Historia da Matematica - Tarefa Aula 1 - Questoes e Respostas

DISCIPLINA História da Matemática TAREFA AULA 1 ALUNOA Obs A partir do que já foi estudado nesta aula responda às questões propostas 20 pts 01 Leia atentamente as afirmações a seguir I A contribuição grega à evolução da matemática apresenta Platão e Aristóteles como principais teóricos no saber matemático moderno II Na perspectiva da escola pitagórica a matemática era tratada de maneira muito filosófica e abstrata desvinculada das exigências da vida prática III Aos pitagóricos é que se deve a distinção entre números pares e ímpares Assinale a alternativa correta a As afirmações II e III são verdadeiras e a I é falsa b As afirmações I e II são verdadeiras e a III é falsa c As afirmações I e III são verdadeiras e a II é falsa d As afirmações I II e III são verdadeiras 30 pts 02 No pensamento pitagórico era natural que separasse o estudo teórico dos números que chamavam de aritmética dos cálculos práticos que denominavam logística Uma das aplicações desse pensamento foi o tratamento dado para alguns sólidos geométricos planos que tiveram sua interpretação no campo da aritmética No livro didático da disciplina da página 20 a 24 expressa relações existentes entre alguns sólidos geométricos e a aritmética como na imagem abaixo A partir desse contexto escolha um dos quatro teoremas propostos e demonstre de forma suscita e objetiva 50 pts 03 A noção de irracionalidade foi um assunto discutido no contexto histórico matemático Aristóteles 384322 a C em sua demonstração propõe que podemos ter onde e Agora vamos admitir sem perda de generalidade que todos os fatores comuns de divisão entre a e b foram cancelados ou seja são primos entre si Mas se admitimos que vale Por outro lado observamos que é um número par Assim deve ser par pois se ele fosse ímpar é um número ímpar Contrariando a condição Assim segue que Novamente com um argumento semelhante obtemos que é par e consequentemente Mas isto implicaria que o número 2 divide b e o número 2c divide a uma vez que Por outro lado isto contraria a nossa escolha inicial de Assim obtemos um absurdo a partir da suposição de que fosse um racional Segue então que Agora é com você efetive a demonstração no caso de DISCIPLINA História da Matemática TAREFA AULA 3 ALUNOA Obs A partir do que já foi estudado nesta aula responda à questão proposta 01 Nesta atividade nos deteremos em algumas construções lógicoaxiomáticas devidas a Euclides de Alexandria que foi professor matemático platônico e escritor possivelmente grego muitas vezes referido como o Pai da Geometria Diante dos teoremas a seguir desenvolva conforme a sua demonstração 50 pts a TEOREMA EUCLIDES Qualquer divisor comum de dois números a e b divide também o seu maior divisor 50 pts b TEOREMA Com respeito ao máximo divisor entre dois números temos a propriedade MDCma mb m MDC ab DISCIPLINA História da Matemática TAREFA AULA 4 ALUNOA Obs A partir do que já foi estudado nesta aula responda às questões propostas 01 Tartaglia nasceu muito pobre Tinha sete anos quando uma tropa francesa ao saquear Brescia irrompeu em um templo onde grande parte da população se refugiara Um soldado deulhe um golpe com um sabre no meio do rosto Depois disso o menino gaguejou anos a fio Por isso os amigos o apelidaram de Tartaglia tartamudo ou gago Tartaglia contribuiu para a matemática com a redescoberta da resolução de algumas equações cúbicas Envolveuse em disputas com Cardano que publicou primeiro sua solução mesmo havendo jurado que não o faria A disputa terminou quando o discípulo de Cardano Lodovico Ferrari de posse da solução da equação do quarto grau propôs questões que Tartaglia não conseguiu resolver Fonte httpwwwsomatematicacombrbiograftartagliaphp A partir desse sucinto contexto histórico correspondente a esses dois pensadores matemáticos apresente contribuições de Tartaglia e Cardano para a matemática 50 pts a Contribuição de Tartaglia 50 pts b Contribuição de Cardano DISCIPLINA História da Matemática TAREFA AULA 4 ALUNOA Obs A partir do que já foi estudado nesta aula responda às questões propostas 01 Tartaglia nasceu muito pobre Tinha sete anos quando uma tropa francesa ao saquear Brescia irrompeu em um templo onde grande parte da população se refugiara Um soldado deulhe um golpe com um sabre no meio do rosto Depois disso o menino gaguejou anos a fio Por isso os amigos o apelidaram de Tartaglia tartamudo ou gago Tartaglia contribuiu para a matemática com a redescoberta da resolução de algumas equações cúbicas Envolveuse em disputas com Cardano que publicou primeiro sua solução mesmo havendo jurado que não o faria A disputa terminou quando o discípulo de Cardano Lodovico Ferrari de posse da solução da equação do quarto grau propôs questões que Tartaglia não conseguiu resolver Fonte httpwwwsomatematicacombrbiograftartagliaphp A partir desse sucinto contexto histórico correspondente a esses dois pensadores matemáticos apresente contribuições de Tartaglia e Cardano para a matemática 50 pts a Contribuição de Tartaglia 50 pts b Contribuição de Cardano a Foi o único professor de matemática em Veneza cuja maior contribuição para a matemática foi com a resolução de algumas equações de terceiro grau através de métodos desconhecidos por outros matemáticos da época Além disso estudou aplicação da matemática à artilharia bélica foi responsável pela primeira edição italiana de Os Elementos edição de obras de Arquimedes descobriu a lei de formação dos coeficientes de xan dentre outras Apesar de suas dificuldades Tartaglia foi um matemático promissor b Cardano teve grande importância na área de Álgebra com a publicação da obra Ars magna que contém métodos de resolução de equações de terceiro e quarto grau e o aparecimento dos números complexos Este método de resolução foi obtido de Tartaglia Além disso contribuiu com estudos na área de teoria dos jogos e formulou as primeiras regras na teoria da probabilidade DISCIPLINA História da Matemática TAREFA AULA 1 ALUNOA Obs A partir do que já foi estudado nesta aula responda às questões propostas 20 pts 01 Leia atentamente as afirmações a seguir I A contribuição grega à evolução da matemática apresenta Platão e Aristóteles como principais teóricos no saber matemático moderno II Na perspectiva da escola pitagórica a matemática era tratada de maneira muito filosófica e abstrata desvinculada das exigências da vida prática III Aos pitagóricos é que se deve a distinção entre números pares e ímpares Assinale a alternativa correta a As afirmações I e III são verdadeiras e a II falsa b As afirmações I e II são verdadeiras e a III é falsa c As afirmações I e III são verdadeiras e a II é falsa d As afirmações I II e III são verdadeiras 30 pts 02 No pensamento pitagórico era natural que separasse o estudo teórico dos números que chamavam de aritmética dos cálculos práticos que denominavam logística Uma das aplicações desse pensamento foi o tratamento dado para alguns sólidos geométricos planos que tiveram sua interpretação no campo da aritmética No livro didático da disciplina da página 20 a 24 expressa relações existentes entre alguns sólidos geométricos e a aritmética como na imagem abaixo A partir desse contexto escolha um dos quatro teoremas propostos e demonstre de forma sucinta e objetiva Figura 7 Interpretação geométrica dos números triangulares 50 pts 03 A noção de irracionalidade foi um assunto discutido no contexto histórico matemático Aristóteles 384322 a C em sua demonstração propõe que podemos ter 2 ab onde a b Z e b 0 Agora vamos admitir sem perda de generalidade que todos os fatores comuns de divisão entre a e b foram cancelados ou seja MDCab 1 primos entre si Mas se admitimos que vale 2 ab então a² 2b² Por outro lado observamos que a² 2 b² a² é um número par Assim a 2k deve ser par pois se ele fosse ímpar a² 2k 1² 4k² 4k 1 4kk 1 1 é um número ímpar Contrariando a condição Assim segue que a 2k 2k² 2b² 4k² 2b² 2k² b² b² é 2 novamente com um argumento semelhante obtemos que b² 2k² é par e consequentemente b 2c onde c Z 0 Mas isto implicaria que o número 2 divide b e o número 2c divide a uma vez que a 2k e b 2c onde c Z 0 Por outro lado isto contraria a nossa escolha inicial de MDCa b 1 Assim obtemos um absurdo a partir da suposição de que 2 fosse um racional Segue então que 2 R Q Agora é com você efetive a demonstração no caso de 7 1 F II V III V 2 O único número triangular primo Δn é o três 1 3 6 Δn 123n1n nn1 2 Mostramos que a fórmula é válida por indução Se n1 Δ1 1112 22 1 Se nk Δk kk12 hipótese de indução Δk1 123k1k k 1 Δk1 kk12 k1 Δk1 kk12 2k2 2 k2k1 2 Portanto a fórmula é válida por indução Δn nn12 Suponha que n seja par Então n 2p Δ2p 2p2p12 p2p1 p2p1 é primo se p1 1211 31 Suponha que n seja ímpar Então n 2p1 Δ2p1 2p12p22 2p12p12 p12p1 p11 p0 n1 não é primo Portanto 3 é o único número triangular primo 3 Suponha que 3 seja racional Então existem a b Z com mdcab1 tais que 3 ab 32 ab2 3 a2 b2 a2 3 b2 I Se ab são ímpares a equação I já está reduzida às menores condições possíveis Como ab são ímpares a 2k11 e b 2k21 com k1 k2 Z 32k112 2k212 34k12 4k1 1 4k22 4k2 1 12k12 12k1 3 4k22 4k2 1 12k12 12k1 2 4k22 4k2 6k12 6k1 1 2k22 k2 II ímpar par Não há k1 k2 inteiros que satisfaçam II Portanto não existem ab inteiros tais que 3 ab Logo 3 é irracional DISCIPLINA História da Matemática TAREFA AULA 3 ALUNOA Obs A partir do que já foi estudado nesta aula responda à questão proposta 01 Nesta atividade nos deteremos em algumas construções lógicoaxiomáticas devidas a Euclides de Alexandria que foi professor matemático platônico e escritor possivelmente grego muitas vezes referido como o Pai da Geometria Diante dos teoremas a seguir desenvolva conforme a sua demonstração 50 pts a TEOREMA EUCLIDES Qualquer divisor comum de dois números a e b divide também o seu maior divisor 50 pts b TEOREMA Com respeito ao máximo divisor entre dois números temos a propriedade MDCma mb m MDC ab Vejamos agora a demonstração propriamente dita Para tanto consideremos um número b N 0 Se a N então ou a é múltiplo de b ou está entre múltiplos consecutivos de b isto é bq a bq1 Isto significa que q1 será o menor elemento de modo que Π n N tal que bna Assim o conjunto Π pois contém a1 visto que b 1 ab a1 a1b ab b a1 b a b a a1b a Segue a1 Π Por outro lado vemos que bq a e assim existe r N tal que a bq r Mostraremos agora que r b Se ocorresse o contrário digamos abqr r a bq b a bq bq b bq a 0 b bq b1 q segue que a b1 q o que não é possível em virtude de Deste modo segue que abqr onde r b b Pelo Algoritmo da Divisão temos que a bq1 r1 b r1q2 r2 r1 r2q3 r3 r2 r3q4 r4 rn3 rn2qn1 rn1 0 rn1 rn2 rn2 rn1qn rn rn1 rnqn1 0 Multiplicando cada uma dessas equações por m ma mbq1 mr1 mb mr1q2 mr2 mr1 mr2q3 mr3 mrn2 mrn1qn mrn mrn1 mrnqn1 0 E assim segue o resultado que queríamos demonstrar