Lista de Exercícios P2 - Métodos Matemáticos Engenharia Química UFPR

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Lista de exercícios para a P2 Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercício 1 Encontre a solução formal 1 do seguinte problema de condução de calor uxtt2 ²uxtx² 0 x π t 0 u0tuπt0 t 0 ux0x 0 x π Solução Solução completa uxt n1 cn sennxe2n²t Aplicando condição inicial ux0x n1 cn sennx Série de senos de x entre 0 e π cn2π 0 π x sennxdx por partes 0 π x sennxdx 1Quando a solução formal de um problema é pedida você pode usar como ponte se partida a solução completa que satisfaz a EDO Condições de Contorno A solução Completa desse problema foi obtida na Aula 8 ux dudx dvsennxdx v1n cosnx logo 0 π x sennxdxxn cosnx 0π1n 0 π cosnxdx 0 π x sennxdx2n cosnπ Resposta uxt n1 2n cosnπ sennxe2n²t 0 x π t 0 Exercício 2 Obtenha a solução formal 2 do seguinte problema de condução de calor ²Txtx²2 Txtt 0 x 1 t 0 Txtxx0Txtxx10 t 0 Tx0senx1 0 x 1 Solução Solução completa Txtc0 n1 cn cosnπxL eβnπL² t Logo Txtc0 n1 cn cosnπxe12 nπ² t Aplicando a condição inicial Tx0senx1c0 n1 cn cosnπx Percebemos que precisamos escrever sen x 1 como uma série de Fourier de cossenos em 0 x 1 Para isso c0 0 1 sen x 1 dx 0 1 sen x dx 0 1 1 dx c0cosx011cos1112cos1 cn2 0 1 sen x 1 cosnπx dx 2 0 1 sen xcosnπx dx 2 0 1 cosnπx dx Primeiramente 0 1 cosnπx dx1nπ sennπx 010 2A solução completa desse problema foi fornecida na 8ª lista de exercícios Por fim ₀¹ sen x cos nπx dx resolvendo por partes u dv uv v du com u senx du cosx dx dv cosnπx dx v 1nπ sen nπx ₀¹ sen x cos nπx dx 1nπ senx sen nπx ₀¹ 1nπ ₀¹ cosx sennπx dx ₀¹ sen x cos nπx dx 1nπ ₀¹ cosx sennπx dx Resolvendo agora por partes ₀¹ cosx sennπx dx u cosx du senx dx dv sennπx dx v 1nπ cosnπx Assim ₀¹ cosx sennπx dx 1nπ cosnπx cosx ₀¹ 1nπ ₀¹ senx cosnπx dx ₀¹ cosx sennπx dx 1nπ cosnπ cos1 1nπ 1nπ ₀¹ senx cosnπx dx ₀¹ cosx sennπx dx 1nπ 1 cosnπ cos1 1nπ ₀¹ senx cosnπx dx Substituindo ₀¹ sen x cos nπx dx 1nπ 1nπ 1 cosnπ cos1 1nπ ₀¹ senx cosnπx dx ₀¹ sen x cos nπx dx 1nπ² ₀¹ senx cosnπx dx 1nπ² 1 cosnπ cos1 ou seja 1 1nπ² ₀¹ sen x cos nπx dx 1nπ² cosnπ cos1 1 ₀¹ sen x cos nπx dx 1 1 1nπ² 1 nπ² cosnπ cos1 1 1 1 1nπ² nπ² nπ² 1 ₀¹ sen x cos nπx dx nπ² nπ² 1 1 nπ² cosnπ cos1 1 ₀¹ sen x cos nπx dx 1 nπ² 1 cosnπ cos1 1 Assim cₙ 2 nπ² 1 cosnπ cos1 1 Logo finalmente Tx t 2 cos1 from n1 to 2 nπ² 1 cosnπ cos1 1 cos nπx e12 nπ² t Exercício 3 Utilize o método da separação de variáveis para obter a solução completa do problema de uma corda vibrante ³ ²u²xt t² α² ² uxt x² 0 x L t 0 u0t uLt 0 t 0 ux0 fx 0 x L ux0 t gx 0 x L onde α² é uma constante positiva Resposta uxt from n1 to aₙ cos nπα L t bₙ sen nπαL t sen nπx L Dica A solução dessa EDP pode ser obtida de forma muito similar à solução do exemplo apresentado no material da Aula 9 A única diferença é que a EDO cuja variável independente é o tempo será agora de segunda ordem ao invés de primeira Solução Propondo uxt φx θt EDP φx θt α² φx θt Separando φx φx 1α² θt θt λ Ao resolvermos a EDO espacial φx φx λ com as condições de contorno fornecidas temos que os auto valores serão λ nπ L² e as autofunções serão φxₙ aₙ sen nπx L n 1 2 3 ³Neste problema a variável dependente representa o deslocamento de uma corda cujas pontas são mantidas fixas como em um instrumento musical Resolvendo agora a EDO temporal θt θt α²λ θt α²λθt 0 eq característica r² α²λ 0 Raízes r α²λ r α²λ i r α nπ L i Solução geral θt C₁cos nπα L t C₂sen nπα L t θtₙ aₙcos nπα L t bₙsen nπα L t indo para a solução ux tₙ aₙ cos nπα L t bₙ sen nπα L t sen nπx L Somando ux t n1 aₙ cos nπα L t bₙ sen nπα L t sen nπx L