Transformações Lineares

Pela condição de igualdade de matrizes vem x 2 2 3 y 1 23 1 ou x 4 3 y 23 logo C 4 3 23 O problema tem outra solução que seria obtida fazendo de 60 do vetor AB v em torno de A a cargo do leitor 39 PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas 1 a 12 dentre as funções transformações verificar quais delas são lineares 1 f IR² IR² f x y 2x y 3x 5y 2 f IR² IR² f x y x² y² 3 f IR² IR² f xy x 1 y 4 f IR² IR² f x y y x 0 5 f IR² IR² f x y x 2y 6 f IR² IR f x y xy 7 f IR² IR³ f xy 3y 2x 0 8 f IR³ IR³ f x y z x y xy x 9 f IR IR² f x x 2 10 f IR³ IR f x y z 3x 2y z 11 f IR² IR f x y x 12 f IR² IR⁴ f x y y x y x Nos problemas 13 a 18 dada a transformação linear f IR² definida em cada um deles a fazer um gráfico de um vetor genérico v x y e de sua imagem b dizer que transformação linear plana os gráficos representam 13 f x y 2x 0 14 f x y 2x y 15 f x y 2x 2y 16 f x y 3x 2y 17 f x y y x 18 f x y 2 x y 19 Seja f IR³ W a projeção ortogonal do IR³ sobre o plano y 0 z inc ① Sejam v₁ x₁ y₁ v₂ x₂ y₂ IR² e λ IR Temos i f₁ v₁ v₂ 2 x₁ x₂ y₁ y₂ 3 x₁ x₂ 5 y₁ y₂ 2x₁ 2x₂ y₁ y₂ 3x₁ 3x₂ 5y₁ 5y₂ 2x₁ y₁ 2x₂ y₂ 3x₁ 5y₁ 3x₂ 5y₂ 2x₁ y₁ 3x₁ 5y₁ 2x₂ y₂ 3x₂ 5y₂ f₁ v₁ f₁ v₂ ou seja f₁ v₁ v₂ f₁ v₁ f₁ v₂ ii f₁ λv₁ f₁ λx₁ λy₁ 2λx₁ λy₁ 3λx₁ 5λy₁ λ 2x₁ y₁ λ 3x₁ 5y₁ λ 2x₁ y₁ 3x₁ 5y₁ λ f₁ v₁ ou seja f₁ λv₁ λ f₁ v₁ A Função f não é uma transformação linear Pois dados v1 23 v2 01 R² temos fv1 v2 f24 34 Por outro lado fv1 fv2 f23 f01 33 11 44 Logo fv1 v2 fv1 fv2 Sejam v1 x1y1 v2x2y2 R² e λ R Temos i fv1 v2 y1 y2 x1 x2 0 y1 y2 x1 x2 0 y1 x1 y2 x2 0 0 y1 x1 0 y2 x2 0 fv1 fv2 ou seja fv1 v2 fv1 fv2 ii fλv1 λy1 λx1 0 λy1 x1 0 λy1 x1 0 λfv1 ou seja fλv1 λfv1 Portanto f é uma transformação linear Portanto f é uma transformação linear 2 A Função f não é uma transformação linear Pois dados v1 11 v2 12 R² temos fv1 v2 f23 49 Por outro lado fv1 f11 11 e fv2 f12 14 Logo fv1 fv2 25 Portanto obtemos fv1 v2 fv1 fv2 A Função f não é uma transformação linear Pois dados v₁ 1 1 v₂ 3 6 R² temos fv₁ v₂ f2 7 2 14 Por outro lado fv₁ fv₂ f1 1 f3 6 1 2 3 12 4 14 Logo fv₁ v₂ fv₁ fv₂ A Função f não é uma transformação linear Pois dados v₁ 1 1 v₂ 2 2 R² temos fv₁ v₂ f3 3 9 Por outro lado fv₁ fv₂ f1 1 f2 2 1 4 5 Logo fv₁ v₂ fv₁ fv₂ Seja v₁ x₁ y₁ v₂ x₂ y₂ R² λ R Temos i fv₁ v₂ 3y₁ y₂ 2x₁ x₂ 0 3y₁ 3y₂ 2x₁ 2x₂ 0 0 3y₁ 2x₁ 0 3y₂ 2x₂ 0 fv₁ fv₂ ou seja fv₁ v₂ fv₁ fv₂ ii fλv₁ 3λy₁ 2λx₁ λ0 λ3y₁ λ2x₁ λ0 λ3y₁ 2x₁ 0 λfv₁ ou seja fλv₁ λfv₁ Portanto f é uma transformação linear Sejam v₁ x₁ y₁ z₁ v₂ x₂ y₂ z₂ R³ λ R Temos i fv₁ v₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ x₁ y₁ x₁ y₁ x₁ x₂ y₂ x₂ y₂ x₂ fv₁ fv₂ ou seja fv₁ v₂ fv₁ fv₂ ii fλv₁ λx₁ λy₁ λx₁ λy₁ λx₁ λx₁ y₁ λx₁ y₁ λx₁ λx₁ y₁ x₁ y₁ x₁ λfv₁ Ou seja fλv1 λfv1 Portanto f não é uma transformação linear Pois dados v1 1 v2 4 IR temos fv1 v2 f5 5 2 Por outro lado fv1 fv2 f1 f4 1 2 4 2 5 4 Logo fv1 v2 fv1 fv2 Sejam v1 x1 y1 z1 v2 x2 y2 z2 IR3 λ IR Temos i fv1 v2 3x1 x2 2y1 y2 z1 z2 3x1 3x2 2y1 2y2 z1 z2 3x1 2y1 z1 3x1 2y2 z2 fv1 fv2 ou seja fv1 v2 fv1 fv2 ii fλv1 3λx1 2λy1 λz1 λ3x1 2y1 z1 λfv1 ou seja fλv1 λfv1 Portanto f é uma transformação linear Sejam v1 x1 y1 v2 x2 y2 IR2 λ IR Temos i fv1 v2 x1 x2 fx1 y1 fx2 y2 fv1 fv2 ou seja fv1 v2 fv1 fv2 ii fλv1 λx1 λfx1 y1 λfv1 ou seja fλv1 λfv1 Portanto f é uma transformação linear Sejam v₁ x₁ y₁ v₂ x₂ y₂ ℝ² λ ℝ Temos i fv₁ v₂ y₁ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ y₁ x₁ y₁ x₁ y₂ x₂ y₂ x₂ fv₁ fv₂ ou seja fv₁ v₂ fv₁ fv₂ ii fλv₁ λy₁ λx₁ λy₁ λx₁ λy₁ x₁ y₁ x₁ λfv₁ ou seja fλv₁ λfv₁ Portanto f é uma transformação linear