2 Atividades - Introdução a Analise Real

Atividade 1 PROPOSTA DA ATIVIDADE Diante do contexto apresentado responda as 7 questões acima para as sequências an 1 12n e bn 1n1 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Escreva utilizando a Norma Culta da Língua Portuguesa A postagem precisa estar coerente com a contextualização e a proposta da atividade informada acima Seja sucinto e coerente Cópia de texto dos colegas ou da Internet reduzirá a nota a ZERO Exemplo Dada a sequência xn nn1 faça o que se pede 1 Escreva os cinco primeiros termos dessa sequência Solução xn 12 23 34 45 56 2 Verifique a injetividade da sequência xn Solução Dados mn N temos xm xn mm1 nn1 mn1 nm1 nm m nm n m n logo xn é injetiva 3 Verifique se xn é limitada Solução xn nn1 nn1 n11n1 1 1n1 1 Portanto xn é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0 pois todos os seus termos são maiores que 0 4 xn é monótona Solução xn1xn n1n11 nn1 n1n2 n1n2 n2 2n 1n2 2n 1 1n2 2n 1 xn1 xn Sim xn é crescente logo é monótona 5 Descreva uma subsequência de xn Solução x2n 2n2n1 23 45 67 89 6 Verifique se xn é convergente ou divergente Se for convergente calcule seu limite Solução limn xn limn nn1 limn n1 1n1 limn 1 1n1 1 Portanto xn é convergente e converge para 1 7 Atribua alguns valores para n e faça um esboço do gráfico da função xn CONTEXTUALIZAÇÃO Uma sequência de números reais é uma função x N R definida no conjunto dos números naturais excluindo o zero e tomando valores nos números reais O valor xn para todo n N será representado por xn e chamado de termo de ordem n ou nésimo termo da sequência Escrevemos x1 x2 x3 xn ou xnn N ou simplesmente xn para indicar a sequência xn A função x N R não é necessariamente injetiva podese ter xm xn com m n Em particular o conjunto x1 x2 x3 xn pode ser finito ou até mesmo ter apenas um único elemento como é o caso de uma sequência constante em que xn a R para todo n N Quando a sequência xn for injetiva ou seja quando m n implicar xm xn diremos que ela é uma sequência de termos dois a dois distintos Dizemos que a sequência xn é limitada quando o conjunto de todos os seus termos é limitado ou seja quando existem reais ab tais que a xn b para todo n N Isso é o mesmo que dizer que todos os termos da sequência pertencem ao intervalo ab Todo intervalo ab está contido num intervalo simétrico do tipo cc com c 0 Uma vez que a condição xn cc é equivalente a xn c podemos concluir que uma sequência xn é limitada se e somente se existe um número real c 0 tal que xn c para todo n N Quando uma sequência xn não é limitada dizemos que ela é ilimitada Uma sequência xn é limitada superiormente quando existe um número real b tal que xn b para todo n N Analogamente uma sequência xn é limitada inferiormente quando existe a R tal que a xn para todo n N Claramente temos que uma sequência é limitada se e somente se for limitada superiormente e inferiormente Dada uma sequência xnn N de números reais uma subsequência de xn é a restrição da função x a um subconjunto infinito N n1 n2 n3 ni de N Denotamos essa subsequência por xnin N ou xn1 xn2 xni ou xnii N Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada Uma sequência xn chamase crescente quando x1 x2 x3 ou seja quando xn xn1 para todo n N Se vale xn xn1 para todo n N ela é chamada de nãodecrescente De forma análoga temos que uma sequência xn chamase decrescente quando x1 x2 x3 ou seja quando xn xn1 para todo n N Se vale xn xn1 para todo n N ela é chamada de nãocrescente As sequências crescentes decrescentes nãocrescentes e nãodecrescentes são chamadas sequências monótonas Dizer que o número real a é limite de uma sequência xn significa afirmar que para valores muito grandes de n os termos xn tornamse e se mantêm tão próximos de a quanto se deseje Assim para que a seja o limite de xn devemos ter limn xn a Quando esse limite existe dizemos que xn converge para a Caso esse limite não exista dizemos que a sequência xn diverge Vejamos agora um exemplo que engloba todas as definições que foram apresentadas acima Atividade 2 PROPOSTA DA ATIVIDADE Após explorar os conteúdos de referência responda Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries Σn0 3n xnn1 Σn0 nx2n3n1 Σn1 n xn Σn0 xnn Não esqueça de deixar seus cálculos Escreva com suas palavras e também com embasamento teórico o que é o raio de convergência de uma série de potências e como você o encontra Escreva com suas palavras também com embasamento teórico o que é o intervalo de convergência de uma série de potências como você o encontra O texto deverá conter cabeçalho informando o nome do curso disciplina tutor e o nome do aluno Deverá ter no mínimo 25 linhas e no máximo uma lauda 1 página CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO O conteúdo precisa estar coerente com a contextualização e a proposta da atividade informada acima A formatação do texto deverá seguir os seguintes critérios I Construir o texto em parágrafos Recuo do início do Parágrafo 125 cm II Atentar para a escrita correta das palavras acentuação e sinais de pontuação III Formatação fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 IV Espaçamento entre linhas 15cm V Margens esquerda e superior 3cm direita e inferior 2cm VI Texto com alinhamento justificado A atividade precisa ser postada em formato PDF que converge quando 1 x 1 e diverge quando x 1 Em geral a série da forma Σn0 cn x an c0 x a x a2 é denominada série de potências em x a ou série de potências centrada em a ou série de potências em torno de a Vejamos agora um teorema que traz informações sobre a convergência e divergência das séries de potências Teorema Para uma dada série de potências Σn0 cn x an existem apenas três possibilidades i A série converge apenas quando x a e nesse caso converge para 0 ii A série converge para todo x iii Existe um número positivo R tal que a série converge se x a R e diverge se x a R O número R do teorema acima é chamado de raio de convergência da série de potências Por convenção o raio de convergência é R 0 no caso i e R no caso ii O intervalo de convergência de uma série de potências é aquele que consiste em todos os valores de x para os quais a série converge No caso i o intervalo consiste em apenas um único ponto a No caso ii o intervalo é No caso iii observe que a desigualdade x a R pode ser reescrita como a R x a R Quando x é uma extremidade do intervalo isto é x a R qualquer coisa pode acontecer a série pode convergir em uma ou ambas as extremidades ou divergir em ambas as extremidades Então no caso iii existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência a R a R a R a R a R a R a R a R A situação é ilustrada na figura abaixo Fonte STWART James Cálculo volume II 6ª ed São Paulo Cengage Learning 2009 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos Estudo Dirigido 1 Determine o Raio e intervalo das séries 𝑎 𝑛0 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 Usemos o Teste da Raíz o qual diz que se então a série 𝑛 lim 𝑛 𝑎𝑛 𝐿 1 𝑛0 𝑎𝑛 é convergente Como 𝑛 lim 𝑛 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 𝑛 lim 3𝑥 𝑛 1 𝑛1 3𝑥 Logo pelo Teste da Raíz a série é convergente se ou seja 𝑛0 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 3𝑥 1 Assim é o raio de convergência da série Agora falta 1 3 𝑥 1 3 𝑅 1 3 apenas verificar nas extremidades 𝑥 1 3 Para 𝑥 1 3 Como e é uma sequência 𝑛0 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 𝑛0 3 𝑛 1 3 𝑛 𝑛1 𝑛0 1 𝑛 𝑛1 𝑛 lim 1 𝑛 𝑛1 0 1 𝑛 𝑛1 alternada usando o Teste de Leibniz segue que a série é convergente para 𝑛0 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 𝑥 1 3 Para 𝑥 1 3 tal série é divergente pois e a 𝑛0 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 𝑛0 3 𝑛 1 3 𝑛 𝑛1 𝑛0 1 𝑛1 𝑛0 1 𝑛 𝑛0 1 𝑛1 série harmônica é divergente 𝑛0 1 𝑛 Portanto o intervalo de convergência de é 𝑛0 3 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛1 1 3 1 3 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos 𝑏 𝑛0 𝑛𝑥2 𝑛 3 𝑛1 Usando o Teste da Razão temos que a série é convergente se 𝑛0 𝑛𝑥2 𝑛 3 𝑛1 𝑛 lim 𝑛1𝑥2 𝑛1 3 𝑛2 𝑛𝑥2 𝑛 3 𝑛1 𝑛 lim 𝑛1𝑥2 3𝑛 𝑥2 3 1 Logo tal série é convergente para 1 𝑥 2 3 Assim obtemos que o raio de convergência da série é e a série é 𝑅 3 convergente no intervalo 2 3 2 3 c 𝑛1 𝑛𝑥 𝑛 Pelo Teste da Raiz a série é convergente para 𝑛 lim 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 lim 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 1 Logo o raio de convergência de é 𝑛1 𝑛𝑥 𝑛 𝑅 1 Para temos que Logo a série diverge 𝑥 1 𝑛 lim 𝑛 Para o limite não existe ele é alternado Logo a série diverge 𝑥 1 𝑛 lim 1 𝑛 Portanto o intervalo de convergência é 1 1 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos d Σ xnn de n0 até infinito Pelo Teste da Raiz temos que tal série é convergente se lim n ⁿxⁿn 1 Agora lim n ⁿxⁿn lim n xⁿn 0 Logo a série é convergente para todo x ℝ Portanto o raio de convergência é R e o intervalo de convergência é 2 O que é raio de convergência de uma série e como se encontra Dada uma série de potência Σ cₙx aⁿ de n0 até infinito o raio de convergência de uma série é um valor R para o qual a série é convergente no intervalo a R a R Para encontrarmos o raio de convergência podese utilizar alguns testes Por exemplo o Teste da Razão e o Teste da Raiz os quais foram utilizados acima 3 O que é intervalo de convergência de uma série e como se encontra O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge ou seja o intervalo de convergência é um intervalo com extremidades a R e a R podendo conter tais pontos Para encontrarmos o intervalo de convergência devemos primeiro calcular o raio de convergência de forma que a série será convergente no intervalo aberto a R a R Por fim devemos Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos verificar se a série é convergente nos extremos x a R e x a R Logo o intervalo de convergência pode ser algum dos quatro intervalos seguinte a R a R a R a R a R a R ou a R a R Fórum Avaliativo Responda as 7 questões abaixo para as sequências A aₙ 1 12ⁿ B bₙ 1ⁿ¹ 1 Escreva os cinco primeiros termos dessa sequência Solução A Para aₙ 1 12ⁿ temos que os cinco primeiros termos são a₁ 1 12¹ 32 a₂ 1 12² 1 14 54 a₃ 1 12³ 1 18 98 a₄ 1 12⁴ 1 116 1716 e a₅ 1 12⁵ 1 132 3332 Assim aₙ 32 54 98 1716 3332 B Para bₙ 1ⁿ¹ temos que os cinco primeiros termos são Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos 𝑏1 1 2 1 𝑏2 1 3 1 𝑏1 1 4 1 e 𝑏1 1 5 1 𝑏1 1 6 1 Logo 𝑏𝑛 1 1 1 1 1 2 Verifique a injetividade da sequência xn Solução A Dados temos que 𝑚 𝑛 ℕ 𝑎𝑚 𝑎𝑛 1 1 2 𝑚 1 1 2 𝑛 1 2 𝑚 1 2 𝑛 2 𝑛 2 𝑚 𝑛 𝑚 Portando a sequência é injetiva 𝑎𝑛 1 1 2 𝑛 B Escolhendo e temos que e Logo 𝑚 1 𝑛 3 𝑏1 1 𝑏3 1 𝑏𝑚 𝑏𝑛 com e portanto a sequência não é injetiva 𝑚𝑛 𝑏𝑛 1 𝑛1 3 Verifique se xn é limitada Solução A Temos que para todo Assim 1 2 𝑛 1 2 𝑛 1 𝑎𝑛 1 1 2 𝑛 1 1 2 𝑛 1 1 2 3 2 Portanto é limitada 𝑎𝑛 B Observe que 𝑏𝑛 1 𝑛1 1 Logo a sequência 𝑏𝑛 é limitada Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos 4 xn é monótona Solução A Como para todo segue que para 1 2 𝑛 1 2 𝑛1 𝑛 1 1 1 2 𝑛 1 1 2 𝑛1 todo Logo 𝑛 1 e portanto 𝑎𝑛 1 1 2 𝑛 1 1 2 𝑛1 𝑎𝑛1 Portanto é uma sequência monótona decrescente 𝑎𝑛 𝑎𝑛1 1 𝑎𝑛 B Como 𝑏𝑛 1 1 1 1 1 1 temos que para ímpar e para par Portanto 𝑏𝑛 𝑏𝑛1 1 1 1 𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛1 1 1 1 𝑛 não é monótona 𝑏𝑛 1 𝑛1 5 Descreva uma subsequência de xn Solução A Para podemos considerar a subsequência de dada 𝑎𝑛 1 1 2 𝑛 𝑎𝑛 por 𝑎2𝑛 1 1 2 2𝑛 1 1 4 𝑛 B Para considere a subsequência constante de dada 𝑏𝑛 1 𝑛1 𝑏𝑛 por 𝑏2𝑛1 1 2𝑛11 1 2𝑛1 1 𝑛1 1 1 1 1 6 Verifique se xn é convergente ou divergente Se for convergente calcule seu limite Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos Solução A Temos que 𝑛 lim 𝑎𝑛 𝑛 lim 1 1 2 𝑛 1 Portanto a sequência é convergente com 𝑎𝑛 𝑛 lim 𝑎𝑛 1 B Para temos que 𝑏𝑛 1 𝑛1 𝑛 lim 𝑏2𝑛 𝑛 lim 1 2𝑛1 𝑛 lim 1 1 e 𝑛 lim 𝑏2𝑛1 𝑛 lim 1 2𝑛2 𝑛 lim 1 1 Portanto o limite não existe e a sequência não é convergente 𝑛 lim 𝑏𝑛 𝑏𝑛 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos 7 Atribua alguns valores para n e faça um esboço no gráfico da função xn Solução A Para com temos 𝑎𝑛 1 1 2 𝑛 1 𝑛 10 B com temos 𝑏𝑛 1 𝑛1 1 𝑛 10 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos Estudo Dirigido 1 Determine o Raio e intervalo das séries a n0 3 n x n Usemos o Teste da Raíz o qual diz que se lim n nanL1 então a série n0 an é convergente Como lim n n 3 nx n Logo pelo Teste da Raíz a série n0 3 n x n é convergente se 3 x1 ou seja 1 3 x 1 3 Assim R1 3 é o raio de convergência da série Agora falta apenas verificar nas extremidades x 1 3 Para x1 3 n0 3 n x n Como lim n 1 n e 1 n é uma sequência alternada usando o Teste de Leibniz segue que a série n0 3 n x n é convergente para x1 3 Para x1 3 n0 3 n x n tal série é divergente pois n0 1 n n0 1 e a série harmônica n0 1 n é divergente Portanto o intervalo de convergência de n0 3 n x n é Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos b n0 nx2 n 3 n1 Usando o Teste da Razão temos que a série n0 n x2 n 3 n1 é convergente se lim n n1x2 n1 3 n2 nx2 n 3 n1 lim n n1x2 3n x2 3 1 Logo tal série é convergente para 1x23 Assim obtemos que o raio de convergência da série é R3 e a série é convergente no intervalo 2323 c n1 Pelo Teste da Raiz a série é convergente para lim n n Logo o raio de convergência de n1 é R1 Para x1 temos que lim n Logo a série diverge Para x1 o limitelim n1 não existe ele é alternado Logo a série diverge Portanto o intervalo de convergência é 11 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos d n0 x n n Pelo Teste da Raiz temos que tal série é convergente se lim n n x n nn1 Agora lim n n x n nn lim n x n nn 0 Logo a série é convergente para todo xℝ Portanto o raio de convergência é R e o intervalo de convergência é 2 O que é raio de convergência de uma série e como se encontra Dada uma série de potência n0 cn o raio de convergência de uma série é um valor R para o qual a série é convergente no intervalo aRaR Para encontrarmos o raio de convergência podese utilizar alguns testes Por exemplo o Teste da Razão e o Teste da Raiz os quais foram utilizados acima 3 O que é intervalo de convergência de uma série e como se encontra O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de para os 𝑥 quais a série converge ou seja o intervalo de convergência é um intervalo com extremidades aR e aR podendo conter tais pontos Para encontrarmos o intervalo de convergência devemos primeiro calcular o raio de convergência de forma que a série será convergente no intervalo aberto aRaR Por fim devemos verificar se a série é Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos convergente nos extremos xaR e xaR Logo o intervalo de convergência pode ser algum dos quatro intervalos seguinte aRaR ou aRaR Fórum Avaliativo Responda as 7 questões abaixo para as sequências Aan B bn1 n1 1 Escreva os cinco primeiros termos dessa sequência Solução A Para an1 1 2 n temos que os cinco primeiros termos são a11 1 2 13 2 a21 1 2 21 1 4 5 4 a31 1 2 31 1 89 8 a41 1 2 41 1 1617 16 e a51 1 2 51 1 3233 32 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos Assim an 3 2 5 4 9 8 17 16 33 32 B Para bn1 n1 temos que os cinco primeiros termos são b1 b2 b1 b1 e b1 Logo bn11111 2 Verifique a injetividade da sequência xn Solução A Dados m nℕ temos que aman1 1 2 m1 1 2 n 1 2 m 1 2 n 2 n2 m nm Portando a sequência an1 1 2 n é injetiva B Escolhendo m1 e n3 temos que b11 e b31 Logo bmbn com m n e portanto a sequência bn1 n1 não é injetiva 3 Verifique se xn é limitada Solução A Temos que 1 2 n 1 2 para todo n1 Assim an1 1 2 n1 1 2 n 11 23 2 Portanto an é limitada B Observe que bn1 n11 Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos Logo a sequência bn é limitada 4 xn é monótona Solução A Como 1 2 n 1 2 n1 para todo n1 segue que 1 1 2 n1 1 2 n1 para todo n1 Logo an1 1 2 n1 1 2 n1an1 e portanto an an1 1 Portanto an é uma sequência monótona decrescente B Como bn111111 temos que bn bn1 1 11 para n ímpar e bn bn1 1 1 1 para n par Portanto bn1 n1 não é monótona 5 Descreva uma subsequência de xn Solução A Para an1 1 2 n podemos considerar a subsequência de an dada por Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos a2n1 1 2 2n1 1 4 n B Para bn1 n1 considere a subsequência constante de bn dada por b2n11 2n11 1 2n11 n11111 6 Verifique se xn é convergente ou divergente Se for convergente calcule seu limite Solução A Temos que lim n anlim n 1 1 2 n1 Portanto a sequência an é convergente com lim n an1 B Para bn 1 n1 temos que lim n b2nlim n e lim n b2n1lim n Portanto o limite lim n bn não existe e a sequência bn não é convergente Introdução à Análise Real Tutora Letícia Loiola Queiroz Hassen Nome do alunoa Amanda Krisley Oliveira Santos 7 Atribua alguns valores para n e faça um esboço no gráfico da função xn Solução A Paraan1 1 2 n com 1n10 temos B bn1 n1 com 1n10 temos