Lista de Exercícios

Licenciatura em Matemática Turno Noturno Disciplina Álgebra Linear II Professor Jefferson Data 12072024 Nome Conceito Lista de exercícios de Álgebra Linear II 1 Dada a transformação linear T R2 R2 definida por Txy 2x y 8x 4y quais dos seguintes vetores pertencem ao NT a 510 b 32 c 11 2 Seja T R4 R3 definida por Tx1x2x3x4 4x1 x2 2x3 3x4 2x1 x2 x3 4x4 6x1 9x3 9x4 Quais dos seguintes vetores estão em ImT a 006 b 130 c 241 3 Considerando a transformação linear do exercício anterior quais dos seguintes vetores estão em NT a 3820 b 0001 c 0410 4 Qual é a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear do exercício anterior 5 Seja T P2 P3 dada por Tpx xpx isto é Tax2 bx c ax3 bx2 cx Qual dos seguintes vetores pertence a NT a x2 b 0 c 1 x 6 Qual é a dimensão de NT na transformação do exercício anterior 7 Seja T R3 R3 definida por Txyz x 2y z y z x y 2z a Determine ImT e sua dimensão b Determine NT e sua dimensão Gabarito 1 a 2 abc 3 a 4 dim NT 1 dim ImT 3 5 b 6 0 7 a 101 011 dim ImT 2 b Nf 3z z z dim Nf 1 1 Vide exercício 2c da lista anterior 1 Para estar em NT é necessário que Txy 00 a T510 25 10 85 410 10 10 40 40 00 Logo 510 pertence ao NT b T32 23 2 83 42 6 2 24 8 416 00 c T11 21 1 81 41 2 1 8 4 14 00 2 Para estar em ImT precisam existir x3x2x3x4 tais que Tx1x2x3x4 xyz a Veja que T74 112 0 12 474 112 20 312 274 112 0 412 674 90 912 7 112 32 72 112 2 212 92 7 142 42 2 322 006 Logo 006 pertence à ImT b Veja que T34 12 0 12 434 12 20 312 234 12 0 412 634 90 912 3 42 32 12 2 92 92 130 Logo 130 pertence à ImT c Veja que T2524 532 0 732 42524 532 20 3732 22524 512 0 4712 62524 90 9712 505 2332 25 5 2832 75 6332 2432 4812 1212 241 Logo 241 pertence à ImT 3 a T3820 43 8 22 30 23 8 2 40 63 92 90 12 8 4 6 8 2 18 18 000 Logo 3820 pertence ao NT b T0001 40 0 20 31 20 0 0 41 60 90 91 3 4 9 000 c T0 4 1 0 40 421 30 20 4 1 40 60 91 90 6 3 9 000 4 Primeira observe que Tx1x2x3x4 x3426 x2110 x3219 x4349 Logo 426 110 219 349 gera ImT mas percebo que 38426 14219 110 logo 426 219 349 também gera ImT e é LI pois 4 2 6 2 1 9 3 4 9 36 54 48 18 36 144 96 0 Assim dim ImT 3 e como dim R4 4 pelo Teorema do núcleo e da imagem dim NT 1 5 a Tx2 xx2 x3 0 b T0 x0 0 Logo 0 pertence ao NT c T1 x x1 x x2 x 0 6 Tpx0 xpx0 x0 ou px0 Dê NT0 logo dim NT0 7 a Txyzx101y211z112 logo os vetores 101211112 geram ImT mas observe que 3101211112 é assim 101211 gera ImT e é LI pois a101b211000 a2bbab000 b0 a0 ab0 Portanto ImT101211 e dim ImT2 b Txyz00c x2yz0 yz0 xy2z0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 L3 L3L1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 L3 L3L2 x2yz0 yz0 y z x 2zz 3z xyz z311 e 311 é LI logo NT311 e dim NT 1