Funções de Duas Variáveis

1ª Lista de Exercícios FVV Seção 141 Prof Valdecir Marvulle UFABC 1 Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções a b c d e f g h i j k l m n o p q r s 2 Desenhar as curvas de nível para os valores de dado a b c d e f g h i 3 Desenhar as curvas de nível e fazer um esboço do gráfico dos seguintes paraboloides a b c d 4 Encontrar a curva de intersecção do gráfico da função dada com os planos dados representando graficamente a com os planos e b com os planos e c com os planos e 5 Sabendo que a função representa a temperatura nos pontos da região do espaço delimitada pelo elipsoide perguntase a Em que ponto a temperatura é mais alta possível b Se uma partícula se afasta da origem deslocandose sobre o eixo positivo dos sofrerá aumento ou diminuição da temperatura c Em que pontos a temperatura é mais baixa possível 6 Uma camada fina de metal localizada no plano tem temperatura no ponto As curvas de nível de são chamadas de isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por 7 Se é o potencial elétrico de um ponto do plano as curvas de nível de são chamadas curvas equipotenciais porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico Esboce algumas curvas equipotenciais de 8 Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível a b c d 1Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções O termo do denominador deve ser positivo logo 𝑥2 𝑦2 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥2 𝑦2𝑜𝑢 𝑦2 𝑥2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 𝑦 𝑥 Assim Domínio 𝑥 𝑦 ℝ 𝑥 𝑦 𝑥 Tirando a fronteira da figura claro Como nesse caso 𝑧 1 𝑥2𝑦2 a única restrição é que z deve ser positivo estritamente Logo Imagem 0 Única restrição que temos aqui é 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 Logo só não podemos ter xyz 000 assim Domínio ℝ3 000 Como 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 então w0 e a equação possui sempre solução para qualquer valor no domínio Logo Imagem 0 Restrição 𝑥2 𝑦2 1 0 logo 𝑥2 𝑦2 1 logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 1 Graficamente No caso incluindo a fronteira do círculo Como 𝑥2 𝑦2 1 0 e 𝑧 𝑥2 𝑦2 1 possui solução para z maior ou igual a zero então temos que Imagem 0 Temos as restrições i4 𝑥2 𝑦2 0 logo 𝑥2 𝑦2 16 ii𝑥2 𝑦2 0 o que já acontece em todo plano Assim Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 16 Graficamente Claro que não incluindo a fronteira do círculo Como lnx é uma função crescente e 4 𝑥2 𝑦2 4 então ln4 𝑥2 𝑦2 ln 4 Logo Imagem ln4 Temos de restrição i 𝑥2𝑦2𝑥 𝑥2𝑦2𝑥 0 por estar dentro do log Temos 2 opções 1 𝑥2 𝑦2 𝑥 0 𝑒 𝑥2 𝑦2 𝑥 0 o que nos resulta em 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑥 logo 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑦2 0 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 0 2 𝑥2 𝑦2 𝑥 0 𝑥2 𝑦2 𝑥 0 o que nos faz falar que 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑦2 0 o que não ocorre nunca ii 𝑥2 𝑦2 0 o que sempre ocorre iii 𝑥2 𝑦2 𝑥 0 ou seja o que não pode ocorrer é 𝑦 0 e 𝑥 0 Logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 𝑥 0 Graficamente Seria o complemento dessa reta no plano y0 x0 Para imagem não há restrições logo Imagem ℝ Restrição 𝑦 0 e é a única Logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 0 Graficamente seria o complemento do eixo x Como 𝑧 𝑒 𝑥 𝑦 𝑧 0 e dentro do domínio não há outra restrição para z Logo Imagem 0 Restrição 9 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 ou seja 𝑥2 𝑦2 𝑧2 9 Em outras palavras no interior da esfera de raio 3 Domínio 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 9 Graficamente Claro que tirando a fronteira e somente o interior da esfera No caso w é no mínimo 1 9020202 1 3 e ele vai aumentando a medida que chegamos perto da fronteira do domínio logo Imagem 1 3 Nesse caso não há restrição alguma no domínio como são 2 variáveis Domínio ℝ2 Como 𝑥2 𝑦2 0 então 𝑓𝑥 𝑦 0 logo Imagem 0 Restrição 𝑥 𝑦 3 0 dentro de log logo 𝑦 𝑥 3 então Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑥 3 Graficamente Claro que desconsideramos a fronteira da reta Como ln𝑥 𝑦 3 𝑧 possui solução sempre que estou dentro do meu domínio e não há restrição alguma vindo do log Imagem ℝ Restrição 𝑥 𝑦 1 0 ou seja 𝑦 1 𝑥 que separando fica 𝑦 1 𝑥 𝑠𝑒 𝑦 0 𝑦 𝑥 1 𝑠𝑒 𝑦 0 Logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 1 0 Graficamente Incluindo a fronteira onde estamos no módulo de x Para a imagem por ser raíz quadrada 𝑧 0 e é a única restrição pois no domínio ela começa em zero e vai crescendo Portanto Imagem 0 Restrição 1 𝑦 𝑥 1 Logo 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 Logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 Graficamente Incluindo as duas fronteiras das duas retas Como minha função é um arcoseno estando definida a função terá Imagem π 2 𝜋 2 Única restrição que temos é que 𝑥 0 logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 Graficamente seria o complemento do eixo y Estando definida essa função deve ter a mesma imagem da função arco tangente Imagem 𝜋 2 𝜋 2 No caso não há restrição alguma no domínio logo Domínio ℝ2 Como 𝑥2 𝑦2 0 𝑒𝑥2𝑦2 𝑒0 1 logo temos uma restrição da imagem Além disso temos que o exponencial de algo sempre será estritamente positivo Logo Imagem 01 Restrições i 𝑦 𝑥 0 dentro da raíz quadrada ii 𝑥 𝑦 0 Pois está dentro do log logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 Graficamente Claro que sem pegar a fronteira onde yx Não há restrições do alcance da função imagem logo Imagem ℝ Restrições i 𝑥2 𝑦2 1 0 𝑥2 𝑦2 1 Fora do círculo de raio 1 ii 4 𝑥2 𝑦2 0 𝑥2 𝑦2 4 No interior da circunferência de raio 2 Logo Logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 1 𝑥2 𝑦2 4 Graficamente Claro que tirando a fronteira do círculo de fora Como 𝑥2 𝑦2 1 𝑥2 𝑦2 1 ln4 𝑥2 𝑦2 ln 3 e não há outra restrição no alcance logo Imagem ln3 Não há restrição alguma no domínio logo Domínio ℝ2 Da mesma forma 𝑧 𝑥2 𝑦2 tem solução para todo z real logo não há restrição na imagem Imagem ℝ Restrição 𝑥2 0 𝑥 0 e é a única restrição portanto Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 basicamente o complemento do eixo y Restrição 16 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 16 𝑥2 𝑦2 𝑧2 Logo dentro da esfera de raio 4 Domínio 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 16 𝑥2 𝑦2 𝑧2 Graficamente E aqui consideramos a fronteira da esfera Por ser uma raiz quadrada 𝑤 0 ao mesmo tempo como 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 𝑤 16 Logo Imagem 04 Como está dentro do log 𝑥2 𝑦2 0 𝑥 𝑦 00 logo Domínio 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 0 Basicamente pegamos todo o plano e tiramos o ponto 00 o complemento de Não há restrição na imagem logo Imagem ℝ 2Desenhar as curvas de nível para os valores de k dado Nesse caso 𝑥2 𝑦2 𝑘 É uma hipérbole com foco no eixo x para qualquer k positivo e é o conjunto de reta yx y x no caso de k0 Parecido com o caso anterior o que muda é o que o foco da hipérbole estará no eixo y Fazendo 1 2 𝑥2 𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑦2 2𝑘 𝑥2 𝑦2 4𝑘2 Círculo com raio 2k se k0 e o ponto 00 se k0 Com 2𝑥2 4𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑘 2 𝑦2 𝑘 4 1 Elipse Se eu for mudando k o tamanho dos eixos que irá mudar No caso 𝑥 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 que nos dá 2 cenários 𝑦 𝑘 𝑥 𝑠𝑒 𝑦 0 𝑦 𝑥 𝑘 𝑠𝑒 𝑦 0 Logo Com 𝑥 𝑦 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 reta Com 2𝑥𝑦 𝑘 𝑥 𝑦 log2 𝑘 que também nos dá uma reta No caso 𝑥𝑦 𝑘 𝑦 𝑘 𝑥 hipérbole o que vai mudar de acordo com o k é a disposição da hipérbole em relação aos eixos Com 1 𝑥2𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑦2 1 𝑘 logo é uma circunferência de raio 1 𝑘 A medida que k aumenta o raio vai diminuindo 3 Desenhar as curvas de nível e fazer um esboço do gráfico dos seguintes paraboloides Com 2𝑥2 2𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑦2 𝑘 2 será uma circunferência de raio 𝑘 2 No caso 1 𝑥2 𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑦2 1 𝑘 logo circunferência de raio 1 𝑘 𝑐𝑜𝑚 𝑘 1 abaixo as curvas de nível 1 35 Com 𝑥2 2𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑘 𝑦2 𝑘 2 1 teremos uma elipse que de acordo que o k muda ela muda o tamanho dos seus eixos 4 Encontrar a curva de intersecção do gráfico da função dada com os planos dados representando graficamente i z1 Em destaque a interseção ii x1 Em vermelho a curva interseção iii y1 Em destaque a interseção i z1 Em destaque a interseção ii y0 iii yx c z 10 x y² com os planos z 0 z 1 y 0 e x 0 i z0 ii z1 iii y0 Logo ligado a iv e A d fx y eʸ cos x iv x0 5 Sabendo que a função representa a temperatura nos pontos da região do espaço delimitada pelo elipsoide perguntase aEm que ponto a temperatura é mais alta possível No termo que representa a temperatura estamos basicamente tirando o termo 𝑥2 𝑦2 4 𝑧2 9 logo quanto menos tiramos ou seja quanto menor esse termo mais alta fica a temperatura Na região delimitada pelo elipsoide o termo 𝑥2 𝑦2 4 𝑧2 9 atinge seu valor mínimo no ponto 000 pois ele valerá no mínimo zero logo nesse ponto a temperatura é máxima b Se uma partícula se afasta da origem deslocandose sobre o eixo positivo dos x sofrerá aumento ou diminuição da temperatura Colocando y e z como constantes mudando apenas o valor de x aumentandoo no eixo x positivo como na função temperatura temos um termo 𝑥2 a temperatura aos poucos irá diminuir c Em que pontos a temperatura é mais baixa possível Parecido com o primeiro item agora temos que maximizar o termo 𝑥2 𝑦2 4 𝑧2 9 mas sempre se mantendo na região delimitada pelo elipsoide Logo esse termo atinge seu máximo justamente na fronteira do elipsoide onde ele valerá 1 tirando o máximo possível da temperatura 6Uma camada fina de metal localizada no plano xy tem temperatura Txy no ponto xy As curvas de nível de T são chamadas de isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por Quero 100 1𝑥2𝑦2 𝑘 𝑥2 𝑦2 1 100 𝑘 𝑥2 𝑦2 100 𝑘 1 circunferência de raio 100 𝑘 1 A medida que k aumenta o raio vai diminuindo Curvas de nível 2 10 50 90 7 Se Vxy é o potencial elétrico de um ponto xy do plano as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico Esboce algumas curvas equipotenciais de Quero 1 9𝑥2𝑦2 𝑘 1 9𝑥2𝑦2 𝑘2 1 𝑘2 9 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 9 1 𝑘2 Circunferência de raio 9 1 𝑘2 A medida que k aumenta de valor o raio vai ficando cada vez mais próximo de 3 abaixo colocamos as curvas de nível ½ em vermelho 1 e 10 8 Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível Logo está ligado à i e D Logo está ligado a iii e B d fx y eʸ cos x Logo ligado a ii e C