Sistemas de Controle II: Diagramas de Módulo em dB versus Ângulo de Fase

15 de dezembro de 2021 PROFESSORA LUDMILA FERREIRA DOS ANJOS Sistemas De Controle II I Aline da Silva Magalhães N y q u i s t Nyquist Agenda deHoje Assuntosdessaaula Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Teorema do Mapeamento DIAGRAMAS POLARES Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Ogata p 406 Outra maneira de representar graficamente as características da resposta em frequência é com a utilização do diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase que é um diagrama do módulo em decibéis versus o ângulo de fase ou a margem de fase para uma gama de valores de frequência de interesse Esses diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase normalmente são chamados carta de Nichols No diagrama do módulo em dB versus ângulo de fase as duas curvas do diagrama de Bode são combinadas em uma única A margem de fase é a diferença entre o próprio ângulo de fase ϕ e 180 isto é ϕ 180 180 ϕ Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Ogata p 406 O diagrama do módulo em dB versus fase pode ser construído facilmente pela leitura dos valores do módulo em dB e do ângulo de fase a partir do diagrama de Bode Uma variação na constante de ganho de G jω simplesmente desloca a curva para cima para ganhos crescentes ou para baixo para ganhos decrescentes mas a forma da curva permanece a mesma Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Ogata p 406 Vantagens A estabilidade relativa do sistema de malha fechada pode ser determinada rapidamente e A compensação pode ser realizada com facilidade Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Ogata p 406 O diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase da função de transferência senoidal G j ω e o de 1G j ω são antissimétricos em relação à origem pois e Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Ogata p 406 a Diagrama de Bode b diagrama polar c diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase Para uma função de 2ª ordem Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Ogata p 407 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase de funções de transferência simples Critério de Estabilidade de NyquistOgata p 407 O critério de estabilidade de Nyquist determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequência de malha aberta e nos polos de malha aberta Considere o sistema de malha fechada a seguir A FTMF é Critério de Estabilidade de NyquistOgata p 408 Para obter estabilidade todas as raízes da equação característica O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta G jwH jw ao número de zeros e polos de 1 GsHs que se situam no semiplano direito do plano s Embora os polos e os zeros da função de transferência de malha aberta GsHs possam estar no semiplano direito do plano s o sistema é estável se todos os polos da função de transferência de malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s Critério de Estabilidade de NyquistOgata p 408 Vantagem Esse critério deduzido por H Nyquist é útil porque a estabilidade absoluta do SMF pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta e não há necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de malha fechada As curvas de resposta em frequência de malha aberta obtidas analítica e experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade No projeto de um sistema de controle expressões matemáticas de alguns dos componentes frequentemente não são conhecidas apenas os dados da resposta em frequência estão disponíveis Mapeamento de Contorno no plano s O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em um teorema a partir da teoria de variáveis complexas Para entender o critério primeiro discutiremos o mapeamento de contornos no plano complexo Em um sistema de controle é necessário determinar se o sistema é estável Diversos métodos foram estudados para a determinação da estabilidade absoluta e relativa do sistema no DT RouthHurwitz Método do LGR Agora será investigado a estabilidade de um sistema no domínio da frequência real Mapeamento de Contorno no plano s A resposta de frequência representa a resposta de estado estacionário senoidal do sistema Ela fornece informação suficiente para se determinar a estabilidade relativa do sistema A resposta de frequência de um sistema pode ser obtida experimentalmente de forma rápida excitandose o sistema com sinais senoidais Através dela podese investigar a estabilidade relativa de um sistema quando valores de parâmetros ainda não tenham sido determinados Mapeamento de Contorno no plano s Um mapeamento de contorno é um contorno ou trajetória de um plano mapeado ou transportado para outro plano através de uma relação Fs Como s é uma variável complexa s σ j ω A própria função Fs é complexa e pode ser definida como Fs u j v Podendo ser representada em um plano complexo Mapeamento de Contorno no plano s Um mapeamento de contorno é um contorno ou trajetória de um plano mapeado ou transportado para outro plano através de uma relação Fs Como s é uma variável complexa s σ j ω A própria função Fs é complexa e pode ser definida como Fs u j v Podendo ser representada em um plano complexo Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Assim o contorno foi mapeado através de Fs em um contorno de mesma forma um quadrado com o centro deslocado de uma unidade e com a grandeza do lado multiplicada por 2 Este tipo de mapeamento que conserva no plano Fs os ângulos do contorno no plano s é chamado mapeamento conforme Um contorno fechado no plano s resulta em um contorno fechado no plano Fs Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Um sentido de percurso do contorno no plano s pode ser indicado pelo sentido ABCD e pelas setas Assim ocorre um percurso semelhante no contorno do plano Fs ao se percorrer os pontos na ordem ABCD Por convenção a área no interior do contorno à direita do sentido de percurso é considerada a área envolvida pelo contorno Portanto o sentido horário de um contorno será positivo Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Ex Considerar o mapeamento do contorno de um quadrado unitário através da função Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Na tabela abaixo são dados diversos valores de Fs à medida que s se desloca sobre o contorno quadrado Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa O teorema de Cauchy diz respeito ao mapeamento de uma função Fs que possua um número finito de pólos e zeros no interior do contorno Dado um Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Onde Fs é a equação característica e assim Os pólos de Ls são os pólos de Fs Contudo as raízes características do sistema pólos da FTMF e que indicam sua resposta são os zeros de Fs Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa A circunscrição de pólos e zeros de Fs pode ser relacionada com a circunscrição da origem do plano Fs por meio do Teorema de Cauchy princípio do argumento Se um contorno Гs no plano s circunscrever Z zeros e P pólos de Fs e não passar por nenhum dos pólos e zeros de Fs ao ser feito um percurso no sentido horário ao longo do contorno o contorno ГF correspondente no plano Fs circunscreverá a origem do plano Fs em NZP vezes no sentido horário Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Assim no primeiro exemplo O contorno escolhido envolve e circunscreve o zero uma vez no interior da área de contorno Assim o contorno no plano Fs circunscreve a origem uma vez porque N Z P 1 Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Mapeamento de Contorno no plano s José Luiz F Barbosa Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 49 Edição 2003PrenticeHallOGATA2003 DORF RC BISHOP RH Sistemas de Controle Modernos Rio de Janeiro119 EdLTC2009 Barbosa JLF AULA 16 Mapeamento de Contorno no plano s Instituto Federal de Goiás 2014