Solucao-de-Equacoes-Diferenciais-Parciais-Metodo-de-Separacao-de-Variaveis

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de Equações Diferenciais Parciais Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Exercício Utilize o método de separação de variáveis para obter a solução completa do seguinte problema uxttβ ²uxtx² 0xL t0 uxtx x0 uxtx xL 0 t0 ux0fx 0xL Solução proposta uxtϕxθt Obtendo as derivadas uxttϕxθt ²uxtx²ϕ xθt Substituindo na EDP ϕxθtβθtϕx Separando 1β θtθt ϕxϕx Concluímos que 1β θtθt λ ϕxϕx λ Resolvendo a EDO de 2a ordem ϕxλϕx0 0xL Precisamos das condições de contorno ϕ0θt ϕLθt0 Para evitar soluções triviais temos ϕ0 ϕL 0 Buscando agora as soluções gerais em função de λ p λ0 ϕxC1 eλ x C2 eλ x Para aplicar as condições de contorno precisamos das derivadas da solução ϕxλ C1 eλ x λ C2 eλ x Aplicando a primeira condição de contorno ϕ0 λ C1 eλ0 λ C2 eλ0 0 λ C1 C2 C1C2 Aplicando a segunda condição de contorno ϕLλ C1 eλ L λ C2 eλ L ϕLλ C1 eλ L λ C1 eλ L 0 λ C1 eλL eλL C10C2 p λ0 ϕxC1 C2 x Derivando ϕx C2 Aplicando as condições de contorno C20 Logo a Solução do PVI fica ϕxC1 Primeira solução não trivial para ϕ Voltando à definição de μxt μxtϕxθt Logo μxtCθt Vimos anteriormente que θtC eβt Como estamos avaliando o caso para λ0 θtC Assim μxtλ0cte p λ0 ϕxC1 cosλ xC2 senλ x Derivando ϕxC1λ senλ xλ C2 cosλ x Aplicando a primeira condição de contorno 0λ C2 C20 Aplicando a segundo condição de contorno 0C1λ senλ L Para que C10 precisamos que senλ L0 Para isso λnπL2 n1234 Assim temos soluções não triviais na forma ϕxC1 cosλ x ϕxC1 cosnπxL n1234 ϕnxan cosnπxL n1234 Voltando à definição de μxt μxtϕxθt Da solução da EDO de 1ª ordem temos θt C eλβt Como temos infinitos valores de lambda quando λ 0 temos θnt bn eβnπL2 t n 1 2 3 4 Para λ 0 temos infinitas soluções na forma unxt an cosnπxL bn eβnπL2 t n 1 2 3 4 Somando todas as soluções não triviais para obter a solução completa uxt c0 n1 cn cosnπxL eβnπL2 t