 y32₁⁴ 8 323 2 43 6 363 18 e ₁⁴ ₁² xy yx dy dx ₁⁴ x ln y y²2x₁² dx ₁⁴ ln 2 x x2 12x dx ln 2 x²2 2 ln x 12 ln x ₁⁴ 5 ln 2 12 ln 2 92 ln 2 f ₀ln2 ₀ln5 e2x y dx dy ₀ln2 12 e2x y ₀ln5 dy ₀ln2 12 e2 ln 5 y ey dy 12 eln 5² ₀ln2 ey dy 12 ₀ln2 ey dy 5 ey ₀ln2 12 ey ₀ln2 512 1 12 12 1 94 g ₀¹ ₀ˣ xy x² y² 1 dy dx ₀¹ x 1x²2x² dμ 2 μ dx ₀¹ x2 μ12 1x²2x² dx ₀¹ x2 2x² 1x² dx ₁² z1 z dz2 12 23 z132 23 z32 ₁² 13 332 2 232 1 3 13 43 2 h ₀¹ x2x 2x 4y dy dx ₀¹ 2xy 2 y² x2x dx ₀¹ 4x² 8 x² 2 x² 2 x² dx ₀¹ 8 x² dx 83 x³ ₀¹ 83 i ₀¹ ₀eln x 1 e ey dy dx ₀¹ ₀ln x ey e ey 1 dy dx ₁e e1ex 1 1 z dze dx e1 ₁e e1ex 1 1z dz dx e1 ₁e ln z ex 1e1 dx e1 ₁e ln ex 1 e1 dx e1 ₁e ln ex 1 ln e1 dx e1 t ln t t ₀e1 e1 x ln x x ₁e 1 e1 limt0 t ln t 1 j ₀¹ ₀1y² x dx dy ₀¹ x²2 ₀1y² dy ₀¹ 12 1 y² dy 12 y y³3 ₀¹ 12 1 13 13 k ₀¹ x²x 2 x y dy dx 2 ₀¹ x y²2 x²x dx ₀¹ x x x⁴ dx ₀¹ x² x⁵ dx x³3 x⁶6 ₀¹ 13 16 16 2 a R 6 x² y³ 5 y⁴ dA ₀³ ₀¹ 6 x² y³ 5 y⁴ dy dx ₀³ 6 x² y⁴ 4 y⁵ ₀¹ dx ₀³ 6 x² 4 1 dx 12 x³ x ₀³ 272 3 b R x y ey dA ₀² ₀¹ x y ey dy dx ₀¹ x²2 ₀¹ y ey dy 12 ₀¹ y ey dy 12 y ey ₀¹ ₀¹ ey dy 12 e e2₀¹ 12 c R x y² x² 1 dA 0¹ 3³ x y² x² 1 dy dx 0¹ x 1 x² y³ 3 3³ dx 0¹ 18 x 1 x² dx 9 0¹ 2 x 1 x² dx 9 1² du u 9 ln 2 μ x² y² dμ 2 x dx d R x senx y dA 0π6 0π3 x senx y dy dx 0π6 x cosx y0π3 dx 0π6 x cos x 0π6 x cosx π3 dx x sen x0π6 0π6 sen x dx x senx π30π6 0π6 senx π3 dx π12 cos x0π6 π6 senπ2 cosx π30π6 3 2 1 π12 1 3 2 π12 e R 1x y dA 1² 0¹ dy dxx y 1² lnx y0¹ dx 1² lnx 1 ln x dx x 1 lnx 1 x 11² x ln x x1² 3 ln 3 3 2 ln 2 2 2 ln 2 2 1 3 ln 3 4 ln 2 f R x³ y² dA 0² xˣ x³ y² dy dx 0² 2 x³ y³ 30ˣ dx 23 0² x⁶ dx 2 x⁷ 210² 2⁸ 21 g R 2 yx² 1 dA 0¹ 0x 2 yx² 1 dy dx 0¹ 11 x² y²0x dx 0¹ x x² 1 dx 12 lnx² 10¹ ln 22 h R eyx dA 1² y³ eyx dx dy 1² y eyxy³ dy 1² y ey² ey dy 1² y ey² dy e e 12 1⁴ eu du e 12e⁴ e u y² du 2 y dy i R x cos y dA 0¹ 0ˣ² x cos y dy dx 0¹ x sen x² 2 dx 12 0¹ sen u du cos 1 12 1 cos 12 u x² j R y³ dA 1³ 2x4x1 y³ dy dx R xy 1 x 3 2x 4 y x 1 1³ y⁴42x4x1 dx 14 1³ x1⁴ 2⁴ x2⁴ dx 14 x1⁵51³ 16 x2⁵51³ 14 2⁵5 165 165 14 0 0 k R x ex y dA 1³ 0¹ x ex y dy dx 1³ x 1x ex y0¹ dx 1³ ex 1 dx e³ e 2 l R sen x sen y dA 0π2 0π2 sen x sen y dy dx 0π2 sen x cos y0π2 dx 0π2 sen x dx cos x0π2 1 m R 8 x y dA R xy ℝ² 2 x 2 x² y 4 2² x²⁴ 8 x y dy dx 2² 8 x y y²2x²⁴ dx 2² 48 x 8 x x² 8 x⁴ 2 dx 2² 24 4 x 8 x² x³ 2 dx 2 y x 2 x² 83 x³ x⁴ 4 x⁵ 10 2² 896 15 n R x² y² dA R xy ℝ² 1 x 2 x y 1x 1² x1x x²y² dy dx 1² x² 1yx1x dx 1² x² x 1x dx 1² x³ x dx x⁴ 4 x² 21² 4 2 14 12 2 14 94 3 Note que a região R está em Z0 no plano xy portanto o volume do sólido é dado por A é a região do domínio de integração V A 1dv 10 14 02x5y1 dzdydx 10 14 2x 5y 1 dy dx 10 2xy 52 y2 y14 dx 10 8x 40 4 2x 52 1 dx 10 6x 43 52 dx 3x2 812 x 10 3 812 752 4 V A 1dV 22 33 0x2 y2 1 dzdydx 22 33 x2 y2 dy dx 22 x2 y y3333 dx 22 6x2 232 dx 2x3 18x 22 32 72 104 5 V A 1dv 01 01 0xx2y 1dz dy dx 01 01 xx2y dy dx 01 x x2y323201 dx 01 23 x x2132 x232 dx 01 23 x x2132 dx 01 23 x4 dx u x21 12 13 u32 du 215 x5 01 13 u525212 215 215 252 1 215 27215 415 82 415 6 V 02 33 09y2 1 dzdydx 02 33 9 y2 dy dx 02 9y y3333 dx 02 27 9 dx 18x 02 36 Devemos integrar no 1 octante portanto x 0 y 0 e z 0 Além disso se z0 então 09y2 y 3 mas pela restrição do 1 octante y3 são as interseções du parabolo no eixo yz 11 V A 1dv 44 16x216x2 010x 1 dz dy dx 44 16x216x2 10x dy dx 44 10x y 16x216x2 dx 44 210x 16x2 dx 20 44 16 x2 dx 2 44 x 16x2 dx representa a metade da área de um círculo de raio 4 20 π 422 4 04 x 16x2 dx u 16x2 160π 2 016 u du 160 π 2 u322 3 160 π 43 1632 0 160 π 2563 12 Vamos deixar a elipse em sua forma canônica x2 4y2 4x 0 x2 4x 4 4y2 4 x22 4 y2 4 assim x2222 y2 1 y 1 x224 Vamos calcular a área A1 da parte superior da elipse primeiro e por simetria 2 vezes A1 Atotal elipse Assim Atot 2 A1 2 04 1 x224 dy dx 2 04 1 x224 dx x 2 2 senθ dx 2 cosθ dθ 4 π2π2 1 sen2 θ 2 cosθ dθ 8 0π2 1 cos 2θ2 dθ 4 0π2 1 cos 2θ dθ 2 π 12 sen 2θ 0π2 2 π A interseção de y x³ com a reta y x 2 é dada por x³ 2 x x³ x 2 0 a única raiz real dessa equação é dada por x 1 Não é necessária esse argumento A area pode ser obtida por A integral de 0 a 2 de integral de x³ a 2x de 1 dy dx integral de 0 a 2 de 2 x x³ dx 2x x²2 x⁴4 ₀² 4 2 4 2 14 a Note que da expressão integral temos 0 y 4 e 0 x y2 geometricamente isso representa as duas maneiras de obter a mesma area começamos com A₁ e vamos agora para A₂ A₁ integral de 0 a 4 de integral de 0 a y2 de fxy dx dy A₂ integral de 0 a 2 de integral de 0 a 4x de fxy dy dx b 0 x 1 e x³ y x² originalmente integração sob x não é uso x olhando a integração sob o eixo y temos 0 y 1 raiz quadrada y x raiz cúbica y logo integral de 0 a 1 de integral de x³ a x² de fxy dy dx integral de 0 a 1 de integral de raiz quadrada y a raiz cúbica y de fxy dx dy c mesma ideia que o anterior de integrar sobre outro eixo Assim geometricamente e simples ver originalmenteee 0 x 1 e 2x y 3x agora 0 y 3 e y3 x y2 15 a Vamos trocar a ordem como feito em 14 originalmente 0 y 1 e 3y x 3 agora 0 x 3 e x3 y 1 integral de 0 a 1 de integral de 3y a 3 de ex² dx dy integral de 0 a 3 de integral de x3 a 1 de ex² dy dx integral de 0 a 3 de ex² y₁ˣ₃ dx integral de 0 a 3 de 1 x3 ex² dx integral de 0 a 3 de ex² dx integral de 0 a 3 de x3 ex² dx integral de 0 a 3 de ex² dx 16 integral de 0 a 9 de eu du 16 1 e9 integral de 0 a 3 de ex² dx integral não elementar b Para calcular esta integral não é necessário trocar a ordem podemos calcular diretamente ₀³ 𝑦²⁹ y cosy² dx dy ₀³ y cos y² x 𝑦²⁹ dx dy ₀³ 9 y² y cos y³ dy t y² ₀⁹ 9 t cos t dt2 92 ₀⁹ cos t dt 12 ₀⁹ t cos t dt 92 sen t ₀⁹ 12 ₀⁹ t cos t dt por partes 92 sen 9 12 t sen t ₀⁹ ₀⁹ sen t dt 42 ₀⁹ sen t dt 12 cos t ₀⁹ 12 cos 9 1 1 cos 92 7ª lista 1 a ₀¹ ₀² ₀𝑥𝑧 6xy dy dx dz ₀¹ ₀² 3 x y² ₀𝑥𝑧 dx dz ₀¹ ₀² 3 x x z² dx dz ₀¹ ₀² 3 x x² 2 x z z² dx dz ₀¹ ₀² 3 x³ 6 x² z 3 x z² dx dz ₀¹ 34 x⁴ 3 x³ z 32 x² z² ₀² dz ₀¹ 34 z⁴ 2 z⁴ 32 z⁴ dz 174 z⁵5 ₀¹ 1720 b ₁² ₀ˣ ₀¹y x³ y² z dz dy dx ₁² ₀ˣ x³ y² z²2 ₀¹y dy dx ₁² ₀ˣ x³ y³3 y⁴4 y⁵5 ₀ˣ dy dx ₁² x³ x³3 x⁴2 x⁵5 dx ₁² x⁶3 x⁷2 x⁸5 dx x⁷21 x⁸16 x⁹95 ₁² 169957115920 simplificando c ₀³ ₀¹ ₀¹z² z ey dx dz dy ₀³ ₀¹ z ey x ₀¹z² dz dy ₀³ ₀¹z² z ey dz dy u z² ₀³ ey ₀¹ u du dy 12 ₀³ ey μ3232 ₀¹ dy 13 ₀³ ey dy 1 e³3 d ₀¹ ₀z² ₀y zey² dx dy dz ₀¹ ₀² zey² x ₀y dy dz ₀¹ ₀z² z y ey² dy dz u y² ₀¹ z2 ₀z² eu du dz ₀¹ z2 ez² 1 dz tz² 14 ₀¹ et 1 dt 14 et t ₀¹ 14 e 1 14 2 a V 2x dV ₀² ₀4y² ₀ʸ 2x dz dx dy ₀² ₀4y² 2 x y dx dy ₀² y x² ₀4y² dy ₀² y 4 y² dy 2 y² y⁴4 ₀² 8 4 4 b graph V 6xy dV ₀¹ x¹ ₀¹xy 6xy dz dy dx ₀¹ x¹ 6xy 1xy dy dx ₀¹ x¹ 6xy 6x y² 6x y² dy dx ₀¹ 3 x y² 3 x y² 2 k y³ x¹ dx ₀¹ 3x 3x² 2x 3x² 3x³ 2x52 dx 3x²2 x³ x² x³ 34 x⁴ 2x52 ₀¹ 32 1 34 2 34 c graph No plano xy é a reta y 2x 2 A face do tetraedro é o plano z 3 32 y 3x V x y dV ₀¹ ₀2x2 ₀ 3 32 y 3x x y dz dy dx ₀¹ ₀2x2 x y 3 32 y 3x dy dx ₀¹ 32 x y² x2 y³ 32 x² y³ ₀2x2 dx 12 ₀¹ 3 x 2x2² x 2 2x³ 3 x² 2 2x dx 2 ₀¹ 3x 1x² 2x 1x 3x² 1x dx 2 ₀¹ x 3 x³ 3 x² x⁴ dx 2 x² 34 x⁴ x³ x⁵5 ₀¹ 2 1 39 1 15 1110 d graph V z dV ₀¹ ₀¹x ₀¹z z dy dz dx ₀¹ ₀¹x z 1 z dz dx ₀¹ z²2 z³3 ₀¹x dx ₀¹ 1x²2 1x³3 dx ₁⁰ μ²2 μ³3 dμ ₀¹ μ²6 μ³12 ₀¹ 16 112 112 e ᵥ y dV ₀² ₀²ˣ ₀⁶²ˣ²ʸ y dz dy dx ₀² ₀²ˣ y6 2x 2y dy dx 2₀² y² x y²2 y³3 ₀²ˣ dx ₀² 22x² x2x² 23 2x³ dx ₀² 2x³ 23 2x dx 13 ₀² 2x³ dx u 2x 13 ₀² u³ du 112 u⁴ ₀² 63 3 a 9 x² z² 6 x 1 z²4 se x 0 então z² 4 z 2 logo V ₂² 1z²4 1z²4 ₀ 22 dz dy dx ₂² 2z2 1 z²4 dz ₂² z 1 z²4 dz 2₂² 4 z² dz 2π 2² 2 4π 4 O volume do tetraedro formado pelos vértices é dado por VE 16 Assim f médio 116 ₑ x y z dV 6 ₀¹ ₀¹ˣ ₀¹ˣʸ x y z dz dy dx 6 ₀¹ ₀¹ˣ x y1 x y 12 1 x y² dy dx 6 ₀¹ ₀¹ˣ 12 x y x² y²2 dy dx 6 ₀¹ 12 y x y²2 x² y2 y³6₀¹ˣ dx ₀¹ 31x 3x 1x² 3x² 1x 1x³ dx ₀¹ x³ 3x 2 dx x⁴4 32 x² 2x ₀¹ 14 32 2 34 5 Usamos que x r cos θ com jacobiano r Assim y r sen θ z z a Não há restrição quanto a quadrantes então 0 θ 2π e 0 r 4 logo E x² y² dV 02π 04 54 r² cos²θ r² sen²θ r dz dr dθ 02π 04 54 r² dz dr dθ 2π 04 9 r² dr 18π3 r³ 04 384π b 1x²y² z 0 θ π2 0 r 1 0 z 1 E x³ xy² dV 0π2 01 01x²y² r⁴ cos θ dz dr dθ 0π2 01 r⁴ cos θ dr dθ 0π2 cos θ r⁵5 01 dθ 15 seno0π2 15 c 0 θ 2π 1 r 4 0 z r cos θ 2 E y dV 02π 14 02 r cos θ r² seno dz dr dθ 02π 14 r² seno 2 r cos θ dr dθ 02π 2 r³3 seno θ r³2 seno 2θ14 dθ 02π 1263 seno θ 632 seno 2θ dθ 1263 0 632 cos 2θ02π 0 25 d E x² dV 02π 05 02 r³ cos² θ dz dr dθ 02π 05 2 r³ cos² θ dr dθ 02π r⁴2 cos² θ dθ 252 02π cos² θ dθ 252 π 0 θ 2π 0 r 5 0 z 2 e 11 1x²1x² x² y²2 x² y² x² y²32 dz dy dx 02π 02 r²2r² r³ r dz dr dθ 2π 02 r⁴ 2r² r² dr 2π 02 2r⁴ r⁸ dr 2π 25 r⁵ r⁹902 π 2⁷5 2¹⁰9 26 6 Usaremos as coords x ρ sen φ cos θ com jacobiano ρ² sen φ y ρ sen φ sen θ z ρ cos φ a 02π 0π 01 ρ² ρ² sen φ dρ dφ dθ 2π5 0π sen φ dφ 2π5 1 1 4π5 b E z dV 0π2 0π2 14 ρ cos φ ρ² sen φ dρ dφ dθ π2 0π2 ρ⁴4 14 cos φ sen φ dφ π8 64 14 0π2 sen 2φ dφ π8 64 14 cos 2φ0π2 14 64 π4 c Triple integral over E of x ex2 y2 z2 dV integral from 0 to 2π integral from 0 to π2 integral from 0 to 4 of rho sinphi costheta erho2 rho2 sinphi d rho d phi d theta 14 integral from 0 to π2 integral from 0 to π2 of erho4 e sinphi costheta d theta d phi e4 e4 d Triple integral over E of sqrtx2 y2 z2 dV integral from 0 to 2π integral from 0 to π6 integral from 0 to 2 of rho rho sinphi d rho d phi d theta 84 integral from 0 to 2π integral from 0 to π6 of sinphi d phi d theta 4π integral from 0 to π6 sinphi d phi 4π 1 sqrt32 e Triple integral over E of xyz dV integral from 0 to 2π integral from 0 to π3 integral from 0 to 4 of rho sinphi costheta rho sinphi sintheta rho cosphi rho2 sinphi d rho d phi d theta 1646 26 integral from 0 to 2π integral from 0 to π3 of sin3phi cosphi 12 sin 2theta d phi d theta 11246 26 integral from 0 to 2π of 12 sin 2theta d theta integral from 0 to π3 of sin3phi cosphi d phi 0 f integral from 0 to 3 integral from 0 to sqrt9 y2 integral from 0 to sqrt9 x2 y2 of x2 y2 z232 dz dx dy integral from 0 to 2π integral from 0 to π4 integral from 0 to 3 of rho3 rho2 sinphi d rho d phi d theta 2π6 36 integral from 0 to π9 sinphi d phi 35 π 1 sqrt22 g Triple integral over E of sqrtx2 y2 dV integral from 0 to 2π integral from 0 to π integral from 0 to 1 of rho2 sinphi rho sinphi d rho d phi d theta 2π4 integral from 0 to 2π of sin2phi d phi π4 integral from 0 to 2π of 1 cos 2phi d phi π42π π2 4 7 a O sólido corresponde aos pontos em coord cilíndricas que satisfazem 0 θ π2 0 r 2 e 0 z 9 r2 integral from 0 to π2 integral from 0 to 2 integral from 0 to 9 r2 of r dz dr dθ integral from 0 to π2 integral from 0 to 2 of r 9 r2 dr dθ π2 integral from 0 to 2 of 9r r3 dr π2 92 r2 r4401 π292 14 17π4 b corresponde a 0 ρ 3 0 θ π2 0 φ π6 integral from 0 to π6 integral from 0 to π2 integral from 0 to 3 of rho2 sinphi d rho d theta d phi integral from 0 to π6 integral from 0 to π2 9 sinphi d theta d phi 9π2 integral from 0 to π6 sinphi d phi 9π21 sqrt32