Equações do Plano: Três Pontos Não Colineares e Exemplos

Aula 11 Equacoes do plano Trˆes pontos nao colineares no espaco determinam um plano Seja π o plano determinado pelos pontos A B e C A B C π UFBA 03052022 AP tAB sAC P A tAB sAC tsℝ Equação vetorial de π Obs A equação vetorial não é única P B tAB sAC tsℝ P C tBC sAC tsℝ Para determinar a equação vetorial de um plano precisamos de um ponto do plano e de dois vetores não paralelos com representantes no plano P P₀ tū sv tsℝ ū e v são vetores diretores do plano π P₀xyz xyz x₀y₀z₀ ta₁b₁c₁ sa₂b₂c₂ Exemplo Determine as equações vetorial e paramétricas do plano π que passa pelo ponto P₀ 371 e é paralelo aos vetores u 111 e v 110 t0 e s1 b Substituir as coordenadas de P na equação paramétrica de π O 3 t s 1 7 t s O 1 t 3ª eq t 1 Subst na 1ª eq O 3 1 s s 4 Subst na 2ª eq 7 1 4 12 ¹¹ Portanto P π c Q 5 5 6 π Se π é o plano determinado pelo ponto P₀ x₀ y₀ z₀ e pelos vetores u e v um ponto P x y z pertence a π se e somente se os vetores P₀P u e v são coplanares Ou seja P π se e somente se O P₀P u v P₀P u x v P₀P x x₀ Y y₀ z z₀ e fazendo u x v A b C O x x₀ Y y₀ z z₀ A b C O axx₀ byy₀ czz₀ O P u v det Xx₀ Yy₀ Zz₀ Dizemos que um vetor não nulo é normal a um plano se e somente se é ortogonal a todos os vetores que possuem representantes neste plano Se π tem equação geral T ax by cz d 0 os coeficientes abc são as coordenadas de um vetor normal a π n abc Exemplo Determine uma equacao geral do plano que passa pelos pontos A 3 1 2 B 1 1 2 e C 1 1 0 O AP AB AC det x3 y1 z2 4 0 0 2 4x3 0 0 4z2 0 8y1 4 x 12 4z 8 8y 8 O 4x 8y 4z 4 Equação geral π 4x 8y 4z 4 0 n 484 Equivalente π x 2y z 1 0 n 121 Exemplo Encontre uma equação geral do plano π que passa pelo ponto P₀ 122 e tem vetor normal n 212 y 2x 8 y 21 8 6