Cálculo Vetorial - Solução de Problemas e Aplicações

lim xy00 x y x2 y2 0 3 25 pontos Mostre que os planos tangentes à superfí cie x y z 1 cortam os eixos coordenados nos pontos x1 0 0 0 y1 0 e 0 0 z1 cuja soma x1 y1 z1 é uma constante Determine também esta constante Solução Se F R3 R é dada por Fx y z x y z 1 então a superfí cie S de equação x y z 1 é a superfí cie de nível 0 de Fx y z Assim o gradiente Fx y z é ortogonal à superfí cie de nível S Mas Fx y z 1 2x 1 2y 1 2z de modo que a equação de um plano tangente Π a S num ponto x0 y0 z0 de S é dada por 1 2x0 x 1 2y0 y 1 2z0 z d 0 onde d é uma constante real Como x0 y0 z0 é também um ponto de Π então 1 2x0 x0 1 2y0 y0 1 2z0 z0 d 0 ou seja d x0 2 y0 2 z0 2 12 x0 y0 z0 12 pois x0 y0 z0 1 Desta forma a equação de um plano tangente Π a S num ponto x0 y0 z0 de S é dada por 1 2x0 x 1 2y0 y 1 2z0 z 12 Temos que Π corta o eixo coordenado Ox no ponto x1 0 0 donde obtemos que 1 2x0 x1 12 Analogamente 1 2y0 y1 12 e 1 2z0 z1 12 Logo x1 x0 y1 y0 e z1 z0 Portanto x1 y1 z1 x0 y0 z0 1 4 25 pontos Seja f R3 R dada por fu v w euv 3w v2 Considere as funções ux y x y vx y senx y e wx y xy Para a função gx y fux y vx y wx y encontre o versor v tal que a derivada direcional g v tenha valor máximo em P 1 1 Solução Sabemos que a derivada direcional g v 1 1 é máxima na direção e sentido do vetor gradiente g1 1 cujo versor é v g1 1 g1 1 Mas pela regra da cadeia g x f u u x f v v x f w w x euv v 1 euv u 6v cosx y 1 3y e g y f u u y f v v y f w w y euv v 1 euv u 6v cosx y 1 3x Em x y 1 1 temos u1 1 2 v1 1 sen0 0 e w1 1 1 Logo g x 1 1 euv v 1 euv u 6v cosx y 1 3y 2 3 5 e g y 1 1 euv v 1 euv u 6v cosx y 1 3y 2 3 1 Portanto v 1 26 5 1 Boa prova