Notas de Aula Controles e Servomecanismos - Volume 4 - Engenharia

1 Número 06 Maio 2011 Notas de Aula de Controles e Servomecanismos Volume 4 Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1417 Controles e Servomecanismos bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas cobrem assuntos referentes às técnicas clássicas de controle e também aqueles referentes ao controle moderno Considerando que cada vez mais há implementação de controle através de circuitos digitais é apresentada a parte referente a sistemas a tempo discreto As notas são apresentadas em quatro volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Há um volume anexo contendo três artigos sobre assuntos complementares que foram desenvolvidos pelos alunos da turma citada no último parágrafo Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas os alunos de graduação Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica e Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica que trabalham no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Uma grande contribuição às notas foi dada pela turma de ENG1417 Controles e Servomecanismos em 20141 Os alunos críticos e contributivos deram sugestões e resolveram vários exemplos no MATLAB A turma era composta por Alexandre Sheng Hsien Su Bruna dos Guaranys Martins Camila Schuina Neves Carlos Adalberto Samayoa Frederico Kos Botelho Isabela Cunha Maia Nobre Marcelo Maceira de Almeida Neves Roberto Bandeira de Mello M da Silva e Stella Salim Gouvea Roberto Bandeira de Mello M da Silva monitor da disciplina em 20142 resolveu os exemplos do Critério de Nyquist utilizando o MATLAB 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Controles e Servomecanismos 02 Os sistemas lineares e os modelos por variáveis de estado 03 Sistemas compostos 04 Propriedades dos sistemas Volume 2 05 Controlabilidade 06 Observabilidade 07 Estabilidade Volume 3 08 Raízes de polinômios 09 Método de Nyquist 10 Método do Lugar das Raízes Volume 4 11 Realimentação de estado aplicada ao problema do controle modal 12 Observador de Luenberger 13 Especificações no domínio do tempo técnicas clássicas 14 Especificações no domínio da freqüência técnicas clássicas 15 Controle PID Volume de Anexos 16 Obtenção de equações dinâmicas em formas canônicas a partir da função de transferência 17 Método do Lugar das Raízes para dois parâmetros variáveis 18 Rastreamento de uma referência 4 Capítulo 11 REALIMENTAÇÃO DE ESTADO APLICADA AO CONTROLE MODAL I Introdução Durante a análise de desempenho de sistemas pode ser necessário desenvolver o projeto de novas partes para o mesmo com a finalidade de modificar suas características dinâmicas Esta necessidade pode advir de terse determinado que o sistema é instável por exemplo Outra possibilidade é a necessidade de alteração dos transitórios em alguns tipos de aplicações transitórios oscilantes são inadequados em outras eles devem ser tornados mais rápidos do que se apresentam no sistema na sua configuração original A realimentação é uma técnica utilizada para modificar a estrutura do sistema Quando foram estudados os sistemas compostos estruturas série paralela e realimentada foi demonstrado que as matrizesfunções de transferência após a aplicação da realimentação eram diferentes quando comparadas com as matrizesfunções de transferência do sistema original No caso dos sistemas compostos a realimentação estudada foi a de saída na qual a informação da saída é processada e adicionada à entrada Este capítulo tem a finalidade de apresentar o conceito e a técnica da realimentação de estado para os sistemas lineares e invariantes Quando este tipo de realimentação é considerada o diagrama que representa o sistema realimentado é apresentado na figura 1 Figura 1 Conexão com realimentação de estado Podese observar na figura 1 que a informação a ser processada pelo sistema 2 é o vetor de estado do primeiro sistema O segundo sistema é o que a processa para injetar o resultado no entrada do primeiro Como no caso das conexões estudadas anteriormente para que as ligações possam ser implementadas é necessário que haja compatibilidade dimensional e de natureza das variáveis A realimentação de estado é uma técnica utilizada em controle com diversas finalidades Por exemplo problemas de controle ótimo a utilizam Uma das várias aplicações de realimentação de estado é a localização de autovalores da matriz de estado em pontos arbitrariamente escolhidos do plano complexo Quando após a realimentação de estado os autovalores do sistema realimentado estão em localização desejada a dinâmica deste sistema atende às especificações que foram utilizadas para escolher os autovalores Neste caso os modos são aqueles escolhidos Este tipo de modificação do comportamento do sistema a partir da especificação arbitrária dos autovalores e por conseqüência dos modos recebe o nome de Controle Modal Este capítulo tem por finalidade utilizar a realimentação de estado na implementação do controle modal de sistemas lineares invariantes no tempo e monovariáveis A realimentação a ser implementada é estática ie cada variável de estado é multiplicada por uma constante e os resultados de todos os produtos são somados para gerar uma parcela a ser adicionada à entrada A realimentação utilizada é a mais simples possível e permite solucionar o problema sob consideração A escolha de sistemas monovariáveis advém da dificuldade de tratamento dos sistemas multivariáveis que foge do escopo desta disciplina Sistema 1 x1 Sistema 2 x2 ue y x u 5 II Descrição Matemática da Realimentação de Estado Considerese um SLITTC monovariável modelado pela equação dinâmica a seguir 0 0 x b ut xt xt A dt dxt 1a d ut c xt yt 1b Este sistema é realimentado através de uma realimentação de estado estática ou seja a malha de realimentação será composta de ganhos puros O esquema então se torna o da figura 2 Figura 2 SLITTC monovariável com realimentação estática de estado Na figura 2 as matrizes e vetores da equação dinâmica são aqueles definidos anteriormente e o vetor de ganhos é uma linha K n R 2 Por esta razão a saída do bloco de realimentação é um produto interno que gera um escalar conforme n 1 i i i n 2 1 n 2 1 1 2 x t k t x t x t x k k k K x t y t 3 Após a aplicação da realimentação de estado na equação 1ab a variável de controle passa a ser composta por duas partes A primeira é a que vem do meio externo e a segunda é a proveniente da realimentação de estado Assim a equação dinâminca é modificada para 0 0 e x Kxt xt b ut xt A dt dxt 2a Kxt d ut C xt yt e 2b Reescrevese a equação dinâmica para agrupar os dois termos que contêm o vetor de estado Sistema xt ut k xt uet S k xt yt 6 0 0 e x b ut xt b K xt A dt dxt 3a d ute d K xt c yt 3b Em 3a o produto b K é externo ou seja de um vetor coluna com um linha que gera uma matriz A dimensão da matriz gerada é a mesma da matriz de estado ou seja é nxn A equação dinâmica 3ab pode ser modificada para 0 0 e f x b ut xt xt A dt dxt 4a e f d ut c xt yt 4b Em 4ab a nova matriz e o novo vetor são b K A Af 5a d K c cf 5b Comparandose 1ab e 4ab percebese que a implementação da realimentação de estado alterou a matriz de estado do sistema assim como seu vetor de saída Após a realimentação temse a matriz dada por b K A Af enquanto anteriormente à realimentação a matriz era somente A Isto indica que a realimentação de estado pode ser utilizada para modificar a dinâmica do sistema já que a matriz de estado sendo diferente possui autovalores diferentes implicando modos diferentes e portanto em outra dinâmica para o sistema Desta forma a realimentação de estado é uma técnica disponível para a modificação dos autovalores e conseqüentemente dos modos e da dinâmica do sistema III A Realimentação de Estado Aplicada à Forma Canônica Controlável A seção II apresentou a descrição matemática da realimentação de estado independentemente da forma da equação dinâmica utilizada para representar o sistema ie a equação 1ab pode ser qualquer Sabese desde o estudo da controlabilidade que uma transformação de similaridade aplicada a uma equação dinâmica não altera a propriedade da controlabilidade Assim levando em consideração a simplicidade associada à manipulação da Forma Canônica Controlável inicialmente a realimentação de estado será estudada para sistemas por ela representados Como passo seguinte os resultados serão estendidos ao caso de uma equação em forma genérica A A Preservação da Controlabilidade Suponhase que a equação dinâmica 1ab seja transformada por uma transformação de similaridade para a Forma Canônica Controlável Ou seja que ela seja dada por 7 0 1 2 3 4 3 n 2 n 1 n n Px 0 ut x 1 0 0 0 0 0 0 0 t x a a a a a a a a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 dt dxt 6a d ut t x c c c c c c c c yt n 1 n 2 n 3 n 4 3 2 1 6b Quando a realimentação de estado for implementada a equação terá a sua matriz de estado modificada Examinese a matriz obtida pelo produto do vetor de ganhos com o vetor de entrada n 1 n 2 n 3 n 4 3 2 1 k k k k k k k k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k b 7 n 1 1 n 2 1 n 3 3 n 4 3 n 2 n 2 1 n 1 n k a k a k a k a 5 k a 4 k a k a k a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 k b A 8 Alguns pontos importantes podem ser observados a partir do resultado da realimentação de estado aplicada ao sistema na Forma canônica Controlável São eles A matriz de estado que antes da realimentação estava na forma companheira continua na forma companheira O vetor de entrada que antes da realimentação era o último vetor da base ortonormal continua como o último vetor da base ortonormal A matriz de estado na forma companheira e o vetor de entrada sendo o último da base ortonormal configuram a Forma Canônica Controlável Logo após a realimentação o sistema que era controlável continua controlável Como a controlabilidade independe da equação dinâmica é a mesma em qualquer representação obtida de outra por uma transformação de similaridade o sistema é controlável em qualquer das bases após a realimentação estática de estado A nova matriz de estado possui n parâmetros a determinar que são os ganhos Existem no máximo n autovalores a relocar Com n graus de liberdade e no máximo n parâmetros determinar é possível resolver o problema os n parâmetros deverão ser calculados de tal forma que o novo polinômio característico tenha as raízes desejadas 8 Com a demonstração e as conclusões é possível enunciar o teorema que segue Teorema A realimentação estática de estado aplicada a um sistema controlável não altera a característica de controlabilidade do mesmo A prova deste teorema foi feita antes de sua formulação pela demonstração da natureza da equação dinâmica após a implementação estática de estado Uma vez concluído que a controlabilidade é preservada resta determinar uma metodologia para calcular os elementos do vetor de ganhos a fim de implementar a realimentação Isto é feito na próxima subseção B O Cálculo do Vetor de Ganhos Considerese que o sistema a malha aberta é modelado por 1ab e por estar na forma canônica controlável seus vetores matriz e escalar de parâmeros são os de 6ab Por uma razão qualquer que não cabe discutir desejase modificar a dinâmica de 1ab através da realimentação de estado Após a realimentação de estado a nova matriz de estado é dada pela matriz 8 Suponhase que o conjunto de autovalores desejados após a realimentação de estado seja f f n f 2 1 f 9 Correspondente a este conjunto a matriz de estado de 8 terá a sua última linha determinada pelos coeficientes do polinômio característico ou seja pelos coeficientes de 10 10 Assim devese comparar a última linha da matriz de estado de 8 com os coeficientes do polinômio característico após a realimentação 10 Desta comparação se obtém fn 1 n k a 1 fn 2 1 n k a 11 2 f 1 n 2 k a 1 f n 1 k a De 11 podese determinar o valor de cada um dos elementos do vetor de ganhos Relembrase que os coeficientes do polinômio característico da matriz de estado são conhecidos por serem os elementos da última linha da matriz de estado antes da realimentação de estado expressão 1a Os coeficientes do novo polinômio 10 também são conhecidos porque são os elementos da última linha da matriz de estado após a realimentação 8 Explicitamse os ganhos a partir de 11 n f 1 n 1 n f 1 n f fn f f2 f f1 f f P 9 n fn 1 a k 1 n 1 fn 2 a k 12 2 2 f 1 n a k 1 1 f n a k As expressões 12 permitem calcular os ganhos associados à implementação da realimentação de estado para o caso de o sistema estar representado na Forma Canônica Controlável IV A Realimentação de Estado Aplicada à Forma Genérica A seção III apresentou a realimentação de estado aplicada quando o sistema está representado na Forma Canônica Controlável tendo chegado ao cálculo do elementos do vetor de ganhos A seção II abordou a realimentação de estado para o sistema na forma genérica sem contudo chegar à etapa do cômputo dos elementos do vetor de ganhos Sabese desde o estudo da controlabilidade que uma transformação de similaridade aplicada à uma equação dinâmica não altera a propriedade da controlabilidade Assim levandose em consideração a simplicidade associada à manipulação da forma canônica controlável podese aproveitar a metodologia apresentada para o cálculo do vetor de ganhos na forma canônica controlável para determinar o vetor de ganhos que se utiliza na forma genérica A A Preservação da Controlabilidade Considerese que a equação 1ab está em uma forma genérica não a Forma Canônica Controlável 6ab e seja a seguinte a transformação de similaridade que passa da primeira psra a segunda Pxt t x 13 Esta transformação de similaridade foi apresentada no tópico de controlabilidade estudado anteriormente Como a mudança de base não altera a propriedade da controlabilidade demonstrase como na subseção A da seção III que a realimentação estática de estado preserva a controlabilidade Aplicase a transformação de similaridade inversa e retornase à forma genérica original Como a transformação não altera a propriedade da controlabilidade o que foi demonstrado para a forma canônica vale para a forma genérica e esta permanece controlável B O Cálculo do Vetor de Ganhos Considerese que o sistema a malha aberta é modelado por 1ab na forma genérica da equação de estado Este sistema é levado à forma canônica controlável 6ab através da transformação de similaridade 13 Seja o vetor de ganhos da realimentação de estado na Forma Canônica Controlável k k k k k k k k k n 1 n 2 n 3 n 4 3 2 1 14 O vetor de ganhos 14 é calculado de acordo com o que foi estabelecido na subseção B da seção III Tornase necessário então que seja computado o vetor de ganhos que deve ser implementado para realimentar o sistema na forma genérica Para que a metodologia de determinação possar ser estabelecida recorrase à figura 3 10 Figura 3 SLITTC monovariável na Forma Canônica Controlével com realimentação estática de estado Observese porém que o sistema está forma de realização genérica com matriz e vetores de parâmetros que necessariamente não possuem qualquer forma específica Desta forma os valores de ganhos que multiplicam os elementos do vetor de estado da Forma Canônica Controlável deverão ser distintos daqueles que são adequados para o vetor de estado da figura 3 Para que o vetor de ganhos da forma genérica possa ser determinado examinese a figura 2 aqui repetida por conveniência Figura 2 SLITTC monovariável com realimentação estática de estado Como o sistema está representado em duas formas diferentes de realização de estado obtémse dois conjuntos diferentes de variáveis de estado que são exclusivamente internas No que diz respeito às variáveis de entrada e de saída a mudança de base não exerce qualquer alteração Assim a parcela que é somada à entrada externa deve ser a mesma tanto na realização por variáveis de estado quaisquer como naquela por variáveis na Forma Canônica Controlável Logo podese escrever kxt t x k 15 Com as expressões determinadas anteriormente podese escrever kxt xt P k 16 P k k 17 Desta maneira percebese que o cálculo do vetor de ganhos para sistemas em forma genérica pode ser realizado a partir da forma canônica controlável Do ponto de vista computacional não é necessário Sistema xt ut k xt uet S k xt yt Sistema na FCC ut uet S yt 11 que a mudança de base transformação de similaridade seja realizada sobre a equação de estado Basta que se conheçam o polinômio característico da matriz de estado e a matriz de transformação de similaridade Com o polinômio característico original e o polinômio característico desejado calculado a partir dos autovalores desejados determinase o vetor de ganhos k Com k e a matriz de transformação de similaridade determinase k Assim o vetor de ganhos pode ser calculado de maneira simples e direta V A Realimentação de Estado e os Sistemas Não Controláveis Nas seções anteriores examinouse o problema da realimentação de estado aplicada aos sistemas controláveis É conveniente que se analise qual o efeito da realimentação de estado aplicada a sistemas cujo índice de controlabilidade é inferior à dimensão do espaço de estado O objetivo é determinarse a efetividade de tal realimentação sobre o sistema Considerese o sistema modelado pela equação na forma genérica 1abb Suponhase que este sistema Este sistema é não controlável e seu índice de controlabilidade é nC n Como é sabido que uma transformação de similaridade não altera as características de controlabilidade passase esta equação para a forma que separa o vetor de estado em 0 C NC 12 C Px 0 ut x 0 b t x A 0 A A dt dxt 18a d ut t x c c yt NC C 18b Quando for realizada a realimentação de estado haverá o produto do vetor de entrada com o vetor de ganhos Como o vetor de entrada tem as últimas n nC componentes nulas o produto com o ganho será uma matriz com todos os elementos das últimas n nC linhas também nulas Ao somarse esta última matriz com a matriz de estado de 18a o bloco da parte não controlável não será alterado Assim a realimentação de estado não consegue relocar os autovalores da parte não controlável do sistema VI A Realimentação de Estado e a Observabilidade Nas seções anteriores examinouse a realimentação estática de estado e a controlabilidade Nenhum tipo de análise contemplou a observabilidade No que diz respeito à determinação da necessidade de observabilidade nada foi feito porque foi suposto que o sistema possui o vetor de estado acessível para a medida e conseqüente implementação da realimentação Resta comentar quando à manutenção das características de observabilidade após a realimentação Qualquer que seja a forma de realização do sistema original seu par de observabilidade é dado pela matriz de estado e pelo vetor de saída Após a implementação da realimentação a matriz e o vetor se modificam para as formas 5ab aqui repetidas por conveniência b K A Af 5a d K c cf 5b 12 Como a matriz e o vetor foram modificados pelo processo de realimentação estática de estado nada se pode afirmar sobre a manutenção ou não da propriedade de observabilidade do sistema realimentado frente à propriedade que apresentava antes da aplicação da realimentação VII Comentários Este capítulo apresentou uma breve descrição da realimentação de estado utilizando como problema de aplicação a realimentação estática de estado utilizada no problema do controle modal de sistemas lineares invariantes no tempo e monovariáveis Inúmeras outras aplicações da realimentação de estado existem e são estudadas em outras áreas da teoria de controles 13 Capítulo 12 OBSERVADOR DE LUENBERGER I Introdução Como foi apresentado no capítulo 11 existe uma técnica de realimentação que utiliza como informação a ser processada e adicionada à entrada o vetor de estado do sistema Esta técnica é utilizada para a solução do problema do Controle Modal assim como para inúmeros outros problemas em especial na área de controle ótimo Ela é a Realimentação de Estado Para que a Realimentação de Estado possa ser realizada é ncessário que o vetor de estado possa ser atingido para medição e posterior processamento Pode ocorrer no entretanto que alguns sistemas por sua estrutura física não possibilitem o acesso a todos os elementos do vetor de estado Em outros a obtenção destas medidas possui custo muito elevado este é o caso de sistemas sócioeconômicos nos quais as medições implicam em grandes pesquisas ou quem sabe no estabelecimento de rotinas de registro de dados que são complexas e custosas Tornase então necessário que a totalidade das componentes do vetor de estado fiquem disponíveis ou que as estratégias de controle passem a se basear em um número menor de variáveis de estado eventualmente desenhando malhas de realimentação mais complexas Como de uma maneira geral modificar a estrutura original do sistema é impossível e não é desejado aumentar muito a complexidade do controle recorrese à técnica de estimar ie obter um aproximação de cada uma das componentes não disponíveis do referido vetor A estimação de estado permite que a malha de realimentação que foi calculada para implementação com as variáveis do vetor de estado possa ser realizada com o vetor de variáveis estimadas inclusive quando se tratar de realimentação estática Ressaltase que a realimentação estática de estado foi utilizada no porblema de controle modal que serviu para apresentar esta técnica de realimentação de estado Para que a estimação de estado possa ser implementada é necessário que a partir do conhecimento dos vetores de saída e de entrada possa ser calculado o vetor de estado Esta consideração sobre o princípio que propicia a estimação mostra uma clara relação entre a possibilidade de estimação e a observabilidade já que se definiu como observável o sistema que a partir do conhecimento da seqüência de entrada permite a determinação do estado inicial Este capítulo tem o propósito de apresentar um sistema que é capaz de gerar a estimativa do vetor de estado do outro a partir do conhecimento dos vetores de entrada e de saída deste último Este sistema é conhecido como Observador de Luenberger por ter sido este autor quem o estabeleceu O observador é um sistema dinâmico linear cujo vetor de estado aproxima o vetor de estado ou uma função deste que se quer estimar As próximas seções tratam dos observadores apresentam sua classificação seus modelos e suas propriedades Conheça um pouco sobre David G Luenberger 1937 Professor Emérito da Stanford University visitando o seu perfil na universidade em httpsprofilesstanfordedudavidluenberger II Formulação Geral dos Observadores A formulação geral que é apresentada segue a dos trabalhos originais de D C Luenberger 01 02 nos quais o sistema cujo vetor de estado deve ser observado é linear invariante no tempo e a tempo contínuo Seu modelo matemático é x0 B ut x0 xt A dt dxt 1a C xt yt 1b 14 Observese que não há qualquer limitação ao uso do Observadores de Luenberger aos SLITTD Um SLITTC cujo modelo é o que segue é construído para observar o estado do sistema 1ab z0 G yt H ut z0 zt F dt zt d 2a vt zt 2b Onde m zt R No caso do segundo sistema projetase a saída para ser o próprio vetor de estado O vetor de estado deste segundo sistema t z é uma aproximação do vetor de estado do primeiro ou de uma função dele a ser especificada de acordo com as necessidades da malha de realimentação do primeiro A relação que liga os vetores de estado dos dois sistemas é xt x t zt e T T 3a Em 3a T representa uma transformação que poderá ser linear e t x e é uma estimativa do vetor de estado do primeiro sistema Quando T for uma transformação linear e invariante a expressão 3a se modificará para Txt Tx t t z e 3b Em 3b n x T R m R Suponhase a relação linear A escolha de T depende de dois fatores o primeiro é o número de e quais as variáveis de estado que estão disponíveis e o segundo é quantas e quais são as variáveis de estado que são necessárias para implementar a malha de realimentação política de controle No caso de ser necessária somente uma função das variáveis de estado também há um impacto sobre a determinação de T A natureza de T determina a classe do observador como é apresentado na próxima seção III Classificação dos Observadores Os observadores se dividem em dois grandes grupos de acordo com a estimação a ser realizada A escolha de um ou outro tipo depende da natureza do problema de controle a ser resolvido Os dois tipos de observadores se diferenciam pela natureza da transformação T A Observadores do Tipo Identidade Os Observadores de Luenberger do tipo identidade são aqueles em que a transformação T é a matriz identidade Assim a relação 3b se modifica para xt x t t z e 4 Neste caso 15 n i e i i x t i x t z t R 5 O espaço de estado do Observador de Luenberger terá a mesma dimensão do espaço de estado do sistema original B Observadores de Ordem Reduzida Os Observadores de Luenberger de ordem reduzida são aqueles em que a transformação n x T R m R e siginifca que cada componente de t z aproxima uma combinação linear das componentes de t x ou seja m i n 1 r ir e i n 1 r ir i t x t i t x t z t R 6 Quando se deseja que a saída do observador contenha somente a estimação de algumas componentes de t x não todas e nem funções delas a matriz T passa a conter exclusivamente 0s e 1s não podendo existir mais de um 1 por linha Exemplo 1 Suponhase que o sistema 1 seja de 4a ordem e que se deseje estimar somente x1t e x3t Para esta situação a matriz T é 0 1 0 0 0 0 0 1 T IV Apresentação dos Observadores O objetivo desta seção é apresentar os dois tipos de observadores O primeiro será o do tipo identidade por ser mais intuitivo A seguir será apresentado o de ordem reduzida A Observadores do Tipo Identidade As expressões que modelam o sistema e o observador são aqui repetidas por conveniência x0 B ut x0 xt A dt xt d 1a C xt yt 1b z0 G yt H ut z0 zt F dt zt d 2a vt zt 2b Onde 16 n zt R e n zt R A relação de observação é xt x t t z e 4 n i e i i x t i x t z t R 5 A seguir será feita a determinação das relações entre as matrizes de parâmetros do sistema original e do Observador de Luenberger do Tipo Identidade A figura 1 apresenta os dois sistemas e suas conexões Figura 1 Sistema e seu Observador de Luenberger do Tipo Identidade Observese que ainda que o sistema original fosse monovariável o observador identidade seria sempre multivariável por possuir duas entradas a entrada e a saída do sistema original e n saídas estimativa do vetor de estado do sistema original com n componentes O estabelecimento das relações entre as matrizes de parâmetros dos dois sistemas é baseado no estudo da dinâmica do erro de observação definido a seguir n t xt zt R 7 No instante inicial de funcionamento o erro é dado pela diferença entre as condições iniciais o que gera uma condição inicial de erro n 0 x0 z0 R 8 É necessário que se estabeleça que qualquer que seja o vetor 0 o erro de estimação tenda a zero com o tempo crescente Ressaltase que não há qualquer controle ou informação do valor inicial do erro já que o estado inicial do sistema 1 é desconhecido por pressuposição tanto que precisa ser estimado Devido a esta peculiaridade não é perdida a generalidade se a escolha de 0 z for o vetor nulo Para que se garanta que o erro decresce com o tempo é necessário que se modele a dinâmica do erro Para tal definase a equação de evolução do erro n d t dxt dzt dt dt dt R 9 Substituindose 1a e 2a em 9 se obtém z0 x0 G yt H ut 0 B utF zt xt A dt d t 10 Sistema xt Observador Identidade zt ut yt zt xet xt 17 Como há uma variável de saída em 10 substituise a mesma por sua expressão 1b z0 x0 G C xt H ut 0 B utF zt xt A dt d t 11 z0 x0 H ut 0 G C xtF zt B A dt d t 12 Para transformar 12 em uma equação de estado que só pode ter o vetor de estado e a entrada como variáveis fazse a seguinte definição G C F A 13 Substituindo 13 em 12 se obtém z0 x0 H ut 0 B H ut F xt zt B F xtF zt dt d t 14 Substituindo 7 em 14 se obtém z0 x0 H ut 0 B F t dt d t 15 A expressão 15 é uma equação de estado e no caso a variável da qual modela a evolução é o erro de observação Por ser uma equação dinâmica linear pode ser resolvida em duas partes a solução homogênea e a solução particular Estas duas soluções permitirão que se estabeleçam as condições sobre as matrizes de parâmetros Examinese inicialmente a solução homogênea 0 e t t F h 16a A expressão 16a permite que se estabeleça que todos os modos da mariz de transição de estado t F e sejam decrescentes com o tempo crescente para que o erro tenda a zero Assim todos os autovalores da matriz F devem ter parte real negativa está em consideração um SLITTD Esta é a primeira condição para a determinação dos parâmetros do Observador de Luenberger do Tipo Identidade Examinese agora a solução particular d H u B e t t 0 t F p 16b Como H é uma matriz a determinar podese escolhêla como H B 17 A condição 17 assegura que o erro particular é sempre nulo Assim podese formular as três condições 01 G C F A 02 Autovalores da matriz F de parte real negativa 03 H B 18 A primeira e a última condições são contempladas em conjunto através do Teorema do Observador Identidade A segunda é trivial Teorema do Observador Identidade Seja 1ab um sistema observável ie o par AC é observável Um Observador de Luenberger do Tipo Identidade da forma 2ab e com T I pode ser construído para este sistema e os autovalores da matriz de estado de 2a podem ser arbitrariamente localizados Prova Para provar este teorema suponhase que existe um sistema linear inavriante no tempo e a tempo contínuo que tenha por matriz de estado AT e por matriz de entrada CT Como AC é observável C A T T é controlável Sob esta circunstância é possível determinar uma realimentação de estado estática tal que T T T T F C G A onde FT é uma matriz cujos autovalores podem ser arbitrariamente escolhidos Transpondose a matriz de realimentação de estado do sistema transposto chegase à expressão G C F A que é a expressão a ser satisfeita para a determinação da estrutura do Observador Identidade Como do ponto de vista de alocação de autovalores uma matriz e sua transposta são iguais possuem o mesmo polinômio característico este argumento mostra que as condições 1a e 3a podem ser satisfeitas Com as três condições determinadas é possível projetar um Observador de Lunberger do Tipo Identidade para o sistema 1ab Uma observação é importante o uso de um Observador de Lunberger do Tipo Identidade para o sistema 1ab faz com que a ordem do sistema composto seja o dobro da do sistema original pois o observador tem o mesmo número de variáveis de estado Uma das maneiras de não duplicar a ordem é utilizar os Observadores de Ordem Reduzida B Observadores de Ordem Reduzida O observador identidade ainda que correto sob o ponto de vista teórico sob o enfoque prático representa uma certa redundância Isto ocorre porque ele reconstitui as n variáveis de estado ainda que a saída do sistema possua q elemenos que são as q variáveis da saída t y Assim o estado do sistema pode ser obtido a partir das q variáveis de saída e de um observador de ordem n q As expressões que modelam o sistema e o observador são aqui repetidas por conveniência x0 B ut x0 xt A dt xt d 1a C xt yt 1b z0 G yt H ut z0 zt F dt zt d 2a vt zt 2b Onde xt n R e zt n q R 19 Na equação 1b considerase que a matriz C que é q x n seja de posto q significando que as q componentes da saída são linearmente independentes Para que seja mais facilmente compreendido o observador de ordem reduzida uma modificação da equação de estado tornase necessária Para tal definase uma matriz de transformação de similaridade P tal que C V P 21 A matriz em 21 está definida por blocos O bloco inferior é C a matriz de saída do sistema original O bloco superior é qualquer com n q linhas e n colunas desde que torne a matriz P inversível matrizes que realizam mudanças de base precisam ser não singulares para que a mudança possa ser feita nos dois sentidos Aplicase a transformação de similaridade ao vetor de estado P xt xt 22 O novo vetor de estado é também particionado em blocos como a seguir t y t w xt 23 Aplicando a transformação de similaridade à equação dinâmica se obtém 0 2 22 21 12 11 Px ut x 0 B B x t A A A A dt x t d 1 24a 0 I x t yt 24b Esta nova forma da equação dinâmica permite que a medida da saída forneça as q últimas componentes do vetor de estado Resta porém que se estimem as n q primeiras componentes de xt Esta estimativa é feita a partir das q variáveis de saída que no caso desta nova representação após a mudança de base são as q últimas componentes do próprio estado Definase a estimativa de wt como w t E yt zt wt e 25 Ou seja t y t w T t y t w E I wtE yt zt 26 Assim podese escrever que 20 E I T 27 O propósito dos cálculos que se seguem é determinar F G e H de tal forma que a relação 3b seja satisfeita dentro de um esquema representado pelo diagrama em blocos da figura 2 a seguir Figura 2 Sistema e seu Observador de Luenberger de Ordem Reduzida Observese que ainda que o sistema original seja monovariável observador de ordem reduzida é sempre multivariável porque possui duas entradas a entrada e a saída do sistema original O observador pode também possuir uma ou mais saídas dependendo da natureza da estimativa do vetor de estado xet a ser obtida Assim ainda que a entrada e a saída do sistema origianl sejam escalares significando que o sistema original é monovariável o observador é multivariável Para que a equação do observador possa ser determinada em função dos parâmetros do sistema a ser observado multiplicamse ambos os lados da equação de estado de 24ab pela transformação T definida em 27 Obtémse então a expressão ut EB B yt EA A wt EA A dt dyt E dt dwt 2 1 22 12 21 11 28 A expressão 28 pode ser reescrita como ut EB B yt EA A E EA E A wtEyt EA A dt dyt E dt dwt 2 1 22 12 21 11 21 11 29 Subsituindose wtE yt por t v diferença real que existiria entre wt e E yt caso t w pudesse ser medido se obtém ut EB B yt EA A E EA E A vt EA A dt dvt 2 1 22 12 21 11 21 11 30 Escolhese este modelo para o observador de forma que a equação do observador é definida como ut EB B yt EA A E EA E A zt EA A dt dzt 2 1 22 12 21 11 21 11 31 Assim podese concluir que 21 11 EA A F 32a 22 12 21 11 EA 12 A E EA E A G 32b Sistema xt Observador zt ut yt zt T xet T xt 21 2 1 EB B H 32c As respostas das equações 30 e 31 seriam iguais caso as condições iniciais para ambas fossem as mesma Como não são há um erro de observação dado por zt vt t 33 A evolução do erro é dada pela diferença entre 30 que expressa a variação de t v e 31 que expressa a variação de t z A evolução do erro é dada por t EA A dt d t 21 11 34 A partir desta equação obtémse uma condição análoga à do caso do observador identidade ie que os autovalores de 21 11 EA A F devem ser arbitrariamente localizados no plano complexo A matriz E é aquela que permite que os autovalores sejam arbitrariamente alocados Uma vez que tal matriz tenha sido escolhida as outras matrizes do observador estão automaticamente determinadas Esta situação também é análoga à do caso do observador identidade Neste quando F é arbitrado G fica determinado e H é sempre igual à matriz de entrada do próprio sistema A garantia de que E possa ser escolhida para dar solução ao problema da localização dos polos está contida no Teorema do Observador Teorema do Observador de Ordem Reduzida Seja 1ab um sistema observável ie o par AC é observável possuindo q saídas linearmente independentes Um Observador de Luenberger de ordem n q da forma 2ab pode ser construído para este sistema e os autovalores da matriz de estado de 2a podem ser arbitrariamente localizados Este teorema é demonstrado de maneira análoga à do Observador Identidade Requer este porém um passo anterior que é a demonstrar que se AC é observável então A 21 A 11 também o é Para este último par demonstrase a possibilidade de alocação de autovalores baseandose no caso da realimentação estática de estado para localizar autovalores A prova deste teorem é deixada como exercício V Referências 01 David G Luenberger Observing the State of a Linear System IEEE Transactions on Military Electronics Vol 8 Issue 2 pp 7480 1964 DOI httpdxdoiorg101109TME19644323124 02 David G Luenberger An Introduction to Observers 22 IEEE Transactions on Automatic Control Vol 8 Issue 6 pp 596602 1971 DOI 101109TAC19711099826 23 Capítulo 13 ESPECIFICAÇÕES NO DOMÍNIO DO TEMPO TÉCNICAS CLÁSSICAS I Introdução Entre as técnicas tradicionais de análise e de projeto de sistemas de controle existem técnicas no domínio do tempo voltadas aos sistemas a tempo contínuo A necessidade das mesmas advém do critério de avaliação do desempenho de muitos sistemas que é o rastreamento por parte do sinal de saída de um sinal no tmepo usado como referência Podese ver a resposta de um sistema como uma variável do tempo especificada como a soma de uma resposta transitória com uma resposta permanente ou seja como a soma das seguintes parcelas t y y t yt SS T 1a A primeira parcela é a resposta transitória e a segunda é a permanente Ressaltase que o conceito de permanente não significa invariante pode ser um regime senoidal permanente como no caso dos circuitos elétricos A resposta transitória é aquela que desaparece com o tempo crescente ou seja a que obedece a especificação 0 t y t lim T 2 A expressão 2 é bastante forte em conteúdos pois ela implica que o sistema em consideração tem seu comportamento natural composto por formas no tempo que são decrescentes Assim fica implícita uma característica da dinâmica do sistema Anteriormente foi estudada uma outra forma de partição da saída de acordo com a origem do estímulo que a gerou Esta segunda partição foi usada nas variáveis de estado e nos circuitos elétricos Ela separa a saída em soluções homogênea e particular como na expressão que segue y t y t yt p h 1b Relembrase que a parte homogênea é oriunda das condições iniciais e a particular da excitação A expressão 1b tem implícita a linearidade do sistema Na expressão 1b tanto a primeira como a segunda parcela podem ou não tender a zero com o tempo crescente dependendo estes comportamentos da dinâmica do sistema Considerese um sistema que seja regido por 1a ou seja tenha transitório e permanente Os sistemas práticos possuem transitórios porque não variam instantaneamente com as excitações além das eventuais condições iniciais decorrentes de funcionamentos passados Tanto o estudo do transitório como o do permamente são importantes em sistemas de controle os transitórios porque seus valores podem causar problemas de operação como oscilações indesejáveis ou picos muito altos causando falhas os permanentes porque indicam a capacidade de um sistema seguir com precisão a função desejada para sua saída A expressão 1b não é utilizada para a análise porque ambas as parcelas contêm transitórios II Funções de Teste Usadas em Sistemas de Controle Os sinais que são usados em um sistema de controle não são conhecidos com antecedência Em alguns casos estes sinais chegam a ser aleatórios não podendo ser expressos matematicamente de maneira determinística Como conseqüência fica impossível para o engenheiro de controle projetar sistemas que se comportem de maneira adequada sob algum critério para todas as possibilidades de sinais de entrada Existem no entanto algumas funções no tempo para as quais as correspondentes saídas também no tempo são analisadas como padrões de comportamento para critério de projeto Conhecidas as respostas a essas funções básicas alguns sinais mais complexos podem ser decompostos em somas ponderadas das funções básicas e o uso do Princípio da Superposição permite determinar as 24 correspondentes respostas Três são as funções utilizadas para análise e genericamente serão designadas rt porque estão associadas a um sinal referência para a saída do sistema As funções são Função Degrau 0 t 0 0 R t t R u rt 1 3 Função Rampa 0 t 0 0 R t t t R t u t R u rt 1 2 4 Função Parabólica 0 t 0 0 R t t t u R t rt 2 1 2 5 Entre as três funções a degrau é muito usada Ela é também muito utilizada em circuitos elétricos pois representa as excitações por baterias ou CC em geral III Erro no Regime Permanente Como mencionado anteriormente o erro em regime estacionário permanente é uma das maneiras de medir a acuracidade do sistema Nos sistemas do mundo real é impossível trabalhar com erro zero devido à natureza dos elementos físicos que são imperfeitos ie os modelos que usamos para os descrever sempre são aproximados Como o erro de regime permanente é inevitável o projetista tenta obter sistemas que tenham o erro mínimo segundo algum critério estabelecido ou abaixo de um certo valor escolhido com máximo tolerável Naturalmente o critério a ser usado na minimização do erro ou o estabelecimento do valor máximo permitido para o erro são determinados de acordo com a natureza do sistema e a finalidade para o qual será usado Observese que o controle de posição angular no posicionamento de uma esteira que carrega peças de uma fábrica requer uma precisão bastante menor do que aquele que controla um rádiotelescópio onde ângulos são medidos em rd Muitos dos erros que ocorrem nos sistemas são oriundos como já mencionado da diferença existente entre o mundo real e os modelos matemáticos que usamos para o representar Podese citar como exemplos dois blocos muito comuns em sistemas de controle que em geral são modelados linearmente e que apresentam nãolinearidades assim introduzem discrepâncias entre o modelo e a implementação Exemplos de Erros Introduzidos por Modelos Ideais Um primeiro exemplo interessante de ser citado é o do amplificador Quando este componente é apresentado por seu modelo ideal a função que o define é xt yt Que pode ser representado de forma gráfica pela figura a seguir sendo o coeficiente angular da reta 25 Porém ao er implementado o amplificafor este modelo não mais vigora Devido à natureza física dos elementos a reta deixa de ser reta e arelações entre entrada e saída é uma linha com curvas Além disto aparece uma zona morta junto à origem e saturação para valores a partir de um dado valor da amplitude da entrada Se um modelo por retas tentasse aproximar a situação real ele seria mais próximo da figura a seguir Um segundo exemplo a ser destacado é o do relé O relé ideal é descrito pela relação matemática 0 xt 0 xt yt Sob forma de gráfico a relação entradasaída é O relé real não é descrito nem pela expressão e nem pelo gráfico apresentados Ele contém imperfeições devido à natureza de seus componentes O gráfico a seguir apresenta um outro modelo ainda não real mas mais próximo da realidade pois retrata a zona morta no entorno da origem xt yt xt yt xt yt 26 É interessante de relembrar que existe uma propriedade dos sistemas lineares que garante que se a entrada de um sistema linear for uma sinusóide de amplitude A frequência e fase sua saida será também uma sinusóide de mesma frequência podendo a amplitude e a fase ser diferentes Suponhase que um amplificador é modelado matematicamente por um bloco semelhante ao da primeira figura enquanto sua implementação física é real Ao ser analisada a saída do amplificador não será senoidal já que a nãolinearidade fará com que a senóide seja cortada ao passar por ela É conveniente mencionar que os gráficos apresentados tanto do amplificador como do relé são ainda paroximações e não correspondem às funções reais que não podem ser representados por segmentos de retas visto que são curvas Vêse então que erros ocorrem na operação de sistemas e é necessário que os seus efeitos possam ser corrigidos A próxima seção trata do erro no regime permanete para o caso específico dos sistemas lineares e invariantes IV Erro no Regime Permanente nos Sistemas Lineares Invariantes e a Tempo Contínuo O estudo é particularizado para os sistemas lineares invariantes no tempo monovariáveis e a tempo contínuo Considerese o sistema a malha aberta modelado pela figura 1 Nela rt é um sinal de referência que a saída deve seguir Figura 1 Sistema linear invariante monovariável a tempo contínuo e a malha aberta Supondo que rt e yt sejam sistemas compatíveis isto é sejam de mesma natura e de valores em faixas comparáveis podese definir o erro entre a saída e a referência como t rt yt 6 A geração de um erro desta natureza implica em um sistema cuja estrutura de realimentação seja através de um bloco de ganho unitário Se em contrapartida os sinais não forem compatíveis ou por natureza ou por nível então deverá haver uma compatibilização por um bloco não unitário na realimentação Nesta situação se encontra por exemplo o motor DC excitado por armadura cuja entrada é uma tensão e cuja saida é uma posição eou uma velocidade Para que possa ser gerado o erro é necessária uma etapa de transdução para transformar energia mecânica posição eou velocidade em energia elétrica tensão Como os geradores taquimétricos trabalham em níveis de tensão mais baixos do que os utilizados para excitar o motor muito provavelmente deve ser utilizado um amplificador para compatibilizar os níveis e tornar significativa a comparação entre os sinais xt yt Sistema rt yt 27 A figura 2 mostra o esquema de realimentação no caso de a mesma ser unitária a transferência do bloco de realimentação é a unidade e o erro é exatamente igual à expressão 6 Seja Hs a função de transferência do sistema a ser controlado Figura 2 Sistema linear invariante monovariável a tempo contínuo e realimentado Considerando que o ganho seja unitário como na figura o conceito de referência é bem ilustrado O sinal que efetivamente aciona o sistema é o erro t que pode e deve ter as necessárias fontes de energia para prover a energia necessária ao acionamento O sinal t r é somente aquele que serve para ser comprado à saída para controlar a sua evolução Para que o estudo do comportamento do sistema possa prosseguir algumas definições são necessárias Elas seguem Definição 1 Erro em Regime Permanente O erro em regime permanente de um sistema realimentado é definido como o valor que o erro assume quando o tempo tende a infiito ie lim rt yt t lim e t t ss 7 Consideremse as Transformadas de Laplace dos sinais da figura 2 e escrevamse as suas relações Rs Gs Hs s Rs Gs Ys s 8 Rs Gs Hs s 1 9 Gs Hs 1 Rs s 10 Para determinar o valor do erro quando o tempo tender a infinito usase o Teorema do Valor Final lim s s t t lim e 0 s ss 11 Em 11 ss não pode ter pólos sobr eo eixo imaginário e nem no SPAD Substituindo 10 em 11 se obtém Gs Hs 1 Rs lim s e 0 s ss 12 Observadose a expressão 12 percebese que o erro é função do sinal de referência e das transferências dos blocos Antes de iniciar a análise do erro definese o Tipo de Sistema Hs t GS rt u S yt 28 Definição 2 Tipo do Sistema Seja a função Gs Hs representada na sua forma fatorada onde os termos são escritos como quando se prepara a função para a determinação do Diagrama de Bode T s T s 1 T s 1 1 s s T T s 1 T s 1 1 K Hs Gs n 2 1 j m b a 13 Na expressão 13 o K e os Ts são constantes O tipo do sistema é o grau do pólo na origem logo j O grau do pólo na origem é que determina o comportamento do erro de acordo com a função que é usada sendo irrelevantes os demais parâmetros da equação 13 A seguir examinase a influência da referência no erro sendo apresentados três tipos de erros Erro 1 Erro no Regime Permanente Devido a um Degrau Na expressão do erro no regime permanente 12 substituase o degrau por sua Transformada de Laplace s Rs R lim Gs Hs 1 R Gs Hs 1 R lim Gs Hs 1 s R lim s e 0 s 0 s 0 s ss 14 Examinandose 14 podese constatar que o valor do erro no regime permanente depende da natureza de Gs Hs Definase a constante de erro ao degrau lim Gs Hs K 0 s p 15 Substituase 15 em 14 para obter p ss K 1 R e 16 Examinemse dois casos para 16 e eles são vinculados ao tipo de função que é Gs Hs Gs Hs é do tipo 0 Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero Kp tenderá a uma constante não nula e o erro também terá o mesmo comportamento Gs Hs é do tipo 1 ou superior Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero Kp terá seu denominador tendendo a zero logo ele tenderá a infiito Desta forma o erro tenderá a zero Assim quando a referência for um degrau se a função for do tipo 0 o erro tenderá a uma constante e se for de tipo 1 ou superior o erro tenderá a zero Erro 2 Erro no Regime Permanente Devido a uma Rampa Na expressão do erro no regime permanente 12 substituase a rampa por sua Transformada de Laplace 2 s Rs R 29 s Gs Hs lim R Gs Hs 1 s R lim Gs Hs 1 s R lim s e 0 s 0 s 2 0 s ss 17 Como no caso anterior examinandose 17 podese constatar que o valor do erro no regime permanente depende da natureza de Gs Hs Definase a constante de erro à rampa lim s Gs Hs K 0 s v 18 Substituase 18 em 17 para obter v ss K R e 19 Examinemse três casos para 16 e eles são vinculados ao tipo de função que é Gs Hs Gs Hs é do tipo 0 Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero Kv tenderá a zero e o erro tenderá a infinito Gs Hs é do tipo 1 Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero Kv terá seu denominador tendendo a uma constante e o mesmo acontecerá com o erro Gs Hs é do tipo 2 ou superior Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero Kv terá seu denominador tendendo a zero logo será infinito e o erro tenderá a zero Assim quando a referência for uma rampa se a função for do tipo 0 o erro tenderá a infinito se for do tipo 1 o erro tenderá a uma constante e se for de tipo 2 ou superior o erro tenderá a zero Erro 3 Erro no Regime Permanente Devido a uma Função Parabólica Na expressão do erro no regime permanente 12 substituase a função parabólica por sua Transformada de Laplace 3 s Rs R s Gs Hs lim R Gs Hs 1 s R lim Gs Hs 1 s R lim s e 2 0 s 2 0 s 3 0 s ss 20 Como no caso anterior examinandose 20 podese constatar que o valor do erro no regime permanente depende da natureza de Gs Hs Definase a constante de erro à rampa lim s Gs Hs K 2 0 s A 21 Substituase 21 em 20 para obter A ss K R e 22 30 Examinemse três casos para 16 e eles são vinculados ao tipo de função que é Gs Hs Gs Hs é do tipo 0 ou do tipo 1 Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero KA tenderá a zero e o erro tenderá a infinito Gs Hs é do tipo 2 Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero KA terá seu denominador tendendo a uma constante e o mesmo acontecerá com o erro Gs Hs é do tipo 3 ou superior Quando isto acontecer ao fazerse s tender a zero KA terá seu denominador tendendo a zero logo será infinito e o erro tenderá a zero Assim quando a referência for uma parabólica se a função for do tipo 0 ou do tipo 1 o erro tenderá a infinito se for do tipo 2 o erro tenderá a uma constante e se for de tipo 3 ou superior o erro tenderá a zero Com esta análise do erro concluise a análise do regime permanente A próxima seção é voltada ao transitório V Análise do Regime Transitório A seção anterior focou o comportamento dos erros no regime permanente em seguir uma referência Eles foram apresentados por diferentes tipos de sistemas devido a três funções de referência rt Para que a análise no domínio do tempo fique completa é necessário que se estude o transitório do sistema Este é o objetivo desta seção Relembrase que o que se convencionou chamar de regime transitório é a parte da resposta que desaparece quando o tempo cresce assim só há sentido em falar em regime transitório para um sistema estável A função que foi escolhida para o estudo do regime transitório foi a degrau Ela é uma função muito usada em sistemas de controle porque é a formadora de todos os controles do tipo ligadesliga Algumas definições são necessárias Definição 3 Máximo Overshoot O máximo overshoot da saída é o seu maior desvio sobre o degrau de entrada durante o regime transitório Ele é muitas vezes representado como um percentual do valor final da resposta ao degrau x100 final valor máximo overshoot overshoot Quando medido em valor absoluto o seu símbolo é p M Observese que a medida do máximo overshoot é feita para o valor acima do valor final da função ou seja aquele que o excede Quando medido em valor absoluto o seu símbolo é p M Definição 4 Tempo de Pico Peak Time É o tempo no qual ocorre o máximo overshoot e é simbolizado por p T 31 Definição 5 Tempo de Retardo Delay Time É o tempo necessário para que a resposta ao degrau atinja 50 do seu valor final e é simbolizado por d T Definição 6 Tempo de Subida Rise Time É o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 do seu valor final para 90 de seu valor e é simbolizado por r T Definição 7 Tempo de Assentamento Settling Time É o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe a se manter dentro de uma faixa de 5 de seu valor final e é simbolizado por s T Estas definições são facilmente determinadas quando existe um gráfico da resposta ao degrau No entanto a determinação analítica das mesmas pode ser bastante difícil ou trabalhosa Resultados obtidos a partir de experimentos ou de simulações são adequados para este tipo de análise do transitório A figura 3 mostra de maneira gráfica a resposta ao degrau de um siistema de 2a ordem com pólos complexos conjugados Nela são marcadas todas as entidades definidas Figura 3 Resposta ao degrau de um sistema de 2a ordem com pólos complexos conjugados As características definidas permitem ao projetista ter uma visão geral do comportamento transitório do sistema 32 VI Resposta Transitória de um Sistema de Segunda Ordem Os sistemas de 2a ordem não são tão populares no uso corrente já que a grande maioria dos sistemas são de ordens superiores O estudo destes sistemas se popularizou nas técnicas clássicas de controle por sua simplicidade As equações algébricas de 2a ordem são resolvidas sem a necessidade de métodos numéricos alguns sistemas físicos de ordens superiores podem ser reduzidos à 2a ordem por terem 2 pólos como dominantes em filtragem tanto analógica como digital muitos filtros de ordens superiores são sintetizados como cascatas de blocos de 2a ordem Para analisar estes sistemas considerese a função de transferência que modela um deles com a característica de ter em seu numerador um polinômio de ordem zero 2 n n 2 2 n s 2 s s H 23 onde 1 O sistema cuja função de transferência é 23 é excitado por um degrau unitário aplicado na origem A expressão de sua resposta é s 1 s 2 s s Hs 1 Hs Us s Y 2 n n 2 2 n 24 O polinômio do denominador de 24 é de terceiro grau e suas raízes são s1 0 2 n n 2 1 j s 2 n n 3 1 j s 25a Que podem ser representadas de maneira mais simples como s1 0 j s2 j s3 25b onde n e 2 n 1 A resposta no tempo correspondente a Ys é obtida aplicandose a Transformada de Laplace Inversa à expressão 24 Ela é 0 t arctg 1 t 1 sen 1 e 1 t y 2 2 n 2 nt 26 Ao analisarse a resposta no tempo observase que ela é uma função do tempo composta de duas parcelas sendo a primeira uma constante e somente a segunda uma função de t A segunda parcela contém dois termos que são funções do tempo e cada um deles possui constantes O significado das constantes que aparecem nas expressões 23 26 é apresentado a seguir 33 Constante 1 Fator ou Constante de Amortecimento Fator ou constante de amortecimento é a constante do expoente do primeiro termo da função do tempo sendo dada por n 27 Esta constante é que determina a taxa de decaimento da resposta no tempo A constante de tempo da resposta é determinada a partir dela por n 1 1 T 28 No caso em que 1 as duas raízes passam a ser reais e iguais o sistema é chamado de criticamente amortecido Além disto n Constante 2 Razão de Amortecimento Razão de amortecimento é a constante Ela é assim chamada por ser o número que relaciona o amortecimento que o sistema efetivamente tem com aquele que teria se o amortecimento fosse crítico ou seja que o fator de amortecimento fosse n Constante 3 Freqüência Natural Não Amortecida A freqüência natural não amortecida n é aquela com a qual a resposta do sistema oscila quando a razão de amortecimento é 0 Neste caso não há mais atenuação da resposta pois a exponecial passa a ter exponete 1 e a oscilação se torna somente o fator n Constante 4 Freqüência Condicional A freqüência condicional é aquela que o sistema possui quando 0 e que aquela com a qual efetivamente oscila Ela é dada por 2 n 1 9 Uma observação é importante no que diz respeito às designações das freqüências Existe um outro conjunto de símbolos para representálas É 0 para freqüência natural não amortecida onde o zero representa amortecimento zero e n para freqüência natural quando há amortecimento o que foi definido como freqüência condicional O uso de n com dois significados pode causar confusão Uma interpretação geométrica permite relacionar as constantes Para tal suponhase que é o cosseno de um ângulo Assim podese escrever cos 30 2 1 sen 31 cos n n sen 1 n 2 n 32 34 Assim j s2 e j s3 são um par complexo conjugado e as seguintes conclusões podem ser tiradas n é o módulo do par complexo conjugado O eixo real é aquele onde se representa o fator de amortecimento cos n n O eixo imaginário é aquel onde se representa a freqüência condicional sen 1 n 2 n O semieixo real direito corresponde a valores positivos de cos n n O semieixo real negativo corresponde a valores negativos de cos n n A origem do semieixo real corresponde ao amortecimenot nulo com tanto quanto nulos Quando os complexos estiverem no semiplano da direita existirão respostas crescentes mesmo para excitações limitadas Quando os complexos se degenerarem para imaginários puros existirão oscilações não amortecidas Estes casos são relacionados com as estabilidades conceituadas para sistemas lineares invariantes no tempo e a tempo contínuo Suponhase que a magnitude do complexo seja mantida constante e que varie de a Os sistemas dinâmicos podem ser classificados de acordo com a natureza de suas raízes quando esta variação se processa A classificação foi introduzida no estudo dos Circuitos Elétrico e é Caso 1 Subamortecimento 1 ξ 0 Os pólos do sistema serão complexos conjugados de parte real negativa dados por 2 n n 1 1 j p 2 n n 2 1 j p Caso 2 Amortecimento Crítico ξ 1 Os pólos do sistema serão reais negativos e iguais dados por n 1 p n 2 p Caso 3 Superamortecimento ξ 1 Os pólos do sistema serão reais negativos e distintos dados por 1 p 2 n n 1 1 p 2 n n 2 Caso 4 Não amortecimento ξ 0 Os pólos do sistema serão imagiários dados por n 1 j p n 2 j p Caso 5 Amortecimento Negativo Resposta Crescente ξ 0 Os pólos do sistema serão complexos conjugados de parte real positiva dados por 2 n n 1 1 j p 2 n n 2 1 j p Dos casos acima se conclui que quanto maior for maior será a taxa de amortecimento À medida que a magnitude de decresce a resposta vai se tornando mais oscilante até que para 0 há oscilações não amortecidas O último caso em geral não é considerado em se tratando que são de interesse somente os sistemas estáveis e este não está associado a eles 35 Alguns casos apresentarão overshoot e outros não o farão Para que se possa estabelecer a existência de overshoot utilizase a derivação da resposta temporal que será igualada a zero como a seguir t sen 1 t e dt 1 d arctg 1 t 1 sen 1 t e dt 1 d dt t dy 2 n 2 2 n 2 n 33 onde 2 n 1 e 2 1 arctg para simplificar a notação 0 t t cos e t sen 1 e dt t dy n nt 2 nt n 34 0 t t cos t sen 1 e dt t dy 2 nt n 35 Designese de A o colchete da expressão 35 com a substituição das somas do seno e do cosseno de arcos podese obter t sen sen t cos cos t sen cos t cos sen 1 A 2 36 cos sen 1 cos t sen cos 1 sen t A 2 2 37 Em 37 coloquese cos em evidência em ambas as parcelas 1 cos tg 1 cos t cos g t 1 sen t A 2 2 38 Substituase a tangente em 38 por sua expressão obtida da simplificação que foi feita 1 cos 1 1 cos t cos 1 1 sen t A 2 2 2 2 39 A segunda parcela de 39 é nula e a primeira pode ser simplificada através da simplificação do primeiro colchete 2 2 2 1 1 t sen 1 1 sen t cos 1 1 sen t A 40 Levando A à expressão da derivada se obtém 0 t t sen 1 t e 1 1 sen t e dt t dy 2 n n 2 nt n 41 36 Para que o overshoot possa ser determinado é necessário que 41 seja igualada a zero visto que o overshoot é um ponto de máximo Os pontos em que 44 é nula são aqueles em que o arco do seno é múltiplo de Logo quando sen k sen t 42 Logo podese isolar a expressão de t para os pontos de máximos e mínimos da derivada k t 43 Em 43 substituise a freqüência condicional por sua expressão 2 n 1 k t 44 Mas o overshoot acontece no primeiro máximo logo quando o k for a unidade ele é o maior dos máximos Determinese o tempo no qual ele ocorre 2 n máx 1 t 45 Existem outros pontos nos quais há máximos e mínimos quando o k é maior do que a unidade Aqueles que forem de valores acima do valor do permanente como o primeiro deles são chamados de overshoots e correspondem aos máximos Os que forem abaixo do valor do permenente são chamados de undershoots e correspondem aos mínimos Para obter estes pontos voltase à expressão 926 aqui repetida por conveniência 0 t 1 arctg t 1 sen 1 e 1 t y 2 2 n 2 nt 26 Nela se substitui 44 para obter 2 2 n 2 n 2 2 n 1 k n mín máx 1 arctg 1 k 1 sen 1 e 1 yt 2 1 k 1 k máx mín e 1 1 yt 46 O valor do máximo overshoot é obtido quando se faz k igual à unidade na expressão 46 e do resultado se subtrai a unidade As expressões 47 e 48 mostram os resultados 2 1 máx e 1 yt 47 2 1 máx e overshoot 48 37 Observandose as expressões 46 e 48 podese perceber que os valores da saída em seus pontos de derivada nula bem como no primeiro overshoot dependem de e de n Ambos são facilmente determináveis a partir da função de transferência do sistema Outros tempos associados ao regime transitório foram definidos Porém a determinação analítica dos mesmos são é simples devendose em geral recorrer aos métodos gráficos VII Conclusões Este capítulo apresentou as principais técnicas clássicas de análise no domínio do tempo Ainda que elas sejam limitadas quando comparadas às técnicas de domínio do tempo da teoria moderna de controle servem para introduzir uma noção intuitiva de certos conceitos que posteriormente serão vistos com maiores detalhes e através de uma técnica de análise que dispõe de melhores ferramentas matemáticas VIII Referências 01 Katsuhiko Ogata Engenharia de Controle Moderno 3a edição PHB Brasil 1998 02 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 38 Capítulo 14 ESPECs NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA TÉCNICAS CLÁSSICAS I Introdução O capítulo anterior foi voltado às especificações de sistemas de controle no domínio do tempo utilizando técnicas clássicas e voltadas aos sistemas a tempo contínuo Em capítulos anteriores a ele estudouse um conjunto de propriedades dos sistemas e métodos de avaliar a conformidade dos sistemas às mesmas Porém muitos sistemas são estudados do ponto de vista de seu comportamento na freqüência por esta razão é necessário que se estabeleçam critérios de estudo dos mesmo Para que o comportamento de sistemas seja avaliado no domínio da freqüência é que foram estabelecidas as especificações II Especificações no Domínio da Freqüência Considerese o diagrama em blocos da figura 1 que mostra um sistema linear invariante no tempo a tempo contínuo monovariável e realimentado Figura 1 Sistema linear invariante monovariável a tempo contínuo e realimentado A função de transferência equivalente foi calculada em capítulos anteriores e é Gs Hs 1 Hs s Hf 1 Suponhase que o sistema é excitado por um função sinusoidal e que o Regime Senoisal Permanente RSP já se estabeleceu Neste caso na expressão 1 s pode ser substituído por j e a expressão resultante é H j H j jIm H j Re H j Hj Gj 1 Hj H j f f f f f 2 Em 2 há três representações alternativas para o complexo A última delas é a polar sendo o módulo e a fase calculados por Hj Gj 1 Hj Hj Gj 1 Hj f j H 3 Hf j Re Hf j Im arctg Hf j 4 Hs GS Us S Ys 39 Algumas definições referentes à resposta em freqüência do sistema são importantes Definição 1 Ressonância de Pico Peak Resonance A ressonância de pico é o valor máximo de Hf j e seu símbolo é p Hf j A ressonância de pico é em geral simbolizada por p M onde a letra M vem de módulo ou magnitude e o subíndice p significa que é o valor no pico Definição 2 Freqüência de Ressonância Resonant Frequency A freqüência de ressonância é aquela na qual ocorre a ressonância de pico e seu símbolo é p Definição 3 Largura de Banda Bandwidth A largura de banda é a freqüência na qual Hf j caiu para 707 correspondendo a 2 1 de seu valor na freqüência zero O valor corresponde a 3 dB abaixo do valor na freqüência zero quando o cálculo é feito em dB Seu símbolo é BW devido ao seu nome em inglês A largura de banda está associada às características de filtragem e também à maneira como o sistema responde durante seus transitórios já que uma grande BW indica que sinais de altas freqüências são deixados passar e significa que o sistema responde rapidamente Em contrapartida sistemas de BW pequena só deixam passar para suas saídas sinais de baixas freqüências assim são sinais de baixas taxas de variação e logo são lentos Definição 4 Taxa de Corte Cutoff Rate A taxa de corte é a taxa de variação da magnitude com a freqüência nas altas freqüências Esta definição se torna necessária porque a largura de banda às vezes não é suficiente para caracterizar o comportamento da resposta em freqüência do sistema Isto ocorre porque sistemas com uma mesma largura de banda mas com diferentes taxas de corte em altas freqüências possuem comportamentos distintos com respeito aos ruídos Aqueles que tiverem taxas de corte maiores rejeitam ruídos a partir de freqüências mais baixas A figura 2 representa de maneira esquemática as características definidas e que na próxima seção são aplicadas a título de exemplo a um sistema de 2a ordem 40 Figura 2 Características no domínio da freqüência III Análise de um Sistema de Segunda Ordem Como no caso as especificações no domínio do tempo apresentadas no capítulo anterior estudase um sistema de segunda ordem Isto acontece devido à simplicidade destes sistemas que permite uma rápida compreensão dos fenômenos e também a possibilidade e mesmo a prática de sintetizar sistemas de ordens superiores através da cascata de blocos de 2a ordem Esta técnica é bastante usual em filtragem tanto na analógica como na digital Seja a função de transferência de um sistema de 2a ordem 2 n n 2 2 n s 2 s s H 5 No RSP a expressão 5 se modifica para 2 n n 2 2 n 2 n n 2 2 n j 2 j 2 j j H 6 n 2 n 2 n n n 2 n j 2 1 1 2 j 1 1 1 j 2 1 Hj 7 Para simplificar a notação durante as deduções que seguem definase a variável n u 8 A variável definida em 8 recebe o nome de freqüência relativa pois é a relação entre a variável do espectro e a freqüência natural não amortecida do sistema n Substituase 8 em 7 para obter a expressão que segue e na qual a função foi designada Hju 41 j u 2 u 1 1 ju H 2 9 A partir de 9 se determina o módulo e a fase 2 2 2 2 u u 1 1 ju H 10a u2 1 arctg 2 u ju H 10b Na próxima subseção serão determinadas as características definidas na seção anterior para a transferência seu módulo e sua fase A Características no Domínio da Freqüência de um Sistema de Segunda Ordem Consideremse as expressões 9 e 10ab Freqüência de Ressonância A determinação da freqüência de ressonância se dá a partir da determinação do ponto do eixo da figura 2 no qual a curva de Hju passa por seu máximo Para tal derivase Hju com respeito a u e igualase esta derivada a zero A partir desta última determinase qual o valor de u para o qual esta igualdade é verificada A derivada de 10a com respeito a u é 0 2 u u 1 8 u 4 u u 4 2 1 2 u u 1 2 2 u 2 2u u 1 2 2 1 du Hju d 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 11 Para que 11 seja nula deve ser anulada a expressão entre parênteses ou o denominador ser infinito Mas a freqüência de interesse não é infinita logo a condição é sobre o numerador 0 1 u 2 u 2 u u u 8 u 4 u 4 u 2 3 2 3 2 3 12 A primeira raíz da 12 é u1 0 13 Lembrando a definição de u dada por 8 podese perceber que esta raíz corresponde à freqüência nula Ela não é considerada pois pode não ser o máximo verdadeiro Resolvese então a equação que resta 0 1 2 u 2 2 14 2 23 2 1 u 15 Substituase 8 em 15 e isolese a freqüência a ser determinada paea obter 2 n 23 2 1 16 42 A expressão 16 permite calcular p Serão dois valores iguais com sinais distintos Porém as duas raízes devem ser reais logo de 16 tirase a condição para que as raízes possam ser pontos de pico do módulo 0 2 1 2 2 2 1 2 2 1 070 17 Caso 17 não seja satisfeita então o único máximo é na freqüência zero Caso ela seja satisfeita então podese escrever para a parte positiva do espectro 2 n p 2 1 18 Ressonância de Pico Com o valor obtido para a freqüência de ressonância podese obter a ressonância de pico substituindo 15 em 10a p 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Hju 4 4 2 1 1 1 2 2 1 2 19 Uma observação é importante no que diz respeito aos valores p e Hjup Enquanto o primeiro é função de n e de o segundo é função somente de Largura de Banda Observandose a expressão 10a percebese que o valor do módulo é a unidade quando a freqüência e por conseqüência u for igual a zero Logo para determinar a largura de banca basta deteminar o valor de para o qual o múdulo vale 2 1 Igualese 10a a para obter 2 2 2 1 2 u u 1 1 ju H 2 2 2 20 Logo 2 2 u u 1 2 2 2 2 21 4 2 u u 1 2 2 2 2 22 2 2 u u 1 2 2 2 23 0 1 2 u 2 u 2 2 4 24 Esta é uma equação biquadrática e sua solução é 2 4 4 2 1 u 2 4 2 2 25 Em 25 escolhese a raíz do sinal positivo para garantir que u seja real logo 43 2 4 4 2 1 u 2 4 2 26 Substituindose a expressão 80 se obtém 2 4 4 2 1 2 4 2 n 27 Assim a largura de banda é 2 4 4 2 1 BW 2 4 2 n 28 Taxa de Corte Reescrevase a derivada do módulo dada por 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 u u 1 u 8 4 4 u 2 1 2 u u 1 8 u 4 u u 4 2 1 du Hju d 11 O comportamento desta derivada com respeito à freqüência crescente determinará as diferenças entre sistemas de segunda ordem Observandose 11 percebese que ela é igual do ponto de vista literal para todos os sistemas de segunda ordem O que diferenciará uns dos outros são os seus parâmetros n e Assim podese analisar 11 para diferentes sistemas para cada conjunto de parâmetros e assim estabelecer as diferenças que existem entre os mesmos Com este resultado foram concluídos os cálculos das características para um sistema de 2a ordem B Comparação Entre os Resultados da Análise do Transitório no DT e o Regime Senoidal Permanente no DF Nesta subseção é estabelecido um paralelo entre os resultados obtidos na análise do regime transitório no domínio do tempo e aqueles obtidos nesta seção para o regime senoidal permanente tratado no domínio da freqüência São também tecidos comentários sobre o os resultados da seção Overshoot máximo representado pela expressão 48 no referido capítulo é função somente de como mostra a expressão aqui repetida por conveniência 2 1 máx e overshoot DT48 Ressonância de pico representada pela expressão 19 é função somente de como mostra a expressão aqui repetida por conveniência Relembrase que 070 0 2 p 2 1 2 1 ju H 19 Largura de banda representada pela expressão 28 é diretamente proporcional à freqüência n como mostra a expressão aqui repetida por conveniência Relembrase que 070 0 44 2 4 4 2 1 BW 2 4 2 n 28 Largura de banda representada pela expressão 28 percebese que quanto menor for maior será a BW Relembrase que 070 0 Ressonância de pico representada pela expressão 19 pecebese que quanto menor for maior será a ressonância de pico A figura a seguir mostra a relação entre a ressonância de pico e o valor de 070 0 nas curvas destacadas As demais curvas são referentes aos valores de 070 para os quais não há ressonância Figura 3 Módulos da transferência em função da freqüência normalizada u para valores de 070 ξ 0 em destaque e ξ 070 sem destaque Ressonância de pico e largura de banda maior ressonância de pico corresponde a maior largura de banda e viceversa Do exposto acima percebese que há relação entre o comportamento no domínio da freqüência e aquele no domínio do tempo Estas relações existem porque os comportamentos nos dois domínios dependem dos coeficientes do polinômio do denominador da função de transferência ou seja de e de n Estas relações são importantes porque permitem melhor conhecer o desempenho do sistema Quando são analisados ou sintetizados sistemas de controle é de interesse não só a estabilidade dos mesmos como também o grau com que se verifica esta estabilidade É baseada nesta idéia que se considera a estabilidade relativa descrita na próxima seção A estabilidade relativa indica o quão estável o sistema é ou seja quanto os seus parâmetros podem variar antes que ele se torne instável Antes porém apresentase um exemplo para ilustrar a importância deste conceito 45 Exemplo de Sistema de 2a Ordem Esta exemplo tem por objetivo apresentar a análise de um sistema de 2a ordem Considerese novamente o sistema representado na figura 1 porém com as variáveis com novos nomes e com a introdução da variável erro e apresentado na figura 4 Ele é representado na figura 4 Figura 4 Sistema realimentado No sistema as transferências são 2 1s s 10 Hs K Gs Ou seja a realimentação se dá através de um ganho puro A função de transferência de malha aberta é 2 1s s 10 K Fs Para este sistema será feita uma análise através do Critério de Nyquist Inicialmente observase que Fs não possui singularidades no eixo vertical logo o caminho de Nyquist será o mais simples Serão consideradas dus hipóteses para o ganho K ele poderá ser positivo ou negativo K 0 Seja inicialmente o trecho de raio infinito Nele R ej s e a transferência se torna 2 R e e R 10 K Fs j 1 j R ej s Quando R tende a infinito a função se torna 0 e e R 10 K lim Fs lim 2 j j2 2 R R ej s R Considerando a variação da fase de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase Raio infinito com fase 0 Fs terá raio infinitesimal com fase 0 Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinito Fs vai de a passando por zero com raio infinitesimal zero Seja agora o trecho sobre o eixo imaginário Nele s j e a transferência se torna Hs t GS rt u S yt 46 4 1 j 3 2 K 10 2 1 j j 2 1 j j 2 j 1 j K 10 2 j 1 j 10 K Fs 2 2 2 j s Determinase a interseção de Fs com o eixo real quando sua parte imaginária é nula A partir dela calculase o valor de na interseção 0 4 1 3 10 K 2 2 A equação será satifeita para 0 com este valor calculase a abcissa na qual ocorre a intereseção 5 K 4 K 20 4 1 K 2 10 0 2 2 2 Resta saber como o ponto zero entre e passando por 0 se une ao ponto 5K j 0 Para tal são computadas as interseções de Fs com o eixo imaginário Determinamse as freqüências para as quais ocorrem as interseções ao fazer a parte real nula 0 4 1 K 2 10 2 2 2 As soluções desta equação são 2 Assim as ordenadas nas quais a parte real é nula são 236 K j 236 K j 4 12 2 2 30 K 4 2 1 2 3 10 K 2 Com estes resultados podese traçar a curva no plano GsHs 47 K 0 Seja inicialmente o trecho de raio infinito Nele R ej s e a transferência se torna 2 R e e R 10 K Fs j 1 j R ej s Quando R tende a infinito a função se torna 0 e e R 10 K lim Fs lim 2 j j2 2 R R ej s R Considerando a variação da fase de 2 a 2 passando por zero Logo podese concluir que quando s tiver Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase 2 Raio infinito com fase 0 Fs terá raio infinitesimal com fase Raio infinito com fase 2 Fs terá raio infinitesimal com fase 0 Assim percebese que enquanto s vai de 2 a 2 passando por zero com raio infinito Fs vai de 2 a 0 passando por com raio infinitesimal zero Seja agora o trecho sobre o eixo imaginário Nele s j e a transferência se torna 4 1 j 3 2 K 10 2 1 j j 2 1 j j 2 j 1 j K 10 2 j 1 j 10 K Fs 2 2 2 j s Determinase a interseção de Fs com o eixo real quando sua parte imaginária é nula A partir dela calculase o valor de na interseção 0 4 1 3 10 K 2 2 A equação será satifeita para 0 como no caso anterior visto que esta solução independe do sinal de K Com este valor calculase a abcissa na qual ocorre a intereseção 5 K 5 K 4 K 20 4 1 K 2 10 0 2 2 2 Também como no caso anterior resta saber como o ponto zero entre 2 e 0 passando por se une ao ponto 5K j 0 Para tal são computadas as interseções de Fs com o eixo imaginário Determinamse as freqüências para as quais ocorrem as interseções ao fazer a parte real nula 0 4 1 K 2 10 2 2 2 As soluções desta equação são 2 Assim as ordenadas nas quais a parte real é nula são 48 236 K j 236 K j 4 12 2 2 30 K 4 2 1 2 3 10 K 2 Com estes resultados podese traçar as curvas no plano GsHs 49 As curvas são duas porque há a consideração sobre o módulo de K como se percebe pelas duas últimas figuras Analisese as três figuras Primeira figura K 0 Esta figura mostra que qualquer que seja o valor de K o ponto 1 j 0 não é circundado logo 0 P P 1 0 0 N N 1 0 Logo 0 0 0 P N Z 1 1 1 Assim não existem zeros de Fs no semiplano da direita e o sistema é estável Segunda e terceira figuras K 0 Na situação em que a interseção com o eixo real se dá à esquerda da origem existem duas figuras cada uma delas representando uma das possibilidades de módulo de K Na primeira das duas o módulo é suficientemente grande para que o ponto 1 j 0 seja circundado e na segunda este não é o caso Quando o ponto 1 j 0 é circundado ele o é uma vez e no sentido horário logo 1 0 1 P N Z 1 1 1 E existe um zero de Fs no SPAD o sistema não é estável Quando o módulo é tal que o ponto 1 j 0 não é circundado a análise é igual à do K positivo Caso limite 1 5 K Este seria o caso em que o traçado da curva passaria sobre o ponto 1 j 0 Esta situação pode ser vista fazendose uma análise do denominador da função de transferência 10 K 2 3 s s 10 2 1s s 10 K 1 2 1s s 10 Gs Hs 1 Hs s H 2 f As raízes do polinômio do denominador são 2 40K 1 3 s12 Na expressão das raízes qualquer valor positivo de K leva as mesmas a serem reais e negativas ou complexas de parte real negativa Quando K for negativo as raízes serão negativas enquanto 9 40 K 1 8 40 K K 40 8 K 5 1 Assim quando K 5 1 o sistema será instável Quando K 5 1 o sistema tem um autovalor nulo não sendo BIBOestável é um caso de estabilidade marginal 50 Este exemplo serviu para ilustrar a situação em que a estabilidade de um sistema depende do valor de um parâmetro Para uma faixa de valores o sistema é estável e para outras não IV Estabilidade Relativa Como foi visto no caso do sistema de 2a ordem valores diferentes da K conduzem da estabilidade à instabilidade Ainda que o sistema possa ser estável para uma certa faixa de valores de K para outras ele pode vir a ser instável Estes valores de K podem ainda indicar se o sistema está mais próximo ou mais distante de tornarse instável caso ele seja estável Algumas definições são pertinentes Definição 5 Cruzamento de Fase Phase Crossover Cruzamento de fase é o ponto do eixo real negativo interceptado pela curva GsHs A frequência na qual ocorre o cruzamento de fase é chamada de freqüência de cruzamento de fase e é simbolizada por c O ponto de cruzamento de fase é aquele em que a fase do gráfico vale 180o visto que é a interseção da curva com o eixo real negativo Observese que como no exemplo apresentado dependendo do valor de K o cruzamento de fase está mais próximo ou mais distante do ponto 1 j 0 Esta distância está associada à estabilidade relativa através do conceito a seguir Definição 6 Margem de Ganho Gain Margin A margem de ganho cujo símbolo é GM do inglês é definida pela expressão matemática dB Hj Gj 1 20log M G c c 10 Onde c é a freqüência de cruzamento de fase Quando a curva intercepta o eixo horizontal no ponto crítico a margem de ganho é zero porque 1 1 Hj Gj c c 0 dB 1 dB 1 20log GM 10 Isto significa que o ganho não mais pode crescer em magnitude porque o sistema que é marginalmente estável se tornará instável Assim a margem de ganho é zero Podese então interpretar o significado da margem de ganho como sendo a quantidade em dB que o ganho pode crescer antes de que o sistema se torne instável Existe um sinal associado à margem de ganho dependendo do cruzamento ocorrer à esquerda ou à direita do ponto crítico Porém se o cruzamento estiver muito próximo de 1 j 0 ainda que à direita dele o sistema já estará em uma região perigosa porque qualquer flutuação em seus parâmetros impactará por conduzir o sistema à região de instabilidade Observese que os componentes físicos não possuem os valores nominais discriminados e são fabricados com uma margem de tolerância Isto faz com que nesta circunstância o projeto fique exposto à instabilidade A margem de ganho é uma das maneiras de avaliar a estabilidade relativa mas não a única já que existem sistemas com margens de ganhos iguais e de estabilidade relativas diferentes Isto acontece principalmente quando outros paâmetros que não o ganho podem variar como é o caso das 51 imprecisões decorrentes dos componentes cujos valores não são exatos Para que se possa ter outra medida de estabilidade relativa outro conceito é introduzido Ele é utilizado em conjunto com a margem de ganho Definição 7 Margem de Fase Phase Margin A margem de fase cujo símbolo é M é definida como o ângulo com o qual o gráfico de Gj Hj precisa ser rotacionado ao redor da origem para interceptar o eixo real no ponto crítico A margem de fase é uma medida dos efeitos sobre a estabilidade da variação de parâmetros que alteram a fase do diagrama sem alterar o seu ganho Ela indica que ainda que o traçado do diagrama não intercepte o eixo real negativo no ponto 1 j 0 se houver uma variação de parâmetros que altere a fase quantos graus podem ser variados antes da interseção ser crítica Seja g a freqüência para a qual Gj Hj tem magnitude unitária ou seja que o raio tem a mesma dimensão do raio do ponto 1 j 0 Então Hj Gj M g g Este conceito que não está associado diretamente ao ganho indica qual a margem possível de variação dos parâmetros para que seja atingido o ponto crítico Assim ele permite que se tenha uma possibilidade de variação dos parâmetros que não o ganho Observese que a função de transferência possui os dois polinômios com coeficientes dos respectivos termos de maior grau unitários Estes dois últimos conceitos estão associados à robustez do sistema ie à capacidade de o sistema manter suas características de desempenho mesmo quando no processo de síntese há variações dos parâmetros quando comparados com os valores estabelecidos na fase do projeto que não podem ser mantidos devido à dispersão na fabricação dos componentes No caso da margem de ganho há a informação adicional de quanto pode variar o ganho a ser projetado e ainda assim manter a estabilidade V Conclusões Este capítulo apresentou as principais técnicas clássicas de análise no domínio do freqüência e fez ligações das mesmas com as características de estabilidade do sistema VI Referências 01 Katsuhiko Ogata Engenharia de Controle Moderno 3a edição PHB Brasil 1998 02 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 52 Capítulo 15 CONTROLE PID I Introdução Os últimos capítulos apresentaram assuntos relacionados à estabilidade e às características de desempenho dos sistemas Os assuntos foram divididos nos capítulos da seguinte maneira Conceitos de estabilidade associados ao vetor de estado e à relação entradasaída e suas expressoes matemáticas para os sistemas lineares e invariantes Ao final deste capítulo estabeleceuse que no caso destes sitemas a determinação das características de estabilidade se projetam na determinação da localização de raízes polinômios Os polinômios podem ser o característico da matriz de estado ou o do denominador da função de transferência de acordo com o tipo de estabilidade que esteja em consideração A localização no plano complexo pode ser relativa ao SPAE SemiPlano Aberto da Esquerda ou ao círculo de raio unitário centrado na origem em decorrência de estarem sendo examinados sistemas a tempo contínuo ou discreto respectivamente Métodos numéricos que permitem determinar de forma qualitativa a localizção das raízes dos polinômios Estes métodos não fornecem os valores das raízes mas as suas localizações no plano complexo Para o caso da localização relativa ao SPAE foi estudado o Método de RouthHurwitz e para a do círculo de raio unitário o de Jury Método gráfico Critério de Nyquist para estudar a estabilidade de um sistema linear invariante no tempo a tempo contínuo e realimentado O critério permite analisar a estabilidade da transferência de caminho malha aberta e a malha fechada Método gráfico Lugar da Raízes para estudar a estabilidade de um sistema linear invariante no tempo a tempo contínuo e realimentado O critério permite analisar a estabilidade da transferência a malha fechada Método analítico e gráfico de especificação das características de desempenho dos sistemas quando analisados no domínio do tempo tanto no regime transitório quanto no permanente Método analítico e gráfico de especificação das características de desempenho dos sistemas quando analisados no domínio da freqüência quando operam no RSP Regime Senoidal Permanente Uma parte do que foi apresentado anteriormente no que diz respeito às especificações nos domínios do tempo e da freqüência diz respeito aos sistemas de segunda ordem tempo de subida tempo de assentamento overshoot máximo freqüência natural não amortecida taxa de amortecimento etc Estes critérios de medida de desempenho dos sistemas quando de ordens superiores só têm aplicação se existir um par de pólos dominantes quando a avaliação de 2a ordem é válida Este capítulo tem por objetivo apresentar os controladores PID Estes controladores são importantes porque a implementação de sistemas com a finalidade de controle requer geralmente a introdução de blocos que alteram as funções originais existentes no sistema Estes requisitos podem advir de critérios de estabilização de modificação de transitórios de otimalidade etc O propósito da implementação do controle é obter um conjunto de variáveis controladas que exibam o comportamento desejado pelo projetista Considerandose o sistema de uma forma global há Um processo ou planta a ser controlado cuja função de transferência é GPs cuja variável de saída é Ys e cuja variável de controle ou entrada é Us Um ou mais blocos a serem conectados ao sistema original para que o comportamento desejado seja atingido Estes blocos são os chamados controles ou controladores Eles podem ser ligados ao processo em posições diferentes havendo algumas configurações clássicas que são apresentadas a seguir Uma das formas mais usuais de projeto é aquela em que a configuração processo e controladores com suas localizações é escolhida a priori e o que resta é a determinação dos parâmetros dos controladores Uma das formas de conseguir estas alterações no desempenho do sistema é através das realimentações tanto a de estado como a de saída Uma maneira alternativa de se obter efeitos análogos é através da introdução dos controladores em outras partes do sistema 53 Os controladores utilizados são aqueles designados de PID Eles são blocos cuja relação entradasaída contém uma ou mais das três operações lineares básicas entre variáveis de entrada e de saída Multiplicação por constante gerando uma saída proporcional P à entrada a constante pode ser maior ou menor do que 1 amplificação ou atenuação do sinal Derivação gerando uma saída que é a derivada D da entrada Integração gerando uma saída que é a integral I da entrada Este capítulo apresenta os controladores e as maneiras como são tradicionalmente utilizados nos sistemas de controle Relembrase que nos casos do traçado do Lugar da Raízes e do Critério de Nyquist somente o caso proporcional através da multiplicação por uma constante K foi exemplificado ainda que a teoria tenha sido apresentada para Hs e Gs quaisquer II Modelo do Controlador PID O controlador PID conforme mencionado possui três componentes básicos Eles podem aparecer em várias possibilidades de combinações e naturalmente diferentes combinações terão efeitos diferentes sobre os sistemas aos quais são aplicados A função de transferência do bloco PID genérico é s K K s s K s K s K K G s I D 2 P I D P c 1 Em 1 KP KD e I K são constantes reais de proporcionalidade utilizadas para combinar as variáveis A determinação dos valores das constantes é dependente das especificações que o sistema deve atender Em 1 verificase que cada parcela realiza uma das operações descritas Observase que a função 1 não pode ser implementada através de circuitos elétricos passivos porque tem o numerador de ordem superior à do denominador sua implementação em eletrônica analógica requereria um amplificador operacional Duas funções decorrentes de 1 são muito utilizadas em engenharia Uma delas é o controlador PD que contém somente a primeira e a segunda parcelas de 1 A outra é o controlador PI que contém somente a primeira e a terceira parcelas As funções de transferência destes dois controles respectivamente são apresentadas a seguir Função de transferência do controlador PD s K K G s D P c 2a Função de transferência do controlador PI s K s K s K K G s I P I P c 2b Observese que estes controladores possuem funções opostas Enquanto o PI trabalha com a acumulação dos valores da sua entrada visto que possi uma componente integral o PD utiliza a taxa de variação da mesma pois ele é capaz de derivar O PD funciona com uma função antecipativa já que contém a derivada ao mesmo tempo é mais vulnerável ao ruído já que derivadas de ruídos apresentam valores altos devido à curta duração dos mesmos No que diz respeito à implementação vale para a espressão 2a o mesmo comentário feito para a expressão 1 A expressão 2a tem o grau do numerador maior do que o do denominador Nas próximas seções serão examinadas algumas configurações clássicas contendo controladores A primeira das configurações apresentadas será analisada para os controladores PD e PI As principais características que decorrem da utilização dos mesmos nesta configuração serão discutidas Outras configurações e suas formas alternativas serão também apresentadas 54 III Configurações Clássicas Contendo Controladores No início da disciplina foram estudadas as conexões em série em paralelo e em realimentação Depois estudouse a realimentação estática de estado aplicada ao caso do controle modal Quando se utilizam os controladores há a possibilidade de sendo o sistema realimentado que os mesmos sejam conectados tanto na malha principal quanto nas de realimentação O estudo terá como base um sistema de 2a ordem cuja função de transferência original possui um pólo em zero ou seja o sistema não é BIBOestável Esta função de transferência é designada Gps onde o p indica que é a transferência do processo original também chamado de planta em uma tradução direta do inglês plant A expressão 3 mostra a função de transferência do processo n 2 n p 2 s s s G 3 Suponhase que o sistema modelado por 3 será realimentado através de uma realimentação unitária para deslocar o seu pólo da origem para o SPAE O esquema da realimentação unitária é apresentado na figura 1 Figura 1 Sistema de segunda ordem com realimentação unitária Sem o uso de qualquer controlador a função de transferência equivalente à conexão da figura 1 é 2 n n 2 2 n n 2 n n 2 n p p f s 2 s 2 s s 1 2 s s G s 1 s G s G 4 Observese que a expressão da função de transferência após a conexão em realimentação unitária 4 possui um polinômio com todos os coeficientes positivos no denominador logo com possibilidade de possuir as duas raízes no SPAE Porém como não há qualquer parâmetro a determinar os pólos não poderão ser escolhidos suas localizações serão funções única e exclusivamente dos valores de n e de Interessa ao projetista poder escolher valores de alguns parâmetros de tal forma a ter flexibilidade na especificação de características do sistema Assim a introdução de constantes a determinar nos controladores é conveniente A expressão 4 já foi usada nos capítulos anteriores por ser a forma clássica de analisar sistemas de 2a ordem Ela não será o foco do estudo do presente capítulo pois já foi examinada Observese também que a expressão 4 poderia ter sido obtida de um sistema de 2a ordem sem realimentação e que não tivesse um pólo em zero como os circuitos RLC Para ampliar as possibilidades ao esquema da figura 1 será incluído o controlador Ao fazerse isto a função de transferência equivalente não mais será 4 pois será modificada de acordo com o tipo e a localização do controlador Existem diferentes maneiras de conectar o controlador ao sistema Três configurações clássicas são apresentadas e analisadas nas seções que seguem Gps Us u S Ys 55 IV Primeira Configuração com Controlador A primeira configuração é mostrada na figura 2 Ela recebe o nome de ligaçao série ou cascata Observase que o controlador foi introduzido na malha principal e a realimentação foi deixada como unitária O que aconteceu foi que utilizando a nomeclatura original a transferência da malha principal foi alterada pela introdução do controlador No que diz respeito à transferência de malha aberta localizar o controlador na malha de realimentação ou na principal não causa diferenças Figura 2 Primeira configuração com controlador A primeira configuração pode ser analisada a partir da perspectiva do sistema a malha aberta ie antes de ter implementada a realimentação unitária Isto ocorre pois o controlador foi colocado na malha principal antes do processo original Para que esta situação são examinados dois casos distintos o do controlador PD e o do controlador PI Antes de detalhar o estudo para os casos PD e PI examinese a função de entrada do processo para o controlador PID Es s I K K s K G s Es Us D P c 5 A expressão 5 pode ser passada ao domínio do tempo para dar origem a t 0 I D P e d K dt K det K et ut 6 Duas expressões foram derivadas de 1 A função de transferência do controlador PD dada por 2a e a do controlador PI dada por 2b Elas são repetidas por conveniência s K K G s D P c 2a s K s K s K K G s I P I P c 2b Examinando 2a percebese que ela representa um filtro passaalta K s D em paralelo com um passatudo a constante KP este controlador introduz uma fase positiva Por esta razão é chamado de compensador de adianto de fase Sua definição será apresentada mais adiante Examinando 2b percebese que ela representa um filtro passabaixa s KP em paralelo com um passatudo a constante KP este controlador introduz uma fase negativa Por esta razão é chamado de compensador de atraso de fase Sua definição como a do controlador de adianto de fase será apresentada mais adiante Como a função de entrada do processo Es é a diferença entre a função de entrada Rs e a saída Ys então com o controlador PID a saída passa pelas 3 operações Gps Rs u S Ys Gcs Es u Us 56 Este controlador além das 3 operações oferece 3 constantes a determinar que podem ser escolhidas pelo projetista de tal forma a satisfazer critérios de projeto Controlador PD O controlador PD é obtido da expressão 5 fazendose I K nulo A introdução deste controlador tem o efeito que pode ser representado pelo diagrama a seguir que é uma variação da figura 2 Figura 3 Primeira configuração com controlador com o controlador PD Este controlador que tem uma derivada em sua implementação tem um efeito de avaliar variações da variável de saída em decorrência da derivada da saída Por esta razão ele possui um efeito antecipativo As funções de transferência são respectivamente as expressões 3 e 2a Quando elas forem conectadas de acordo com a figura 2 a função de malha aberta do sistema passa a ser n D P 2 n 2 s s s K K Gs 7 A expressão 7 é o produto de Gps função de transferência do processo dada por 3 com a do controlador PD dada por 2a Examinandose 7 percebese que o efeito deste controlador é introduzir um zero localizado em D P 1 K K z 8 O controlador não introduz pólos e nem altera os originais de 3 que seria a função de malha aberta da configuração com realimentação unitária caso o controlador não fosse introduzido na malha principal O zero introduzido faz com que o espectro de freqüência de Gs se diferencie daquele de Gps por ter uma fase positiva acrescida a partir de uma certa freqüência Isto acontece porque tratandose de um zero está no numerador e a fase é somada Por esta razão este tipo de controle é chamado de phase lead ie adiantador de fase porque adianta a fase da função da malha aberta A partir deste comentário podese introduzir uma definição Definição 1 Controlador de Adianto de Fase PhaseLead Um controlador é dito de adianto de fase quando a sua introdução no sistema adiantar a fase da função de transferência de malha aberta O controlador PD na configuração 1 atua sobre o erro ou seja a diferença entre o degrau da referência e o sinal medido na saída Assim haverá uma parcela de alimentação do processo que é proporcional ao erro e outra que é proporcional à sua derivada GPs Rs u S Ys KP Es u KDs S Us 57 Algumas características desta configuração e deste controlador são importantes de ser observadas principalmente importantes quando o sistema de segunda ordem realimentado unitariamente possuir overshoot A realimentação unitária desloca o pólo do sistema a malha aberta da origem mas pode introduzir overhoot Observemse as características A saída oscila e apresenta uma resposta como a do gráfico da figura 4 como mostrado a seguir Figura 4 Saída de um sistema de segunda ordem devida a um degrau unitário quando há pólos complexos conjugados e overshoot O erro é igual a 1 menos a função da figura 4 Como a curva da figura 4 foi computada no capítulo de Especificações no Domínio do Tempo podese apresentar a sua expressão 0 t 1 arctg t 1 sen 1 e 1 t y 2 2 n 2 nt DT26 Com DT26 podese calcular a expressão do erro 0 t 1 arctg t 1 sen 1 e t e 2 2 n 2 nt 9 Caso somente o controlador proporcional fosse usado o erro seria multiplicado por uma constante e alimentado à entrada do processo causando uma entrada muito alta devida ao overshoot além de alimentar as oscilações ao sistema Ao se acrescentar a parcela da derivada derivase o erro e o efeito é de compensação da amplitude do overshoot bem como das oscilações A expressão da derivada da curva da figura 4 foi determinada no capítulo de Especificações no Domínio do Tempo e é igual ao negativo da derivada do erro 0 t t 1 sen 1 t e dt dyt 2 n 2 n n DT41 58 0 t t 1 sen 1 t e dt det 2 n 2 n n 10 A derivada do erro mede a sua taxa de variação e assim tem um efeito antecipativo que compensa os problemas descritos A expressão de ut é dt K det KP et ut D 0 t t 1 sen 1 t e K arctg 1 t 1 sen 1 e KP ut 2 n 2 n n D 2 2 n 2 nt 11 Percebese pois que as duas parcelas de 11 possuem fases distintas logo haverá a diminuição do máximo overshoot Assim a entrada do processo será excitada por uma função que não possui um pico tão alto quanto a saída na existência de overshoot Se o controlador PD fosse analisado sob o enfoque da filtragem verificarseia que o mesmo se comporta como um filtro passaalta como mostrado anteriormente apresentando problemas de ruído Este fenômeno é facilmente entendido pela existência da derivada Observandose a função de transferência do controlador PD vêse que a mesma não pode ser implementada através de um circuito passivo R L e C ou qualquer combinação destes elementos pois possui um zero sem possuir um pólo Assim para implementálo são necessários elementos ativos ie amplificadores operacionais Estas observações são todas oriundas do enfoque de síntese dos circuitos analógicos Para a determinação dos valores das constantes KP e KD existem várias alternativas Uma delas é baseada no Método do Lugar das Raízes nesta situação com dois parâmetros a determinar Uma sugestão na literatura é fixar alguns valores de um dos parâmetros de desenhar o gráfico do Lugar das Raízes para cada um deles em função do outro parâmetro que varia Com os vários gráficos concluir sobre a combinação na escolha dos dois parâmetros simultaneamente Pode neste processo ser necessário que sejam desenhados um ou outro gráfico a mais para algum valor do parâmetro que não tenha sido fixado a priori mas que se mostre necessário a partir da análise Existem outras possibilidades analíticas para determinar os valores dos parâmetros que atendam uma dada especificação Observase que sendo este um método clássico em geral a especificação é a estabilização do sistema e a eventual diminuição de oscilações Para encerrar calculase a função de transferência equivalente para o sistema com o controlador PD na malha principal e com a malha fechada com realimentação unitária s K K 2 s s s K K 2 n s s s K K 1 2 n s s s K K Gs 1 Gs s G D P 2 n n D P 2 n D P 2 n D P 2 n f P 2 n D 2 n n 2 D P 2 n f K s K 2 s K s K s G 12 Percebese que função de transferência equivalente é de 2a ordem pois o controlador introduziu um zero e não um pólo Além disto a realimentação unitária não introduz pólos 59 Controlador PI Ainda na primeira configuração com controlador analisase o caso em que o controlador é PI ao invés de PD Como no caso anterior modificase a figura 2 para o novo tipo Figura 5 Primeira configuração com controlador com o controlador PI As funções de transferência do processo e do controlador PI são respectivamente as expressões 3 e 2b Quando elas forem conectadas de acordo com a figura 2 ou equivalentemente com a figura 5 a função de malha aberta do sistema passa a ser n 2 I P 2 n I P n 2 n 2 s s K s K s K s K 2 s s Gs 13 Neste caso foram introduzidos um pólo na origem e um zero em P I 1 K K z 14 O pólo introduzido faz com que a ordem do sistema seja aumentada de uma unidade Assim passase a trabalhar com um sistema de 3a ordem Outro efeito interessante que se observa é decorrente da análise de erro em regime permanente conforme o estudo das características dos sistemas no domínio do tempo utilizando técnicas clássicas Nestas uma das características fundamentais é o tipo de sistema caracterizado pelo número de pólos que a função de transferência a malha aberta possui na origem Com a introdução do pólo na origem o tipo do sistema é aumentado de uma unidade No caso do sistema a malha aberta ser BIBOestável então o incremento de tipo representa uma ordem a mais na função de entrada para a qual o erro permanece nuloSe antes o erro tendia a zero para o degrau com a introdução do controlador ele se torna nulo para a rampa também Assim esta configuração com o controlador PI afeta o comportamento do erro em regime permanente Há porém o risco de uma escolha inadequada do par KP e I K levar o sistema a malha fechada a ser ser instável e então não há sentido na análise de erro em regime permanente pois haverá instabilidade Ressaltese que a análise de erro em regime permanente é feita sobre a função de transferência da malha aberta enquanto a de estabilidade é decorrente da função de transferência equivalente logo após ser fechada a malha de realimentação O pólo e o zero introduzidos fazem com que o espectro de freqüência de Gs se diferencie daquele de Gps por ter uma fase mais negativa a partir da freqüência zero tratase de um pólo em zero pois a raiz na origem foi introduzida no denominador e mais positiva a partir de uma dada freqüência trata se de uma raiz introduzida fora da origem no numerador Devido ao fato da fase ter sido tornada mais negativa a partir da freqüência zero este tipo de controlador é chamado de phaselag ie aquele que atrasa a fase Se o controlador PI fosse analisado sob o enfoque de filtragem verificarseia que o mesmo se comportacomo um filtro passabaixa A partir deste comentário podese introduzir uma definição GPs Rs u S Ys KP Es u KIs S 60 Definição 2 Controlador de Atraso de Fase PhaseLag Um controlador é dito de atraso de fase quando a sua introdução no sistema atrasar a fase da função de transferência de malha aberta Observandose a função de transferência do controlador PI vêse que a mesma pode ser implementada através de circuito passivo R e L ou C pois possui um zero e um pólo ambos finitos Novamente estáse analisando o controlador a partir da síntese de circuitos No que diz respeito ao cálculo das constantes KP e I K valem as mesmas observações do caso do controle PD As definições de PhaseLead and PhaseLag são compreendidas através do exame das expressões 2a e 2b nas quais ficam óbvias as características de filtragem e de alteração da fase V Segunda Configuração com Controlador A segunda configuração com controlador é aquela em que este bloco é acrescido em paralelo à realimentação unitária já existente O esquema que descreve esta configuração é apresentado na figura 6 Figura 6 Segunda configuração com controlador Esta configuração pode ser representada de maneira equivalente pelo diagrama da figura 7 Nele há uma única malha de realimentação porém a função de transferência da mesma inclui os efeitos da realimentação unitária e do bloco Gcs Figura 7 Segunda configuração com controlador forma alternativa Na figura 7 a função de transferência da malha de realimentação é 1 G s s G c c1 15 Gps Us u S Ys Gcs S Gps Gc1 s Us u S Ys 61 Como no caso da Primeira Configuração serão apresentadas as situações de uso do controlador PD e PI cujas funções de transferência são repetidas por conveniência A função de transferência do controlador PD dada por 2a e a do controlador PI dada por 2b Elas são repetidas por conveniência s K K G s D P c 2a s K s K s K K G s I P I P c 2b Controlador PD Quando for usado o controlador PD a função de transferência da malha de realimentação se torna s K 1 KP 1 s K K 1 G s s G D D P c c1 16 Há uma mudança no valor numérico da constante da derivada Porém quando analisado com bloco isolado 16 apresenta as mesmas características do controlador PD é um filtro passaalta introduz fase positiva e não introduz pólo na transferência de malha aberta O tipo de função a malha aberta também não é modificado logo o erro estacionário não se altera n D P 2 n 2 s s s K 1 K Gs 17 Mas a diferença é está quando se determina a função de transferência do sistema realimentado K s 1 K 2 s s 2 n s s K s 1 K 1 2 n s s Gs 1 s G s G D P 2 n n 2 n D P 2 n 2 n P f 18 A função continua de segunda ordem como no caso da Primeira Configuração Controlador PI Quando for usado o controlador PD a função de transferência da malha de realimentação se torna s K 1 s P K s K 1 KP 1 s K K 1 G s s G I I I P c c1 19 Há uma mudança no valor numérico da constante de proporcionaldiade Porém quando analisado com bloco isolado 19 apresenta as mesmas características do controlador PI é um filtro passabaixa introduz fase negativa e introduz pólo na transferência de malha aberta O tipo de função a malha aberta é modificado sendo aumentado de uma unidade logo o erro estacionário se altera passando a tender a zero para a rampa também n 2 I 2 n 2 s s K 1 s P K s G 20 Mas a diferença é está quando se determina a função de transferência do sistema realimentado I P 2 n n 2 2 n n 2 I P 2 n 2 n P f K 1 s K 2 s s 2 s s K 1 s K 1 2 n s s Gs 1 s G s G 21 62 A função se torna de terceira ordem como no caso da Primeira Configuração VI Terceira Configuração com Controlador A terceira configuração com controlador é aquela em que este bloco á acrescido em esquema de feedforward e no qual a informação de entrada é processada pelo mesmo e adicionada à entrada do processo A figura que descreve esta configuração é apresentada na figura 8 Figura 8 Terceira configuração com controlador Esta configuraçãp pode ser modificada se alguns passos de simplificação forem dados Para tal chame se de Xs a variável que excita o bloco GPs G s Xs Ys P 22 Ys Us G s Us Xs c 23 Ys Us G s Gcs Us Ys P 24 Logo a função de transferência equivalente é 1 s G Ps G s G 1 s G Ps G 1 Gcs 1 s G 1 cs G G s s H P 1 c P P P f 25 Em 25 G 1s c é o mesmo definido em 15 A expressão 25 permite escrever uma forma alternativa do diagrama em bloco como na figura 9 Figura 9 Terceira configuração com controlador forma alternativa Após a simplificação do diagrama alguns comentários podem ser feitos Gps Us u S Ys Gcs S Xs Gps Us u S Ys Gcs1 63 Como no caso da Segunda Configuração à função de transferência do controlador somase a unidade Comparando as figuras das três configurações observase que na Primeira o controlador atua sobre as variáveis de saída e de entrada na Segunda somente sobre a de saída e finalmente na Terceira só sobre a de entrada 7 e 9 percebese que na primeira o controlador atua sobre o sinal de saída enquanto na segunda só no sinal de entrada Análise análoga aos casos anteriores poderia ser feita VII Considerações Gerais Sobre o Controlador PID Como visto nas seções anteriores o controle PID tem a sua função de transferência dada por s K K s s K s K s K K G s I D 2 P I D P c 1 Quando se considera o controle PID verificase que sua função de transferência possui três graus de liberdade posto que existem três constantes a determinar KP KD e I K Diferentes escolhas dos parâmetros levam o controlador a ter comportamentos diversos isto porque o controlador possui um pólo em 0 e seus dois zeros serão função das constantes que estão no polinômio do numerador Quando são usados controle PI ou PD os graus de liberdade diminuem pois diminui o número de constantes a projetar VIII Controladores de Adianto de Fase PhaseLead de Atraso de Fase Phase Lag e de AtrasoAdianto de Fase LagLead Quando se trata do projeto e da implementação de controladores desejase o quanto possível que ela ocorra através de circuitos passivos Uma função de simples realização passiva RC é 1 1 c p s z s s G 26 Na expressão 21 o controlador será de adianto de fase sempre que 1 1 z p porque fase positiva é acrescentada à resposta em freqüência em uma certa faixa de freqüências Em contrapartida se a relação for contrária ie 1 1 z p o controlador será de atraso de fase porque fase negativa é acrescentada à resposta em freqüência em uma faixa de freqüências Aplicandose o controlador de adianto de fase PD e examinandose através das técnicas de análise e de síntese de domínio do tempo e de domínio a freqüência determinamse as seguintes características Melhora diminui o tempo de subida Melhora aumenta a atenuação Piora aumenta a freqüência natural de oscilação Fazendose a mesma análise para o caso do controlador de adianto de fase PI constatase que Melhora diminui o overshoot Melhora aumenta a estabilidade relativa Piora aumenta o tempo de subida Assim percebese que cada um dos controladores tem vantagens e desvantagens Acontece que existem alguns sistemas que não podem ser adequadamente atendidos por qualquer um dos dois posto que as desvantagens podem ser inadmissíveis em algumas situações Por esta razão muitas 64 vezes é necessário que sejam utilizados os dois controladores simultaneamente Nesta situação a implementação passiva acontece através da seguinte função de transferência 2 2 1 1 c p s z s p s z s s G 27 Na expressão 27 uma das funções é escolhida como phaselead e a outra como phaselag Este esquema é conhecido como controlador laglead Definição 3 Controlador de Atraso e Adianto de Fase LagLead Um controlador é dito de atraso e adianto de fase quando a sua introdução no sistema possui duas funções uma de atrasar e outra de adiantar a fase da função de transferência de malha aberta O atraso e o adianto ocorrem naturalmente em segmentos distintos do espectro É fácil compreender o funcionamento do controlador em 27 se for feita a sua análise através do Diagrama de Bode Os controladores em suas diferentes configurações constituem peças fundamentais da teoria e da implementação de controle através das técnicas clássicas Atualmente os controles utlizando esta técnica são implementados digitalmente IX Referências 01 Katsuhiko Ogata Engenharia de Controle Moderno 3a edição PHB Brasil 1998 02 Benjamin C Kuo Automatic Control System 4a edição PrenticeHall USA 1982 65 1 2 n C n 1 C n 1 2 C n 2 3 C n 3 4 C 4 3 n C 3 2 n C 2 1 n C 1 n C C C k a k a k a k a k a k a k a k a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 b k A f i 1 n i k i a C 1 kxt x t k C C K KCP ut 1 0 0 0 0 0 0 0 t x a a a a a a a a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 dt t dx C 1 2 3 4 3 n 2 n 1 n n C C