Aula 23: Cônicas e suas Equações

Aula 23 Cônicas Num plano π considera a equação Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 com A² B² C² 0 O conjunto dos pontos P xy π que satisfazem esta equação é chamado de cônica Cônicas Num plano π considera a equação Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 com A² B² C² 0 O conjunto dos pontos P xy π que satisfazem esta equação é chamado de cônica Conjunto vazio x² y² 1 0 Um ponto x² y² 0 Uma reta x y² 0 Duas retas paralelas ou concorrentes Parábola y² 4px Elipse x²a² y²b² 1 Hipérbole x²a² y²b² 1 35x² 2xy 35y² 34x 34y 1 0 Qual é a cônica A 35 B 2 C 35 B² 4AC 2² 43535 4 41225 B² 4AC 4896 0 a é uma elipse ponto ou vazio Como identificar Considere num plano π a cônica de equação Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 com A² B² C² 0 a se B² 4AC 0 a cônica é uma elipse um ponto ou o conjunto vazio b se B² 4AC 0 a cônica é uma hipérbole ou um par de retas concorrentes c se B² 4AC 0 a cônica é uma parábola um par de retas paralelas uma reta ou o conjunto vazio Eliminar os termos de 1º grau por meio de uma translação Determinar o ponto O h k para o qual devemos translatar o sistema para eliminar os termos x e y Equações de translação x x h y y k Ou seja achar O de modo que a equação seja da forma Ax² By² Cy² F 0 Eliminar os termos de 1 grau por meio de uma translação Determinar o ponto O h k para o qual devemos transladar o sistema para eliminar os termos x e y x x h y y k Substituímos as equações de translação Axh²BxhykCyk²DxhEykF 0 Eliminar os termos de 1 grau por meio de uma translação Determinar o ponto O h k para o qual devemos transladar o sistema para eliminar os termos x e y x x h y y k Axh²BxhykCyk²DxhEykF 0 Ax²2hxh²B 0 Ax²BxyCy²2AhBkDx2CkBhEyF 0 onde F Ah² Bhk Ck² Dh Ek F 0 Devemos determinar h e k como soluções 2Ah Bk D 0 2Ck Bh E 0 Obs Se o sistema não tem solução não podemos eliminar os termos de 1 grau mediante uma translação Obs Se o sistema tem solução hk então a equação da cônica nas variáveis x y é Ax² Bxy Cy² F¹ 0 onde F¹ Ah² Bhk Ck² Dh Ek F Exemplo Faça uma translação no plano para transformar a equação 35x² 2xy 35y² 34x 34y 1 0 numa equação da forma Ax² Bxy Cy² F¹ 0 sol A 35 B 2 C 35 D 34 E 34 F 1 A A 35 C C 35 B B 2 Para fazer a translação precisamos achar h e k solução 2Ah Bk D 0 2Ck Bh E 0 235h 2k 34 0 2 235k 2h 34 0 2 35h k 17 0 x 35 35k h 17 0 35²h 35k 1735 0 35k h 17 0 35² 1h 1735 1 0 1224h 612 0 h 612 1224 12 35k 12 17 0 35k 12 17 35k 352 k 12 A nova origem é O12 12 e as equações de translação x 12 x y 12 y F Ah² Bhk Ck² Dh Ek F e F 3512² 212 3512² 3412 3412 1 F 18 Portanto no sistema xy a equação da cônica 35x² 2xy 35y² 18 0 Se B 0 podemos completar quadrado para determinar h e k A x² D x C y² E y F 0 A x D 2 A ² C y E 2 C ² F 0 com F F D² 4 A E² 4 C e a tradução Exemplo Considere a cônica ℓ 9x² 4y² 18x 16y 8 0 Identifique ℓ determine seu centro excentricidade e faça o esboço A9 B0 C4 B²4AC 0 0494 0169 144 0 ℓ é uma hipérbole ou um par de retas concorrentes Precisamos fazer tradução para eliminar os termos de 1º grau B0 ou resolver o sistema para achar h e k completar quadrado vamos escolher o 1º caminho 9x² 4y² 18x 16y 8 0 9x² 18x 4y² 16y 8 0 9x²2x4y²4y80 9x²2x14y²4y4 89160 9x1²4y2²10 fazendo x¹x1 e y¹y2 9x¹²4y¹²10 Rightarrow fracx2frac19fracy2frac141 quad left extequação reduzida em x0y right Rightarrow a2frac19 ext e b2frac14 Rightarrow l ext é uma hipérbole ext Translação left xx1 quad yy2 right Rightarrow O12 Centro C00xy Rightarrow C12xy e2b2C2a2 Rightarrow Csqrtb2a2sqrtfrac14frac19fracsqrt136 Rightarrow efracCafracsqrt13613fracsqrt132 f₁C0ₓᵧ1360ₓᵧ Esboço