Algebra e Teoria dos Números

INSTITUTO FEDERAL Paraná ÁLGEBRA E TEORIA DOS NÚMEROS PROVA ESCRITA Prof Jefferson Estudante Janine da Sora Conceito D Orientações As respostas devem ser justificadas por meio de cálculos eou argumentos e apresentadas de forma organizada em uma folha avulsa que será entregue junto a folha de questões A resposta definitiva deve ser escrita à caneta preferencialmente Não é permitido conversa ou troca de materiaiscalculadoras durante a realização da avaliação 1 Demonstre as seguintes propriedades da divisão sem a um número inteiro Lembrete para demonstrar essas propriedades basta mostrar que elas satisfazem a definição a a a b 1 a 2 Dados dois números inteiros a e b mostre que se a b então a b 3 Apresente um contraexemplo para a seguinte proposição Dados inteiros a b e c se a b c então a b ou a c Em branco 4 Considere e seguinte proposição Dados os números inteiros a b e c Se a b e a c então a b c Em branco a Apresente um exemplo que ilustra essa proposição b Demonstre a proposição 5 Considere a seguinte proposição Dados números inteiros a b e c se a b e a c então a² b c a Apresente um exemplo que ilustra essa proposição b Demonstre a proposição Exemplo OK Faltou demonstração 6 O Algoritmo da Divisão de Euclides pode ser enunciado da seguinte maneira Dados dois inteiros q e b com b 0 existe um único par de números inteiros q e r tais que a q b r com 0 r b A partir disso para cada par de inteiros a e b dados encontrar o quociente q e o resto r satisfazendo o algoritmo da divisão a a 45 e b 4 b a 45 e b 4 7 Um número inteiro par é da forma 2k e um número ímpar é da forma 2k 1 com k sendo um inteiro qualquer Mostre que se n é um número ímpar então o seu dobro é um número par Exemplo não demonstra 8 Questão bônus resposta facultativa Considere a seguinte proposição 15 24n 1 para todo n N a Verifique essa afirmação para 2 valores aleatórios de n b Demonstrar essa proposição Para todo número inteiro aleatório podemos afirmar que a proposição em questão é verdadeira e é levada na equação 15 24n 1 15 2 4n 1 15 2 8m 1 15 16 1 15 15 15 15 2 4n 1 15 4n 1 15 16m 1 15 15 Q1 Demonstre as seguintes propriedades sem a um número inteiro a a a Para demonstrar essa propriedade precisamos encontrar um número inteiro k que satisfaça a equação a a k a a k 0 a 1 k 0 Para que isso seja verdade temos dois casos 1 a 0 2 1 k 0 k 1 a a Como k 1 é um número inteiro que satisfaz a condição a a k concluímos que aa pois existe um inteiro k que satisfaz a condição de divisibilidade Portanto aa b 1a Queremos provar que 1a assim a 1 k Observando a equação vemos que k pode ser escolhido como o próprio número a pois a k a 1 a Sabemos que a é um número inteiro então k a também é um número inteiro Logo k a é válido Portanto como encontramos um número inteiro k a que satisfaz a condição a 1 k concluímos que 1a Q2 Dados dois números inteiros a e b mostre que se a b então a b Suponhamos que a b então existe um número inteiro q tal que b a q Com isso b a q multiplicando 1 em ambos os lados b a q b a q Como q é um inteiro já que o conjunto dos números inteiros é fechado Temos que existe m q tal que b a m Portanto por definição isso implica que a b Q3 Apresente um contra exemplo para a seguinte proposição Dados dois inteiros a b e c se abc então ab ou ac Vamos escolher os seguintes valores a6 b24 c7 bc24717 verificando 6bc 612 logo 6 divide 2 Portanto abc 62 Verdade ab 614 Falso ac 62 Falso Q4 Considera a seguinte proporção Dados dois inteiros a b e c Se ab e ac então ab c a Apresente um exemplo que ilustre essa proporção a 3 b 9 c 6 ab 39 porque 9 33 ac 36 por que 6 32 ab c 39 6 315 porque 15 3 x 5 logo a proporção é válida b Se ab e ac então existem inteiros m e n para os quais b am e c an Assim b c am an am n logo ab c Q5 a Façamos a 2 b 4 c 8 ab 24 pois 4 22 ac 28 pois 8 42 a²bc 432 pois 32 48 logo a proporção é válida b Pelo fato de ab e ac então b ak e c bq c akq akq Assim bc akakq a²kkq a²n logo a²bc Q6 a a 45 e b 4 45 4q n 45 4 q n q 45 4x11 45 44 1 Portanto q 11 e n 1 45 4 11 1 b a 45 e b 4 Seguimos os mesmos passos 45 4q n 45 4x11 45 44 1 45 4 11 1 Q7 Supomos que n seja um número ímpar n 2k 1 onde k é um inteiro qualquer Daí 2n 2 2k 1 2n 4k 2 2n 22k 1 note que 2n 2m onde m 2k 1 como 2n 2m e m é um inteiro concluise que 2n é da forma 2m inteiro qualquer ou seja é um número par Q8 a n 1 n 2 152 41 1 152 42 1 1536 1 152⁸ 1 1515 15256 1 15255 b1 Vamos mostrar que 2⁴ⁿ² é divisível por 3 e por 5 utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética pois 3 e 5 são primos de seu produto e 15 Para 3 2¹ 2 mod 3 2² 1 mod 3 Como 2² 1 mod 3 temos 2⁴ⁿ 2²²ⁿ 1²ⁿ 1 mod 3 2⁴ⁿ 1 1 1 0 mod 3 isso mostra que é divisível por 3 Prno 5 21 2 mod 5 22 4 mod 5 23 3 mod 5 24 1 mod 5 Uniform comuns 24n 24n 1n 1 mod 5 24n 1 1 1 0 mod 5 Isso mostra que 24n 1 é divisível por 5 Portanto a demonstração está demonstrada