Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais Duplas e Triplas em R2 e R3

2 Sejam B o subconjunto de R² definido pelas inequações 3 x 4 5 x y 6 e B a imagem de B pela mudança de variáveis x uw e y v uw a 15 pontos esboce as regiões B e B nos respectivos sistemas de coordenadas Solução A região B é aquela delimitada pelas retas y x 5 e y x 6 e pelas retas verticais x 3 e x 4 como na Figura 1 abaixo Figura 1 Região B De x uw e y v uw obtemos que y v x isto é v x y Deste modo como 5 x y 6 na região B então 5 v 6 na região B Além disso como 3 x 4 na região B e x uw então 3u v 4u em B Logo B é a região delimitada no plano uv pelas retas horizontais v 5 e v 6 e pelas hipérboles v 3u e v 4u como está ilustrado na Figura 2 Figura 2 Região B b 20 pontos calcule B x y² dxdy Solução Primeiramente calculemos o jacobiano da transformação dada no item anterior xyuv xu xv yu yv v u v 1 u v uw uv v Assim B x y² dxdy B v²v dudv 56 3v4v v³ dudv Mas 3v4v v³ du v³ 3v4v du v³ 4v 3v v³v v² Portanto B x y² dxdy 56 v² dv 13 6³ 5³ 913 3 Seja E o sólido determinado pelas inequações z 0 1 x² y² 9 x² y² z² 25 a 15 ponto esboce o sólido E Solução Observamos que z 0 corresponde ao semiespaço superior de R³ 1 x² y² 9 corresponde a região entre os cilindros x² y² 1 e x² y² 9 x² y² z² 25 corresponde à união do interior da esfera de centro 000 e raio 5 com a própria esfera Deste modo o sólido E está esboçado na Figura 3