Trabalho de Calculo 1

TRABALHO DE CÁLCULO 1 2 Solução Seja α inf A Queremos mostrar que 1 α é cota superior de A 2 ϵ0 xA tal que α ϵ x De fato dado x A temos α x x α Portanto α é cota superior de A Agora dado ϵ0 como α inf A temse que existe x A tal que x α ϵ Logo α ϵ x α ϵ x e x A Logo concluímos que Sup A α inf A 3 Solução V Como f possui ponto fixo existe x tal que fx x Mas f é invertível isto é existe a inversa f¹ Aplicando f¹ em fx x temos f¹fx f¹x x f¹x Logo f¹ possui ponto fixo V De fato como Lim xn a e lim xnyn b com b 0 segue que lim xnyn lim xn lim yn ab Mas xnyn xn1 1yn ynyn Digitalizado com CamScanner Logo lim yn lim xn yn 96 F Note que como sennx 1 n N e x R temos 0 sennx n sennx n 1n Como lim 1n 0 o Teorema do confronto assegura que lim sennx n 0 Portanto lim sennx n 0 e a sequência sennxn é convergente e seu limite é zero V Note que x³ 41x² x³1x² 4 x³ x⁵ 4 x⁵ x³ 4 0 Defina a função f 1 2 R por fx x⁵ x³ 4 Como f é uma função polinomial segue que f é contínua Além disso f1 1 1 4 2 0 e f2 32 8 4 36 0 Digitalizado com CamScanner Portanto pelo Teorema do Valor Intermediário existe x 1 2 tal que fx 0 Ou seja existe x 1 2 tal que x⁵ x³ 4 0 Logo a equação x³ 41 x² admite ao menos uma solução real no intervalo 1 2 4 Solução Tome x 0 1 Se x Q temos fx 1 Como R Q 01 é denso em 01 existe uma sequência xn R Q 01 tal que lim xn x Dado que xn R Q n N temos lim fxn lim 0 0 fx Logo f não é contínua em x 0 1 Q Do modo análogo se x 01 R Q então fx 0 Mas Q 01 é denso em 01 Então existe uma sequência yn Q 01 tal que lim yn x Dado lim fyn lim 1 1 fx Logo f não é contínua em x R Q 01 Logo f é descontínua x 01 Digitalizado com CamScanner 5 Solução a Note que tal sequência é definida recursivamente por x1 2 e xn1 2xn nℕ Agora usando indução em n vejamos que xn 2 e xn xn1 nℕ De fato para n1 temos x1 2 2 e x1 2 22 x2 em que x1 x2 2 22 Supondo válido para n isto é xn 2 e xn xn1 vamos mostrar que é válido para n1 De fato xn1 2xn 2xn 22 2 e xn1 2xn 2xn 2xn1 2xn1 xn2 Logo xn 2 e xn xn1 nℕ Com isso verificamos que xnnℕ é limitada superiormente e monótona não decrescente Logo xnnℕ é convergente b Seja x o limite de xnnℕ Então de xn1 2xn temos xn12 2 xn xn12 2 xn 0 Passando o limite temos lim n xn12 2 xn lim n 0 0 x2 2 x 0 xx 2 0 x 0 ou x 2 Mas xn x1 2 nℕ Logo lim n xn 0 Daí temos x 2 como queríamos mostrar 6 Solução Dado ε 0 como f e g são uniformemente contínuas existem δ1 δ2 0 tais que xy X e x y δ1 fx fy ε2 xy X e x y δ2 gx gy ε2 Tomando δ minδ1 δ2 temos xy X e x y δ x y δ1 e x y δ2 fx fy ε2 e gx gy ε2 fgx fgy fxgx fy gy fx fy gx gy fx fy gx gy ε2 ε2 ε Logo fg é uniformemente contínua