Lista de Atividades 2

INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ Campus Capanema Rua Cariris 750 Santa Bárbara Capanema PR Licenciatura em Matemática Turno Noturno Disciplina Álgebra Linear II Professor Jefferson Data Nome RA Conceito A B C D Lista de exercícios 2 Lista de exercícios de Álgebra Linear II 1 Determinar os geradores dos seguintes subespaços a S x yy x b S x yx 3y 0 c S xyzt R4x y z 0 d S xyz10x 3y z 0 2 Classifique os seguintes conjuntos de vetores em LI ou LD a 13 b 21 35 c 13 26 d 213 e 111 1 1 f 2 1 0 1 3 0 340 3 Mostre que os vetores v1 1 1 1 v2 0 1 1 e v3 0 0 1 geram o R3 GABARITO 1 a Resposta possível 11 b Resposta possível 31 Resposta possível 1010 0110 0001 d Resposta possível 131 124 2 a LI bLI cLD d LI eLI fLD 3 Demonstração ① a S xy y x Se v xy S então v xx x11 Portanto o subespaço S é gerado por S 11 b S xy x 3y 0 Se v xy S v satisfaz a equação x 3y 0 ou seja x 3y Logo v 3yy y31 Portanto S é gerado por S 31 c S xyzt R4 x y z 0 Se v xyzt S v satisfaz a equação x y z 0 ou seja y x z Logo v xx zzt x1100 z0110 t0001 Portanto o conjunto gerador de S é dado por S 1100 0110 0001 d S xyz 10x 3y z 0 Se v xyz S v satisfaz a equação 10x 3y z 0 ou seja z 10x 3y Logo v xy10x 3y x1010 y013 Portanto conjunto gerador de S é S 1010 013 2 a O conjunto 13 é L I Pois dado a IR temos a13 0 ou seja a 0 3a 0 donde segue que a 0 b Considere o conjunto 21 35 Sejam ab IR temos a21 b35 0 ou seja 2a 3b 0 1 a 5b 0 a 8b 0 De a 8b De 1 2a 3b 0 16b 3b 0 13b 0 b 0 como a 8b e b 0 então a 0 Portanto o conjunto dado é LI c Considere o conjunto 13 26 O conjunto é LD pois 26 213 d Considere o conjunto 213 Dado a IR temos a213 0 ou seja 2a 0 a 0 3a 0 donde segue que a 0 Portanto o conjunto é LI e Considere o conjunto 111 111 Sejam ab IR temos a111 b111 0 ou seja a b 0 1 a b 0 a b 0 b a a b 0 De 1 a b 0 a a 0 2a 0 a 0 Logo a b 0 e portanto o conjunto é LI f Considere o conjunto 2 1 0 1 3 0 3 4 0 Sejam a b c ℝ temos a2 1 0 b1 3 0 c3 4 0 0 ou seja 2a b 3c 0 1 a 3b 4c 0 2 De 1 b 2a 3c De 2 a 3b 4c 0 a 6a 9c 4c 0 5a 5c 0 a c logo a 0 b 0 c 0 Portanto o conjunto é LD 3 Para mostrar que os vetores v1 1 1 1 v2 0 1 1 e v3 0 0 1 geram ℝ3 precisamos mostrar que qualquer vetor x y z ℝ3 pode ser escrito como combinação linear de v1 v2 e v3 Sejam a b c ℝ considere a equação x y z a1 1 1 b0 1 1 c0 0 1 ou seja a x 1 a b y 2 a b c z 3 De 1 a x De 2 a b y x b y b x y De 3 a b c z x x y c z c y z Portanto x y z x v1 x y v2 y z v3 ou seja os vetores v1 v2 e v3 geram ℝ3