Trabalho de Cálculo 1

TRABALHO DE CÁLCULO 1 4ª QUESTÃO 5ª QUESTÃO 6ª QUESTÃO 10ª Questão Dadas as sequências xn e yn defina zn pondo z2n1 xn e z2n yn Se lim xn lim yn a prove que lim zn a 11ª Questão Se lim xn a prove que lim xn a Dê um contra exemplo mostrando que a recíproca é falsa salvo quando a 0 Assim 2n1 then N Retanto an éconvergente e Limitada Suponimente 11 an convergen L Lim an Lim sqrt 12n an1 sqrt 12n sqrt 12n L2110 L 1 sqrt 1411 L sqrt 5 L sqrt 12n lim n7o n1 n1 L sqrt 12n L lim L 1 sqrt 5 2 Mas como 2n L 1 sqrt 5 10 Seja 60 Como lim xn 1 Se 60 Para esse 60 existe n e N Com lim yn 0 xn 2 e 2n n existe N Como lim yn 0 para esse mesmo 60 existe n n 2n N yn2 e Tomando N max n1n2 2n1 2n1 n 2 2n1 xn 1 e 2n1 a e 2n N n n 2 yn a e Assim para todo n N zn a e Isto é Lim zn a 11 Como lim xn a para cada 60 existe N N talque n N xn a e Como xn a xn a xn a e para todo n N Portanto Lim xn a Consideramos xn cn xn a xn 1 xn 1 then N Lim xn 1 1 xn1 Mas Lim 2a 1 não existe jo dem x2n e Lim x2n1 1 1 Lim an tn1 an 0 Lembra lim ateto lim no 0 km limitda Como the 07 enta to to é limitado e lim bn an lim bn lim an I0 Logo Lim tn1 bn an 0 Em 0 6 Notema que Lim cn Lim dn I htooo a t to thenu e a 1 am2 thenv Po indues Ye N1 a12 v isto e n este e an2 Suponhamos valido para n iste 5 7 2 1t an 3 Jt an 2 an 2 an2 2 an2 an1 2 an1 2 Po indues Se n 1 at1 2 Suponhamos valido para n isto o time oo an1 an1 an1 an1 an1 5 1 Como 14 1 1 1n 1 1 1 Ento 1 1 1 then N Assim A é limitada supeniormente e inplorimetre 70 Se n é pai 1 1 1 1 1 Ini y 1 Se n é impá 1 1 2n 2n 4 2n1 1 1 y 1 1 1 o 121 2n 1 y 12 2n 121 1 y 12 1 1 7 1 Assim 1 e minimo inftmo e e maxiermo Supono 1e De X X2 2 x 2 0 x 22 xo 22 20 2x 2 X1 x1 x1 22 x1 212 17 X 1 1 77 x117 x177 0 1 1772 1 U 1 1 1 117 eh 10 eu 10 10 União Assim C não é limitado Superiormente nem Inploricamente Portanto não tem Supremo nem Inifino 3 infx E Seja XeX aX li a esta Infelimite 1 Dai a b ae X a a epsilon a e e 1 Seja aso limanemente a5 x 2 a5 5 E X Assim existe XeX e X s 1 1 logo infcx a Supxb Seja XeX 1 X b 01 b 1 Dif benamente b be b 11 São eso b b E Ext d bb E ye be 21 Assim existe ae b b b e ye b 21 Logo Sup x b 4 21 Como X é Limitado Superiormente existe sup X X Sup X iftex ar Ex b b c opx cota superior de X Logo sup é cota supeiá de X ii Si t es cota superior de c X ex c x t x e X x t xeX ex t txex a t e x x Como Sup x c e menor cota superior de X sup x t c supx t òsj supc x c sup x b Como X e limitado superiormente existe M q cx M x e X cx c m x e X m x M x e X c e0 c x e limitados inferiormente i Como x c sup X x e X c x c cota infaln de c X c 0 c sup x cota infan de c X ii Sig t otra cota inf alın de e X x t 0 x e t x e X supx t c sup x g t c e0 c supX t 0 e c Infc x c sup X 5 Lim Cn Lim 1 tn bn tn bn n n Lim an tn an tn bn n n Lim an an tn an tn llegando