Trabalho de Cálculo 1

TRABALHO DE CÁLCULO 1 Soluções da lista 1ª Questão Determine se a série é convergente ou divergente a n1 cos³ln n n² n² Para determinar a convergência aplicamos o Teste da Comparação Note que cos³ln n n² n² 1 n² Sabemos que a série n1 1n² é uma psérie com p 2 1 e portanto convergente Assim pela comparação a série dada também é convergente b n1 1 n n² 1 Para determinar a convergência simplificamos o termo 1 n n² 1 Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador 1 n n² 1 n n² 1 n n² 1 n n² 1 n² n² 1² Calculamos o denominador n² n² 1² n n² 1 n n² 1 1 n² n Para grandes valores de n a expressão n² 1 n 12n Assim n n² 1 n n 12n n n 12n Então aproximando ainda mais para valores ainda maiores de n 1 n n² 1 1 n A série n1 1n é a série harmônica e é conhecida por divergir Portanto pela comparação a série dada diverge c n1 n² 5n² 1 Simplificamos o termo n² 5n² 1 Para grandes valores de n podemos ignorar o termo constante no denominador n² 5n² 1 n² 5n² 15 A série n1 15 é uma série constante e é conhecida por divergir Portanto pela comparação a série dada diverge d n1 ln n n Aplicamos o Teste da Integral Consideramos a integral correspondente 1 ln x x dx Para resolver essa integral fazemos a substituição u ln x então du 1x dx Mudando os limites de integração quando x 1 u ln 1 0 e quando x u Assim a integral se transforma em 1 ln x x dx 0 u du Calculamos essa integral 0 u du limb 0b u du limb u²20b limb b²2 Portanto a integral diverge o que implica que a série n1 ln n n também diverge 2ª Questão A série 1 12 23 14 25 16 27 tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende a zero Entretanto é divergente Por que isto não contradiz o Teorema de Leibniz Critério de Convergência de Leibniz Uma série alternada da forma 1n bn onde bn 0 converge se 1 bn bn1 para todo n suficientemente grande os termos bn são decrescentes de forma monótona 2 limn bn 0 Neste caso os termos bn da série são bn 1 se n1 2n1 se n ímpar e n 1 1n1 se n é par Verificamos que os termos positivos 23 25 27 e os termos negativos 12 14 16 não são decrescentes de forma monótona Por exemplo 23 25 mas 25 27 Isso viola a condição de monotonicidade exigida pelo Critério de Leibniz Além disso embora limn bn 0 a falta de monotonicidade dos termos implica que a série não satisfaz todas as condições do Critério Portanto a série diverge sem satisfazer as condições necessárias Para que a divergência desta série contradissesse o Critério de Leibniz seria necessário que a série satisfizesse ambas as condições os termos bn deveriam ser decrescentes de forma monótona e tender a zero Se isso acontecesse e a série ainda assim divergisse então haveria uma contradição com o Critério de Convergência No entanto como a série não satisfaz a condição de monotonicidade não há contradição 3ª Questão Se xn é limitada e sum an é absolutamente convergente então sumn1infty an xn é convergente Como sum an é absolutamente convergente temos que sum an infty E como xn é limitada existe uma constante M 0 tal que xn leq M para todo n Portanto an xn leq an cdot xn leq an cdot M Como sum an cdot M é uma série convergente por ser a multiplicação de uma série convergente por uma constante segue pelo Teste da Comparação que sum an xn converge 4ª Questão Examine a convergência da série sumk2 infty frac1k log kalpha onde alpha 0 é um real dado Para determinar a convergência aplicamos o Teste da Integral Consideramos a integral int2 infty frac1xlog xalpha dx Fazemos a substituição u log x então du frac1x dx e a integral se transforma em intlog 2infty frac1ualpha du Essa é uma integral p com p alpha A integral converge se alpha 1 e diverge se alpha leq 1 Portanto a série converge para alpha 1 e diverge para alpha leq 1 7ª Questão Sejam I um intervalo aberto f I o mathbbR uma função n vezes continuamente derivável e x0 in I um ponto tal que fx0 fx0 cdots fn1x0 0 Se n é par e fnx0 0 resp fnx0 0 mostre que x0 é um ponto de mínimo resp máximo local estrito para f Para mostrar que x0 é um ponto de mínimo local estrito vamos considerar a expansão em série de Taylor de f ao redor de x0 fx fx0 fx0 xx0 fracfx02 xx02 dots fracfnx0n xx0n Rnx onde Rnx é o termo de resto de ordem n Como fx0 fx0 fn1x0 0 a expansão simplifica para fx fx0 fracfnx0n x x0n Rnx Considerando que o termo de resto Rnx é de ordem superior a xx0n e pode ser negligenciado para x próximo a x0 temos fx approx fx0 fracfnx0n x x0n Se n é par e fnx0 0 o termo fracfnx0n x x0n será positivo para x eq x0 implicando que fx fx0 Portanto x0 é um ponto de mínimo local estrito Analogamente se fnx0 0 o termo fracfnx0n x x0n será negativo para x eq x0 implicando que fx fx0 Portanto x0 é um ponto de máximo local estrito 8ª Questão Obtenha as séries de Taylor das funções sinh x e cosh x Em cada caso mostre que a série de Taylor converge para a função correspondente em toda a reta Nota por questões de compilação do LaTeX assuma sinh senh Comecemos com a função sinh x A série de Taylor de sinh x ao redor de 0 é dada por sinh x sumn0infty fracx2n12n1 Para mostrar a convergência da série de Taylor para sinh x em toda a reta consideramos o raio de convergência da série Como os termos da série são da forma fracx2n12n1 aplicamos o teste da razão limn o infty left fracfracx2n32n3fracx2n12n1 right limn o infty left fracx22n32n2 right limn o infty left fracx22n32n2 right x2 limn o infty frac12n32n2 Como o denominador cresce sem limites o limite total é x2 cdot 0 0 O teste da razão mostra que a série converge absolutamente para todo x in mathbbR Portanto a série de Taylor de sinh x converge para sinh x em toda a reta Agora consideremos a função cosh x A série de Taylor de cosh x ao redor de 0 é dada por cosh x sumn0infty fracx2n2n Para mostrar a convergência da série de Taylor para cosh x em toda a reta aplicamos novamente o teste da razão limn o infty left fracfracx2n22n2fracx2n2n right limn o infty left fracx22n22n1 right limn o infty left fracx22n22n1 right x2 limn o infty frac12n22n1 Como o denominador nesse caso também cresce sem limites o limite total é x2 cdot 0 0 O teste da razão mostra que a série converge absolutamente para todo x in mathbbR Portanto a série de Taylor de cosh x converge para cosh x em toda a reta Assim as séries de Taylor das funções sinh x e cosh x convergem para as funções correspondentes em toda a reta