Série de Fourier e Solução de Equações Diferenciais Parciais - Métodos Matemáticos para Engenharia Química

Métodos Matemáticos para a Engenharia Química ENQ041 Solução de Equações Diferenciais Parciais Prof Fernando Voll Universidade Federal do Paraná Série de Fourier Em seu estudo de problemas de fluxo de calor Joseph Fourier desenvolveu sua série trigonométrica para representar funções definidas em um intervalo LL como fx a0 sumn1 infty left an cos left fracn pi xL right bn sen left fracn pi xL right right 1 onde os coeficientes an e bn da série dependem da função que se deseja representar no intervalo Como veremos logo adiante a obtenção dos coeficientes da série de Fourier depende dos resultados das seguintes integrais válidos quando n e m são números inteiros positivos intLL senleftfracm pi xL right cos leftfracn pi xL right dx 0 2 intLL senleftfracm pi xL right sen leftfracn pi xL right dx left beginarraylc 0 m eq n L m n endarray right 3 intLL cosleftfracm pi xL right cos leftfracn pi xL right dx left beginarraylc 0 m eq n L m n endarray right 4 As Eqs 24 expressam uma condição de ortogonalidade satisfeita pelos conjunto de funções seno e cosseno presentes nas integrais1 1O estudo mais aprofundado de funções ortogonais está fora do escopo deste material Sendo assim utilizaremos os resultados apresentados nas Eq 24 de forma direta quando nos for conveniente Para começarmos a obtenção dos coeficientes da Eq 1 podemos integrar fx entre L e L intLL fx dx intLL a0 dx sumn1 infty an intLL cos left fracn pi xL right dx sumn1 infty bn intLL sen left fracn pi xL right dx É fácil demonstrar que intLL cos left fracn pi xL right dx intLL sen left fracn pi xL right dx 0 Assim intLL fx dx intLL a0 dx intLL fx dx a0 intLL dx 2L a0 Rightarrow a0 frac12L intLL fx dx 5 Temos então uma forma de obter o primeiro coeficiente da série a partir da definição de uma função fx qualquer a ser representada pela série Agora vamos multiplicar a Eq 1 por cosm pi x L antes de realizar a integração intLL fx cos left fracm pi xL right dx a0 intLL cos left fracm pi xL right dx sumn1 infty an intLL cos left fracn pi xL right cos left fracm pi xL right dx sumn1 infty bn intLL sen left fracn pi xL right cos left fracm pi xL right dx Já observamos que intLL cos left fracm pi xL right dx 0 m 1 2 3 Além disso a Eq 2 nos revela que intLL sen left fracn pi xL right cos left fracm pi xL right dx 0 Assim a igualdade se reduz a intLL fx cos left fracm pi xL right dx sumn1 infty an intLL cos left fracn pi xL right cos left fracm pi xL right dx A Eq 4 nos revela que o único termo diferente de zero do somatório acima é aquele para m n assim intLL fx cos left fracn pi xL right dx an L Rightarrow an frac1L intLL fx cos left fracn pi xL right dx n 1 2 3 6 Se multiplicarmos a Eq 1 por senm pi x L antes de realizarmos a integração obteremos por fim os coeficientes bn bn frac1L intLL fx sen left fracn pi xL right dx n 1 2 3 7 Para facilitar a aplicação da série de Fourier na representação de funções fx quaisquer suas informações estão na resumidas na Definição 1 apresentada a seguir Série de Fourier Definição 1 Considere que f seja uma função contínua por partes2 no intervalo LL A série de Fourier de f é a série trigonométrica fx a0 sumn1 infty left an cos left fracn pi xL right bn sen left fracn pi xL right right onde a0 frac12L intLL fx dx an frac1L intLL fx cos left fracn pi xL right dx n 1 2 3 bn frac1L intLL fx sen left fracn pi xL right dx n 1 2 3 2Uma função é contínua por partes sobre ab é uma função f contínua em cada ponto de ab exceto talvez em um número finito de ponto onde f apresenta descontinuidades do tipo salto Essas funções são necessariamente integráveis sobre todo o intervalo ab Exemplo 1 Obtenha a série de Fourier da seguinte função fx 0 π x 0 x 0 x π 8 Solução Aqui L π de forma que a série de Fourier fica fx a0 Σn1 to ancosnx bnsennx Obtendo o coeficiente a0 a0 1 2π π to π fx dx 1 2π π to 0 0 dx 0 to π x dx 1 2π 0 to π x dx 1 4π x² ₀π π 4 Obtendo os coeficientes an an 1 π π to π fx cosnx dx 1 π 0 to π x cosnx dx Resolvendo a integral por partes temos que 0 to π x cosnx dx 1 n²cosnπ 1 Assim an 1 πn²cosnπ 1 Obtendo os coeficientes bn bn 1 π π to π fx sennx dx 1 π 0 to π x sennx dx Ao resolvermos a integral por partes obtemos bn cosnπ n Substituindo então os coeficientes obtidos na série de Fourier temos finalmente fx π 4 Σn1 to 1 πn²cosnπ 1 cosnx cosnπ n sennx 9 A ideia é que se computarmos um número suficientemente grande de termos dessa série o resultado será similar ao da função original no intervalo π π As Figuras abaixo mostram uma comparação entre a função original Eq 8 e sua série de Fourier Eq 9 com diferentes números de termos computados Percebemos que a função descrita na Eq 9 se aproxima do comportamento da função descrita na Eq 8 conforme mais termos da série são computados 5 Séries de Fourier de senos e cossenos Vimos anteriormente que se fx for uma função contínua por partes no intervalo L L a mesma pode ser representada por sua série de Fourier como fx a0 Σn1 to ancosnπx L bnsennπx L 10 onde a0 1 2L L to L fx dx 11 an 1 L L to L fx cosnπx L dx n 1 2 3 12 bn 1 L L to L fx sennπx L dx n 1 2 3 13 Vimos também que a equação do calor quando associada a condições de contorno homogêneas pode apresentar as seguintes soluções a depender do tipo da condição de contorno uxt Σn1 to cn sennπx L eβnπ L² t 0 x L t 0 14 ou uxt c0 Σn1 to cn cosnπx L eβnπ L² t 0 x L t 0 15 Ao avaliarmos as Eq 14 e 15 em t 0 temos ux0 fx Σn1 to cn sennπx L 0 x L 16 ou ux0 fx c0 Σn1 to cn cosnπx L 0 x L 17 onde fx é uma função qualquer definida em 0 L que representa condição inicial do problema As Eqs 14 e 15 representam as soluções completas da equação do calor as quais satisfazem por si só as condições de contorno associadas A solução formal da equação de calor será aquela que possui constantes cn específicas que satisfaçam ou a Eq 16 ou a Eq 17 a depender das condições de contorno usadas para gerar a solução completa ³Uma função é contínua por partes sobre a b é uma função f contínua em cada ponto de a b exceto talvez em um número finito de pontos onde f apresenta descontinuidades do tipo salto Essas funções são necessariamente integráveis sobre todo o intervalo a b As equações 16 e 17 estão nos sugerindo algo importante uma mesma função f x pode a princípio ser representada tanto por uma função de senos como de cossenos a depender da nossa necessidade Entretanto a Série de Fourier Eqs 1013 nos diz que os coeficientes são obtidos justamente partir da função f x Como seria então possível escolher quais dos coeficientes da série de Fourier an ou bn serão diferentes de zero Para respondermos a essa pergunta precisamos estudar uma propriedade importante das funções a simetria par e ímpar Uma função f que satisfaz f x f x L x L é uma função par Uma função f que satisfaz f x f x L x L é uma função ímpar Nas próximas páginas temos alguns exemplos gráficos destes tipos de função 7 Exemplos de funções par f x x2 L x L f x x L x L 8 Exemplos de funções ímpar fx sen πx L L x L fx 1 L x 0 1 0 x L É evidente que muitas funções não são nem par nem ímpar como por exemplo fx 0 L x 0 x 0 x L A importância das funções par e ímpar reside nos resultados de suas integrais conforme apresentado no Teorema 1 Teorema 1 Se f é uma função par e contínua por partes sobre L L então LL fxdx 2 0L fxdx 18 Se f é uma função ímpar e contínua por partes sobre L L então LL fxdx 0 19 As seguintes propriedades das funções par e ímpar são também relevantes Se f e g são funções par então o mesmo acontece com o produto fg Se f e g são funções ímpar então fg é uma função par Se f é uma função par e g é uma função ímpar então fg é uma função ímpar O próximo exemplo nos ajudará a entender por que é possível escolher a série de Fourier cossenos ou senos para representar uma função qualquer ao menos em um intervalo 0 L Exemplo 2 Obtenha as séries de Fourier das seguintes funções a fx 0 π x 0 x 0 x π b fx x π x 0 x 0 x π c fx x π x 0 x 0 x π Solução Primeiramente vamos classificar as funções dos itens a b e c quanto ao tipo de suas simetrias Percebemos que a função do item a não é nem par e nem ímpar que a função do item b é ímpar e que a função do item c é par Pela figura acima podemos notar que a despeito das diferenças entre as funções elas são idênticas no intervalo 0 π Voltemos agora às séries de cada item a Do exemplo 1 temos que Se fx 0 π x 0 x 0 x π então fx π4 n1 1πn² cosnπ 1 cosnx cosnπn sennx Note que a série acima está expressa tanto em termos de senos como cossenos b Para obtermos os coeficientes da Série de Fourier da função fx x π x 0 x 0 x π precisamos recorrer às Eqs 1113 Obtemos inicialmente o parâmetro a0 através da Eq 11 a0 12L LL fxdx 12π ππ fxdx Perceba pelo Teorema 1 que se fx é uma função ímpar entre π e π então a0 12π ππ fxdx 0 Obtemos posteriormente os coeficientes an pela Eq 12 an 1L LL fxcosnπxL dx 1π ππ fxcosnx dx Como funções cosseno têm simetria par e fx é ímpar as funções fxcosnx n1 2 3 terão sempre simetria ímpar Assim pelo Teorema 1 an 1π ππ fxcosnx dx 0 Obtemos por fim os coeficientes bn pela Eq 13 bn 1L LL fxsennπxL dx 1π ππ fxsennx dx Como funções seno têm simetria ímpar e fx é ímpar as funções fxsennx n1 2 3 terão sempre simetria par Assim pelo Teorema 1 bn 1π ππ fxsennx dx 2π 0π fxsennx dx Resolvemos então a integral apenas no intervalo 0 π 0π fxsennx dx 0π x sennx dx πn cosnπ Assim bn 2n cosnπ Concluímos então que Se fx x π x 0 x 0 x π então fx n1 2n cosnπ sennx 20 Note que a série da Eq 20 está expressa apenas em termos de senos c Para obtermos os coeficientes da Série de Fourier da função fx x π x 0 x 0 x π recorremos novamente às Eqs 1113 Obtemos inicialmente o parâmetro a0 através da Eq 11 a0 12L from L to L fx dx 12π from π to π fx dx Perceba pelo Teorema 1 que se fx é uma função par entre π e π então a0 12π from π to π fx dx 1π from 0 to π fx dx Assim a0 1π from 0 to π x dx 1πx²2 evaluated from 0 to π π2 Obtemos posteriormente os coeficientes an pela Eq 12 an 1L from L to L fx cosnπxL dx 1π from π to π fx cosnx dx Como funções cosseno têm simetria par e fx é par as funções fx cosnx n 123 terão sempre simetria par Assim pelo Teorema 1 an 1π from π to π fx cosnx dx 2π from 0 to π fx cosnx dx Resolvemos então a integral apenas no intervalo 0 π from 0 to π fx cosnx dx from 0 to π x cosnx dx 1n²cosnπ 1 Assim an 2πn²cosnπ 1 Obtemos por fim os coeficientes bn pela Eq 13 bn 1L from L to L fx sennπxL dx 1π from π to π fx sennx dx Como funções seno têm simetria ímpar e fx é par as funções fx sennx n 123 terão sempre simetria ímpar Assim pelo Teorema 1 bn 1π from π to π fx sennx dx 0 Concluímos então que Se fx x π x 0 x 0 x π então fx π2 from n1 to 2πn²cosnπ 1 cosnx 21 Note que a série da Eq 21 está expressa apenas em termos de cossenos Reflexões sobre os resultados que acabamos de obter Perceba que ambas as séries apresentadas nas Eqs 20 e 21 descrevem o comportamento fx x no intervalo 0 π O que muda entre essas séries é o comportamento que elas descrevem ao lado esquerdo do eixo y Perceba também que se nós não temos interesse nos valores de fx para x 0 então podemos escolher livremente entre as séries de seno Eq 20 ou cosseno Eq 21 para representar a função fx x 0 x π Se voltarmos às condições iniciais da equação do calor Eqs 16 e 17 percebemos que os valores de fx para x 0 realmente não nos interessam já que o domínio de solução é apenas 0 L Dessa forma podemos representar uma função fx no intervalo 0 L ou como uma série de Fourier de senos ou como uma série de Fourier de cossenos conforme a nossa necessidade Essas séries podem ser obtidas ao aplicarmos o raciocínio feito no exemplo anterior para funções fx quaisquer que sejam ou par ou ímpar em L L As séries de Fourier de senos e cossenos estão apresentadas na página seguinte Série de Fourier de cossenos Definição 1 Seja fx contínua por partes no intervalo 0 L sua série de Fourier de cossenos é fx a0 from n1 to an cosnπxL onde a0 1L from 0 to L fx dx an 2L from 0 to L fx cosnπxL dx n 1 2 3 Série de Fourier de senos Definição 2 Seja fx contínua por partes no intervalo 0 L sua série de Fourier de senos é fx from n1 to bn sennπxL onde bn 2L from 0 to L fx sennπxL dx n 1 2 3 Perceba que a função não precisa ser necessariamente definida em 0 ou L