Lista de Atividades 1

INSTITUTO FEDERAL Paraná INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Capanema Rua Cariris 750 Santa Bárbara Capanema PR Ministerio da Educacao Licenciatura em Matematica Turno Noturno Disciplina Álgebra Linear II Professor Jefferson Data Nome RA Conceito A B C D Lista de exercıcios 1 Lista de exercıcios de Algebra Linear II 1 Verificar quais dos conjuntos a seguir s ao subespaços vetoriais de R2 com as opera c oes usuais de adi c ao e multiplica c ao por escalar a S x y y x b S x x2 x R c S x y x 3y 0 d S x y y x 1 2 Considere os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 a Escreva o vetor w 7 11 2 como combinacao linear de u e v b Para qual valor de k o vetor v1 8 14 k e uma combinaç ao linear dos vetores u e v 3 Considere os vetores v1 1 2 1 v2 1 0 2 e v3 2 1 0 do R3 a Expressar o vetor u 8 4 1 como combinação linear dos vetores v1 v2 e v3 b Expressar o vetor v 0 2 3 como combinacao linear de v1 v2 e v3 1 S xy y x Se v xy S então v xx Sejam u x₁ x₁ v x₂ x₂ S α R Temos i Tomando x 0 então 00 S ii u v x₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂ S Logo u v S iii αu α x₁ x₁ αx₁ αx₁ αx₁ αx₁ S Logo αu S Portanto S é um subespaço vetorial b S x x² x IR S não é um subespaço vetorial Pois sejam u x₁ x₁² v x₂ x₂² S temos u v x₁ x₂ x₁² x₂² x₁ x₂ x₁ x₂² Logo u v S c S xy x 3y 0 x 3y Sejam u 3y₁ y₁ v 3y₂ y₂ S α R i Tomando y 0 então 00 S ii u v 3y₁ 3y₂ y₁ y₂ 3y₁ y₂ y₁ y₂ S Logo u v S ii αu α3y₁ αy₁ 3αy₁ αy₁ S Logo αu S Portanto S é um subespaço vetorial d S xy y x 1 S não é um subespaço vetorial Pois sejam u x₁ x₁ 1 v x₂ x₂ 1 S temos u v x₁ x₂ x₁ 1 x₂ 1 x₁ x₂ x₁ x₂ 2 S Logo u v S 2 a Sejam a b ℝ considere a equação 7 11 2 a2 3 2 b1 2 4 ou seja 2a b 7 1 3a 2b 11 2 2a 4b 2 3 De 3 2a 4b 2 a 2b 1 a 1 2b De 2 3a 2b 11 3 6b 2b 11 8b 8 b 1 De 1 2a b 7 2a 1 7 2a 6 a 3 Portanto w 3u 1v b Sejam a b ℝ considere a equação 8 14 k a2 3 2 b1 2 4 ou seja 2a b 8 3a 2b 14 2a 4b k Vamos resolver o sistema por escalonamento 2 1 8 12 L₁ L₁ 3 2 14 4 4 k 1 12 4 L₂ 3L₁ L₂ L₃ 2L₁ L₃ 1 12 4 0 12 2 0 5 k 8 L₃ 10 L₂ L₃ 1 12 4 0 12 2 0 0 k 12 Logo se k 12 0 ou seja k 12 o sistema é possível e determinado Portanto se k 12 o vetor v₃ é uma combinação linear de u e v 3 a Sejam a b c ℝ considere a equação 8 4 1 a1 2 1 b1 0 2 c2 1 0 ou seja a b 2c 8 2a c 4 a 2b 1 Por escalonamento temos 1 1 2 8 2 0 1 4 1 2 0 1 L₂ 2L₁ L₂ L₃ L₁ L₃ 1 1 2 8 0 2 5 12 0 3 2 7 L₃ 32 L₂ L₃ 1 1 2 8 0 2 5 12 0 0 112 11 Logo a b 2c 8 2b 5c 12 112 c 11 onde obtemos a 3 b 1 c 2 Portanto u 3 v1 1 v2 2 v3 b Sejam a b c e R considere a equação 0 2 3 a1 2 1 b1 0 2 c2 1 0 ou seja a b 2c 0 2a c 2 a 2b 3 Por escalonamento temos 1 1 2 0 2 0 1 2 1 2 0 3 L2 2 L1 L2 L3 L1 L3 1 1 2 0 1 1 2 0 0 2 5 2 0 3 d 3 L3 32 L2 L3 1 1 2 0 0 2 5 2 0 0 112 0 logo a b 2c 0 2b 5c 2 112 c 0 donde obtemos a 1 b 1 c 0 Portanto u 1 v1 1v2 0v3