Cálculo-de-Limites-e-Planos-Tangentes-em-R2-e-R3

1 25 pontos Seja f D R² R dada por fxy yx²y Determine e represente o domínio máximo de f e diga se f pode ser estendida continuamente a R² Solução A única restrição para o domínio de f é que x² y 0 Observamos que x² y 0 e que x² y 0 se e somente se x² 0 e y 0 ou seja x 0 e y 0 Deste modo o domínio máximo de f é Domf xy R² xy 00 R² 00 Geometricamente o domínio de f é todo R² sem a origem como está ilustrado na Figura 1 Figura 1 R² 00 Se xy 00 então fxy yx² y é uma função racional quociente de funções polinomiais de modo que f é contínua para xy 00 Para que que f seja contínua em R² devemos definila em 00 de modo que f00 lim xy00 fxy Ao longo da curva γt 0t com t 0 cuja imagem pertence ao domínio de f temos que fγt tt Mas lim t0 fγt lim t0 tt 1 enquanto que lim t0 fγt lim t0 tt 1 donde concluímos que não existe lim xy00 fxy Portanto f não pode ser estendida continuamente a R² 2 25 pontos Calcule caso exista lim xy00 xy³x² y² Solução Temos que xy³ x³ 3x²y 3xy² y³ Assim lim xy00 xy³x² y² lim xy00 x³ 3x²y 3xy² y³x² y² Mas lim xy00 x³x² y² lim xy00 x²x² y² x 0 0 limitada lim xy00 3x²yx² y² lim xy00 x²x² y² 3y 0 0 limitada lim xy00 3xy²x² y² lim xy00 y²x² y² 3x 0 0 limitada e lim xy00 y³x² y² lim xy00 y²x² y² y 0 0 limitada Portanto lim xy00 xy³x² y² 0 3 25 pontos Mostre que os planos tangentes à superfície x y z 1 cortam os eixos coordenados nos pontos x₁00 0y₁0 e 00z₁ cuja soma x₁ y₁ z₁ é uma constante Determine também esta constante Solução Se F R³ R é dada por Fxyz x y z 1 então a superfície S de equação x y z 1 é a superfície de nível 0 de Fxyz Assim o gradiente Fxyz é ortogonal à superfície de nível S Mas