Lista de Exercicios - Analise de Sistemas de Controle - Margem de Fase e Ganho

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 5ª Lista de Exercício Professora Ludmila Ferreira dos Anjos Nome 1 Qual é a Margem de Fase do Sistema com a seguinte função de transferência de malha aberta seguir o exemplo dado 20 ptos 𝑮𝒐𝒔 𝟖 𝒔𝒔 𝟒 Aline da Silva Magalhães MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 2 Abaixo temos o diagrama em blocos de um determinado sistema e seu diagrama de Bode para K 5 Pedese a Determine a margem de fase e a margem de ganho Dizer se o sistema é estável ou instável 20 ptos b Faça no próprio diagrama um esboço do que acontecerá se o valor de K for alterado para K1 Como será a margem de fase e de ganho e em relação a sua estabilidade 20 ptos MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 3 Para o sistema K1 a Desenhe os diagramas de Bode b Calcule a fase ϕ correspondente ao módulo de 0dB c Calcule a MF Margem de Fase 180ϕ d Calcule a MG Margem de Ganho 20 ptos MINISTÉRIO DA EDUCAÇÂO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS CAMPUS GOIÂNIA DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 4 Considere a seguinte FT 20 ptos 𝑮𝒐𝒔 𝟒𝟎𝟏 𝟎 𝟒𝐬 𝒔𝟏 𝟐𝒔𝟏 𝟎 𝟐𝟒𝐬 𝟎 𝟎𝟒𝐬² a Traçar os diagramas de Bode utilizando o Matlab ou equivalente anexar os diagramas e o código b Determinar a margem de ganho e a margem de fase anexar as imagens e o código Questão 1 𝐺0𝑠 8 𝑠𝑠 4 𝐺0𝑠 8 𝑠2 4𝑠 𝐺0𝑗𝜔 8 𝑗𝜔2 𝑗4𝜔 𝐺0𝑗𝜔 8 𝜔2 𝑗4𝜔 𝐺0𝑗𝜔 8 𝜔2 𝑗4𝜔 𝜔2 𝑗4𝜔 𝜔2 𝑗4𝜔 𝐺0𝑗𝜔 8𝜔2 𝑗32𝜔 𝜔4 16𝜔2 𝐺0𝑗𝜔 8𝜔 𝜔3 16𝜔 𝑗 32 𝜔3 16𝜔 𝑅𝑒𝐺0𝑗𝜔 8𝜔 𝜔3 16𝜔 𝐼𝑚𝐺0𝑗𝜔 32 𝜔3 16𝜔 𝐺0𝑗𝜔 8𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 64𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 𝐺0𝑗𝜔 𝑡𝑔1 32 8𝜔 180 𝑡𝑔1 4 𝜔 180 64𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 1 64𝜔2 322 𝜔3 16𝜔 64𝜔2 322 𝜔3 16𝜔2 64𝜔2 322 𝜔6 32𝜔4 256𝜔2 𝜔6 32𝜔4 192𝜔2 322 0 Substituindo 𝜔2 𝑧 𝑧3 32𝑧2 192𝑧 1024 0 𝑧 16𝑧2 16𝑧 64 0 𝑧12 16 162 4 64 2 𝑧12 8 512 2 𝑧1 19314 𝑧2 3314 𝑧3 16 Como o único resultado desejado é o positivo 𝑧 3314 𝜔 3314 𝜔 182 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐺0𝑗𝜔 𝑡𝑔1 4 𝜔 180 𝐺0𝑗𝜔 𝑡𝑔1 4 182 180 𝐺0𝑗𝜔 6553 180 𝐺0𝑗𝜔 11447 𝑀𝐹 𝐺0𝑗𝜔 180 𝑀𝐹 6553 Questão 2 Pelo gráfico 𝐺𝑑𝐵 18𝑑𝐵 𝐺𝑑𝐵 20 log𝐺 𝐺 10 18 20 𝐺 794 𝑀𝐺 1 𝐺 𝑀𝐺 0126 𝑀𝐹 2475 180 𝑀𝐹 675 Pelo MATLAB clear clc num151 3 den11 2 0 sys1tfnum den1 num21 den21 1 1 sys2tf1 den2 syssys1sys2 nyquistsys grid GmPmWcgWcp marginsys O resultado obtido é 𝐺𝑚 01238 𝑃𝑚 658515 𝑊𝑐𝑔 09343 𝑊𝑐𝑝 19275 Como a margem de ganho encontrada é menor que 1 isto indica que o sistema é instável Podemos comprovar por Routh 𝐺𝑠 5𝑠 3 𝑠𝑠 2𝑠2 𝑠 1 𝐹𝑇𝑀𝐹𝑠 5𝑠 3 𝑠𝑠 2𝑠2 𝑠 1 5𝑠 3 A equação característica é dada por 𝑠2 2𝑠𝑠2 𝑠 1 5𝑠 3 0 𝑠4 3𝑠3 3𝑠2 2𝑠 5𝑠 15 0 𝑠4 3𝑠3 3𝑠2 7𝑠 15 0 𝑠4 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0 1 3 15 3 7 23 15 605 15 Como há variação no sinal na primeira coluna temos que o sistema é instável b Para 𝐾 1 haverá uma alteração de 15 no ganho Em dB esta alteração é de 𝐴 20 log 1 5 14𝑑𝐵 Isto indica que a magnitude irá cair 14dB No Matlab a função encontrada foi 𝐺𝑑𝐵 5𝑑𝐵 𝐺 10 5 20 178 𝑀𝐺 1 𝐺 1 178 056 𝑀𝐹 180 2025 225 Como a margem de ganho é menor que 1 isto indica que o sistema é instável Podemos conferir pelo MATLAB K1 numK1 3 den11 0 den21 2 den31 1 1 systfnumden1tf1den2tf1den3 bodesys grid GmPmWcgWcp marginsys Onde os valores obtidos são 𝐺𝑚 06189 𝑃𝑚 251768 𝑊𝑐𝑔 09343 𝑊𝑐𝑝 11560 Também podemos conferir a partir de Routh 𝐺𝑠 𝑠 3 𝑠𝑠 2𝑠2 𝑠 1 𝐹𝑇𝑀𝐹𝑠 𝑠 3 𝑠𝑠 2𝑠2 𝑠 1 𝑠 3 A equação característica é dada por 𝑠2 2𝑠𝑠2 𝑠 1 𝑠 3 0 𝑠4 3𝑠3 3𝑠2 2𝑠 𝑠 3 0 𝑠4 3𝑠3 3𝑠2 3𝑠 3 0 𝑠4 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0 1 3 3 3 3 2 3 15 3 Como há variação no sinal na primeira coluna temos que o sistema é instável Questão 3 𝐺𝑠 16 𝑠 1𝑠 2𝑠 4 𝐺𝑠 2 𝑠 1 1 𝑠 2 1 𝑠 4 1 a 𝐺0 20 log2 6𝑑𝐵 Cada polo contribui com uma queda de 20dB por década na magnitude e em 90 na fase O primeiro polo em 1rads faz com que o módulo comece a decair 20dB por década o segundo polo em 2rads faz com que o módulo passe a decair a 40dB por década e o terceiro e ultimo polo em 4rads faz com que o módulo passe a decair a 60dB por década Já para a fase o primeiro polo leva a 90 o segundo a 180 e o terceiro polo leva a 270 Com as retas de referência é possível desenhar o possível gráfico O gráfico feito no Matlab pode ser visto a seguir b Pelo gráfico temos A fase para um módulo de 0 é aproximadamente 𝜙 1125 c A margem de fase é dada por 𝑀𝐹 180 𝜙 𝑀𝐹 180 1125 𝑀𝐹 775 d 𝐺𝑑𝐵 15𝑑𝐵 𝐺 10 15 20 0178 𝑀𝐺 1 𝐺 562 Pelo Matlab temos 𝐺𝑚 56265 𝑃𝑚 785044 𝑊𝑐𝑔 37421 𝑊𝑐𝑝 12643 Questão 4 a K40 numK04 1 den11 0 den22 1 den3004 024 1 systfnumden1tf1den2tf1den3 figure1 bodesys grid b MGMFWmgWmf marginsys figure2 marginsys grid Questão 1 G0 s 8 s s4 G0 s 8 s 24 s G0 jω 8 jω 2 j 4ω G0 jω 8 ω 2 j 4ω G0 jω 8 ω 2 j 4ω ω 2 j 4ω ω 2 j 4ω G0 jω8ω 2 j 32ω ω 416ω 2 G0 jω 8ω ω 316ω j 32 ω 316ω ℜG 0 jω 8ω ω 316ω ℑG0 jω 32 ω 316 ω G0 jω8ω 232 2 ω 316 ω 64ω 232 2 ω 316ω G0 jωt g 1 32 8ω180t g 1 4 ω180 64 ω 232 2 ω 316ω 1 64ω 232 2ω 316ω 64 ω 232 2ω 316ω 2 64 ω 232 2ω 632ω 4256 ω 2 ω 632ω 4192ω 232 20 Substituindo ω 2z z 332z 2192 z10240 z16 z 216z640 z121616 2464 2 z128 512 2 z119314 z23314 z316 Como o único resultado desejado é o positivo z3314 ω3314 ω182rad s G0 jωt g 1 4 ω180 G0 jωt g 1 4 182180 G0 jω6553180 G0 jω114 47 MFG 0 jω180 MF65 53 Questão 2 Pelo gráfico GdB18dB GdB20log G G 10 18 20 G 794 MG 1 G MG0126 MF 247 5180 MF 67 5 Pelo MATLAB clear clc num151 3 den11 2 0 sys1tfnum den1 num21 den21 1 1 sys2tf1 den2 syssys1sys2 nyquistsys grid GmPmWcgWcp marginsys O resultado obtido é Gm01238Pm658515 Wcg09343Wcp19275 Como a margem de ganho encontrada é menor que 1 isto indica que o sistema é instável Podemos comprovar por Routh G s 5 s3 s s2s 2s1 FTMF s 5 s3 s s2 s 2s15 s3 A equação característica é dada por s 22s s 2s15 s3 0 s 43s 33 s 22 s5s150 s 43s 33 s 27 s150 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 1 3 15 3 7 1560515 Como há variação no sinal na primeira coluna temos que o sistema é instável b Para K1 haverá uma alteração de 15no ganho Em dB esta alteração é de A20log 1 514dB Isto indica que a magnitude irá cair 14dB No Matlab a função encontrada foi GdB5dB G 10 5 20 178 MG 1 G 1 178 056 MF 1802025225 Como a margem de ganho é menor que 1 isto indica que o sistema é instável Podemos conferir pelo MATLAB K1 numK1 3 den11 0 den21 2 den31 1 1 systfnumden1tf1den2tf1den3 bodesys grid GmPmWcgWcp marginsys Onde os valores obtidos são Gm06189Pm251768 Wcg09343Wcp11560 Também podemos conferir a partir de Routh G s s3 s s2s 2s1 FTMF s s3 s s2 s 2s1s3 A equação característica é dada por s 22ss 2s1s3 0 s 43s 33 s 22 ss30 s 43s 33 s 23 s30 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 1 3 3 3 3 3153 Como há variação no sinal na primeira coluna temos que o sistema é instável Questão 3 G s 16 s1 s2 s4 G s 2 s 11 s 21 s 4 1 a G020log 2 6dB Cada polo contribui com uma queda de 20dB por década na magnitude e em 90 na fase O primeiro polo em 1rads faz com que o módulo comece a decair 20dB por década o segundo polo em 2rads faz com que o módulo passe a decair a 40dB por década e o terceiro e ultimo polo em 4rads faz com que o módulo passe a decair a 60dB por década Já para a fase o primeiro polo leva a 90 o segundo a 180 e o terceiro polo leva a 270 Com as retas de referência é possível desenhar o possível gráfico O gráfico feito no Matlab pode ser visto a seguir b Pelo gráfico temos A fase para um módulo de 0 é aproximadamente ϕ 112 5 c A margem de fase é dada por MF180ϕ MF 1801125 MF 775 d GdB15 dB G 10 15 20 0178 MG 1 G 5 62 Pelo Matlab temos Gm56265Pm785044 Wcg37421Wcp12643 Questão 4 a K40 numK04 1 den11 0 den22 1 den3004 024 1 systfnumden1tf1den2tf1den3 figure1 bodesys grid b MGMFWmgWmf marginsys figure2 marginsys grid