Aula 16: Distância entre uma Reta e um Plano

Aula 16 Distˆancia entre uma reta e um plano Sejam r uma reta e π um plano a distˆancia entre r e π e definida como sendo a menor distˆancia entre os pontos de r a π r π r π UFBA 24052022 drπ dPπ Exemplo Calcule a distˆancia entre a a reta r P 1 2 1 λ1 1 0 λ R e o plano π 3x 3y z 2 b a reta r x 3 y 4 z e o plano π 3x y 2z 2 r é paralela a π V η π Logo r está contida em π ou r é paralela a π P ponto qualquer de r P121 r Substituindo as coordenadas do P na equação de π lembrar 2º dP π dPπ PA nπ nπ b 1º Posição relativa vecvr e vecnpi vecvr 111 e vecnpi 312 vecvr perp vecnpi vecvr cdot vecnpi 1cdot3 1cdot1 1cdot2 312 4 eq 0 Rightarrow vecvr ext e vecnpi ext não são ortogonais Portanto ext e ext concorrente a pi Rightarrow dvecr pi 0 Distˆancia entre duas retas Sejam r e s duas retas quaisquer a distˆancia entre r e s e definida como a menor distˆancia entre dois pontos um de r e outro de s A π e nπ normal de π dPπ αx₀ by₀ cz₀ d a² b² c² Lembrar dRs fracvecRS imes vecvsvecvs S ext é e vecvs ext diretor de s Rightarrow drs fracvecRS imes vecvsvecvs R in R S in S vecvs ext diretor de s π₀ ax by cz d 0 e P x₀ y₀ z₀ b Se r e s são coincidentes drs 0 quad R in R drs dRs 0 c Se r e s são concorrentess drs 0 r e s são reversas Se R e S então drπ dRπ drs RS vr vs vr x vs Exemplo Determine a distˆancia entre as retas a r x 1 4 y 1 2 z 2 6 e s P 1 0 2 λ2 1 3 λ R b r X 3 1 1 λ2 0 1 λ R e s x 6 1 y 2 z 1 Logo r e s são coincidentes ou paralelas distintas drs dRs R r R 112 r 3º dRs dRs RS VS VS S s e VS diretor S 102 e VS 213 RS 010 RS VS 1 0 0 1 3 0 1 3 0 2 dRs 302 213 3²0²2² 2²1²3² 94 419 1314 drs 1314 b 1ª Posição relativa Re R S são e RS e S são concorrentes é 0