Álgebra - Demonstração da Unicidade do Elemento Neutro da Adição: Solução de Exercícios

91981552507 Rascunho de Solução ÁLGEBRA Exercícios PROF RITI Resolução de Listas de Exercícios SUPERIOR MÉDIO FUNDAMENTAL II Existe um elemento em K denotado por 0 tal que x 0 0 x elemento neutro de É possível mostrar que existe um único 0 Solução Sabendo que x 0 0 x x xK Suponhamos que existe um outro elemento neutro denotado por 0 K tal que x 0 0 x x xK Agora pegamos um caso específico onde 0 0 0 0 O que mostra que 0 0 Portanto o elemento neutro da adição é único Existe um elemento em K denotado por 0 tal que x 0 0 x elemento neutro de É possível mostrar que existe um único 0 Demonstração Considerando que x 0 x Agora somamos x dois lados da equação sendo assim temos x0 x x x Pela propriedade associativa da adição temos X0x 0 E pela definição de inverso aditivo 0x 0 Portanto temos x0x Agora supondo que existe dois elementos sendo 01 e 02 em K sendo ambos elementos neutros isso implica que para qualquer x em K temos x 01x e x 02x subtraindo a primeira equação da segunda obtemos x 02 x01 x x ou seja temos 02 010 Logo isso implica que os dois elementos neutros são iguais Existe um elemento em K denotado por 0 tal que x 0 0 x elemento neutro de É possível mostrar que existe um único 0 Solução Sabendo que x 0 0 x x xK Suponhamos que existe um outro elemento neutro denotado por 0 K tal que x 0 0 x x xK Agora pegamos um caso específico onde 0 0 0 0 O que mostra que 0 0 Portanto o elemento neutro da adição é único Isso é falho Devese mostrar para todo caso e a partir da situação geral obter a conclusão da unicidade O problema é que escrever 00 0 implica que você está assumindo que 0 0 Logo você está assumindo o que queria provar e por isso está errado Vamos então demonstrar o desfecho Com efeito sendo K um corpo a afirmativa de que o símbolo 0 é elemento neutro com relação à operação se satisfizer x 0 0 x é errada De fato isso não caracteriza 0 como elemento neutro Com efeito veja que se tomarmos o simboIe y temos por exemplo que x y y x x y K em particular para y 0 Em suma 0 é um elemento neutro só for tal que a igualdade x 0 x x K for satisfeita Então mostraremos que 0 é único Portanto suponhamos que exista p K com p 0 tal que x p x x K Seja satisfeita De posse disso veja que temos o seguinte x p x x p x x x x x p x x 0 p 0 onde usamos o fato de que para cada x K existe um elemento x K tq x x x x 0 onde 0 é o elemento neutro da operação em K Ademais como 0 é elemento neutro vale que 0 p p Portanto obtemos que p 0 Deve é um absurdo em vista de que por hipótese p 0 Então quer que a suposição inicial é falha e logo segue que p 0 Desse modo há portanto um único elemento neutro com relação a operação em K