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Engenharia Química ·
Métodos Matemáticos
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Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de EDOs por Transformadas de Laplace Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercícios Resolva os seguintes problemas de valor inicial por Transformadas de Laplace a yt yt 2 t2 y0 1 y0 0 Solução Aplicando a TL nos dois lados Lyt yt L2 t2 Lyt Lyt L2 Lt2 s2 Ys sy0 y0 Ys 2s 2s3 Substituindo as condições iniciais s2 Ys s Ys 2s 2s3 Colocando Ys em evidência Yss2 1 s 2s 2s3 Isolando Ys Yss2 1 s 2s 2s3 Yss2 1 s4 2s2 2s3 Ys s4 2s2 2 s2 1s3 Obtendo as raízes de s2 1 0 r 4 2 1 Logo podemos então escrever s2 1 como a multiplicação de dois fatores lineares s2 1 s 1s 1 Assim Ys s4 2s2 2 s 1s 1s3 Expandindo a função racional em frações parciais s4 2s2 2 s 1s 1s3 A s 1 B s 1 C s D s2 E s3 Para encontramos os valores de A B C D e E multiplicamos os dois lados da equação por s 1s 1s3 s4 2s2 2 As 1s3 Bs 1s3 Cs 1s 1s2 Ds 1s 1s Es 1s 1 Substituindo s 0 2 E E 2 Substituindo s 1 1 2A A 1 2 Substituindo s 1 1 B21 B 1 2 Substituindo s 2 16 8 2 1 238 1 28 C134 D132 23 22 12 4 12C 6D 6 12C 6D 0 Substituindo s 2 22 1 218 1 238 C314 D312 E31 22 4 12 12C 6D 6 12C 6D 0 2 b yt 2yt yt t y0 1 y0 1 Aplicando TL dos dos dois lados Lyt 2Lyt Lyt Lt s2 Ys sy0 y0 2s Ys 2y0 Ys 1s2 Substituindo as condições iniciais s2 Ys s 1 2s Ys 2 Ys 1s2 s2 Ys s 2s Ys 1 Ys 1s2 Colocando Ys em evidência Yss2 2s 1 s 1 1s2 Isolando Ys Yss2 2s 1 s3 s2 1s2 Ys s3 s2 1s2 s2 2s 1 Encontrando as raízes de s2 2s 1 r 2 4 42 1 Assim s2 2s 1 s 12 Logo Ys s3 s2 1s2 s 12 Expandindo em frações parciais s3 s2 1s2 s 12 As Bs2 Cs 1 Ds 12 Multiplicando os dois lados por s2 s 12 s3 s2 1 Ass 12 Bs 12 Cs2 s 1 Ds2 Substituindo s 0 1 B Substituindo s 1 1 D Resolvendo o sistema de duas equações para C e D obtemos C0 D0 Assim Ys s4 2s2 2 s1s1s3 12 1s1 12 1s1 2s3 Aplicando a transformada inversa yt L1Ys L1 12 1s1 12 1s1 2s3 yt 12 L1 1s1 12 L11s1 L1 2s3 Utilizando a tabela de transformadas temos finalmente que yt 12 et 12 et t2 Substituindo s 1 1 4A 4 2C 1 4A 2C 6 2A C 3 Substituindo s 2 8 4 1 2A 1 4C 4 5 2A 4C 5 A 2C 0 Resolvendo as equações com A e C Fazendo a primeira menos 2segunda 3C 3 C 1 A 2 Assim Ys As Bs² Cs 1 Ds 1² Ys 2 1s 1s² 1s 1 1s 1² Aplicando a inversa dos dois lados L¹Ys 2L¹1s L¹1s² L¹1s 1 L¹1s 1² Usando a tabela de transformadas yt 2 t eᵗ eᵗ t c yt 2yt 5yt 8eᵗ y0 2 y0 12 Aplicando TL dos dois lados Lyt 2Lyt 5Lyt 8Leᵗ s²Ys sy0 y0 2sYs y0 5Ys 8s 1 s²Ys sy0 y0 2sYs 2y0 5Ys 8s 1 Substituindo as condições iniciais s²Ys 2s 12 2sYs 4 5Ys 8s 1 s²Ys 2s 8 2sYs 5Ys 8s 1 Colocando Ys em evidência Yss² 2s 5 2s 8 8s 1 Isolando Ys Yss² 2s 5 2s 8 8s 1 Yss² 2s 5 2ss 1 8s 1 8s 1 Yss² 2s 5 2s² 10ss 1 Ys 2s² 10ss 1s² 2s 5 Obtendo as raízes de s² 2s 5 r 4 4 202 complexas Assim s² 2s 5 s 22² 5 22² s 1² 4 Logo Ys 2s² 10ss 1s 1² 4 Ys 2s² 10ss 1s 1² 2² Expandindo em frações parciais 2s² 10ss 1s 1² 2² As 1 Bs 1 2Cs 1² 2² Multiplicando dos dois lados por s 1s 1² 2² 2s² 10s As 1² 2² Bs 1 2Cs 1 Substituindo s 1 2 10 4A 4C A C 3 Substituindo s 1 8 8A A 1 C 4 Substituindo s 0 0 15 B 8 B 8 5 3 Assim 2s² 10ss 1s 1² 2² 1s 1 3s 1s 1² 2² 42s 1² 2² Ou seja Ys 1s 1 3 s 1s 1² 2² 4 2s 1² 2² Aplicando a inversa yt L¹1s 1 3L¹s 1s 1² 2² 4L¹2s 1² 2² Usando a Tabela 1 do material teórico yt eᵗ 3eᵗ cos2t 4eᵗ sen2t d yt 2yt yt cos3t y0 0 y0 1 Aplicando TL dos dois lados s2Ys sy0 y0 2sYs 2y0 Ys s s2 32 Substituindo as condições iniciais s2Ys 1 2sYs Ys s s2 32 Isolando Ys Yss2 2s 1 1 s s2 32 Yss2 2s 1 s2 32 s s2 32 Ys s2 32 s s2 32s2 2s 1 Já vimos na letra b que s2 2s 1 s 12 Assim Ys s2 32 s s2 32s 12 Expandindo em frações parciais s2 32 s s2 32s 12 As 3B s2 32 C s 1 D s 12 Multiplicando os dois lados por s2 32s 12 s2 32 s As 3Bs 12 Cs2 32s 1 Ds2 32 Reescrevendo s2 32 s Ass 1s 1 3Bs 1s 1 Cs3 Cs2 32sC 32C s2D 32D s2 32 s As3 2As2 As 3Bs2 6Bs 3B Cs3 Cs2 32sC 32C s2D 32D s2 s 9 s3A C s22A 3B C D sA 6B 9 3B 9C 9D 8 Daqui tiramos o seguinte sistema de equações A C 0 1 2A 3B C D 1 2 A 6B 9C 1 3 3B 9C 9D 9 4 Ao resolvermos o sistema de equações algébricas lineares acima teremos A 225 B 350 C 225 D 1110 Assim Υs As 3B s2 32 C s 1 D s 12 Υs A s s2 32 B 3 s2 32 C 1 s 1 D 1 s 12 Υs 225 s s2 32 350 3 s2 32 225 1 s 1 1110 1 s 12 Aplicando a transformada inversa yt 225 cos3t 350 sen3t 225 et 1110 t et
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